Prinsip Hamilton

7.7 Prinsip Hamilton

Persamaan Euler-Lagrange untuk fungsional

− qy 2 dt (7.43)

maka (7.44) menjadi

my ′′ + ky = 0

yang tidak lain adalah persamaan osilator harmonik dengan massa m dan konstanta pegas k. Masukkan nilai p dan q yang sama ke dalam (7.43) diperoleh

I=

my ′2 + ky 2 dt.

Kita bisa lihat bahwa suku pertama adalah energi kinetik, T , dan suku keduanya adalah energi potensial, V , osilator harmonik

T= my ′2 , V= ky 2 .

Sehingga fungsionalnya dapat dituliskan

Oleh karena itu untuk sebuah osilator harmonik, kita menemukan bahwa persamaan gerak Newton identik dengan persamaan Euler-Lagrange untuk fungsional dari (7.45). Ini hanyalah kasus khusus dari suatu prinsip umum dikenal sebagai prinsip Hamilton. Hal ini pertama kali diumumkan pada tahun 1834 oleh matematikawan Irlandia brilian William Rowan Hamilton.

7. Kalkulus Variasi

Perbedaan antara energi kinetik dan energi potensial T − V dilambangkan dengan L dan disebut Lagrangian tersebut. Prinsip Hamilton menyatakan bahwa gerak dari

suatu sistem dari t 1 ke t 2 adalah seperti yang integral waktu Lagrangian L, (7.45), yang dikenal sebagai “aksi,” yang memiliki nilai stasioner. Lagrangian ini ditentukan oleh koordinat umum q 1 ,q 2 ,...,q n dan turunan terhadap waktunya ˙ q 1 ,˙ q 2 ,...,˙ q n . Dari sekarang dan seterusnya, kita akan menggunakan notasi dalam mekanika klasik, dot di atas berarti turunan terhadap waktu (notasi Newton). Persamaan Euler-Lagrange untuk fungsional aksi (7.45) biasanya disebut persamaan Lagrange

Persamaan ini merupakan himpunan n buah persamaan diferensial orde dua. Persa- maan ini ditemukan secara independen oleh Joseph L. Lagrange (1736 − 1816). Per- samaan ini ekivalen dengan persamaan gerak Newton. Persamaan Lagrange cukup dengan kuantitas skalar sedangkan persamaan Newton menggunakan vektor. Dalam berbagai kasus, lebih mudah untuk mencari persamaan diferensial yang sesuai dengan menggunakan persamaan Lagrange dibandingkan dengan persamaan Newton.

Sebagai contoh, anggap sebuah partikel bergerak dalam sebuah medan potensial. Maka

Persamaan Lagrangian memberikan ∂L

Karena −∂V/∂x i adalah gaya partikel dalam arah x i ,ini adalah hukum kedua Newton yang dalam notasi vektor

m¨r = F.

Dari contoh berikut, kita akan melihat prinsip Hamilton berlaku untuk sistem konti- num dan koordinat umum tidak harus merupakan koordinat standar yang biasa kita jumpai, dan bisa saja disesuaikan dengan persoalan fisis yang ditinjau.

Contoh 7.7.1. Gunakan prinsip Hamilton untuk menurunkan persamaan gelombang dalam senar yang tegang.

7.7. Prinsip Hamilton 417

Solusi 7.7.1. Misalkan ρ adalah kerapatan linier dan τ merupakan tegangan pada senar seperti Gambar 7.13

Energi potensial V dapat dicari dengan memperhatikan pertambahan elemen panjang

Gambar 7.13: Osilasi kecil dalam senar yang tegang.

dx. Elemen panjang ini bertambah dari dx ke ds. Jadi kita mempunyai usaha sebesar τ (ds − dx). Karena energi potensial sama dengan usaha yang dilakukan, dengan

menjumlahkan semua usaha yang dilakukan pada garis, kita mempunyai

ds − dx = (dx) + (dy) 2 − dx = 1+

+···. Kita cukup mengambil dua buah suku pertama karena ini merupakan osilasi kecil

Maka Lagrangiannya adalah

1 ∂y

1 dy

L=T−V=

dan integral aksinya menjadi

1 ∂y

1 dy

I=

dx dt

t 1 0 2 ∂t

2 dx

7. Kalkulus Variasi

Ini merupakan fungsional dua dimensi dengan variabel bebas x dan t. Integrannya dapat dituliskan

L= ρy ′2 t − τy ′2

Persamaan Lagrangiannya

yang menjadi

Ini adalah persamaan gelombang persis seperti yang kita turunkan sebelumnya

∂x 2

τ ∂y 2

Contoh 7.7.2. (a) Carilah percepatan sudut sebuah bandul dengan panjang l. (b) Sebuah benda bermassa m menggelinding bebas dalam kawat lingkaran licin berjari- jari r yang berotasi dalam bidang horizontal terhadap satu titik pada kawat lingkaran dengan kecepatan sudut konstan ω. Buktikan bahwa benda tersebut berosilasi seperti

sebuah pendulum dengan panjang l = g/ω 2 pada garis yang menghubungkan pusat rotasi dengan pusat lingkaran. Solusi 7.7.2. (a) Dari Gambar 7.14. (a) koordinat m adalah

x = L sin θ, y = L sin θ.

Energi kinetiknya

1 T= mx 2 +y 2 = 1 mL 2 sin 2 θ + cos 2 θ 1 θ 2 = mL 2 ˙θ 2

2 2 2 Dengan memilih l di bawah suspensi sebagai titik nol untuk energi potensial, kita

mempunyai

V = mgL (1 − cos θ) .

Jadi Lagrangian L adalah

L=T−V= mL ˙θ 2 − mgL (1 − cos θ) .

Jadi kita hanya memiliki satu variabel bebas θ yang merupakaan koordinat umum di sini. Maka Lagrangiannya

−mgL sin θ −

mL ˙θ = 0.

dt

7.7. Prinsip Hamilton 419

Gambar 7.14: Gerak pendulum.

Jadi

θ=− ¨ g sin θ. L

(b) Misalkan C adalah pusat kawat lingkaran, dan sudut θ dan φ dinyatakan dalam Gambar 7.14. (b). Ketika kawat berotasi berlawanan arah jarum jam dengan kece- patan sudut ω, maka φ = ωt. Koordinat benda x dan y adalah

x = r cos ωt + r cos (θ + ωt) y = r sin ωt + r sin (θ + ωt)

Karena geraknya hanya dalam arah horizontal, energi potensialnya dapat diambil nol. Energi kinetiknya adalah

T= m ˙x 2 + ˙y 2

= mr ω + ˙θ + ω + 2ω ˙θ + ω cos θ ,

yang juga merupakan sebuah Lagrangian, karena V = 0. Sehingga

menjadi mr 2

−ω ˙θ + ω sin θ − ¨ θ + ω sin θ ˙θ = 0, atau

θ = −ω ¨ 2 sin θ.

Sehingga osilasi benda tersebut terhadap garis yang menghubungkan pusat rotasi de- ngan pusat lingkaran seperti sebuah pendulum dengan panjang l = g/ω 2 .

7. Kalkulus Variasi

Prinsip Hamilton dan prinsip Fermat hanyalah contoh yang menunjukkan bah- wa alam semesta mengikuti lintasan melalui ruang dan waktu berdasarkan prinsip ekstrem. Hampir di semua cabang fisika, kita dapat menemukan prinsip seperti ini. Mengapa alam berkelakuan sesuai dengan prinsip ekonomi adalah pertanyaan un- tuk para filsuf dan teolog. Sebagai ilmuwan, kita hanya bisa menikmati keanggunan teori. Namun hal ini tidak untuk mengatakan prinsip variasi hanyalah perangkat un- tuk memberikan hasil alternatif dari hasil yang dikenal. Bahkan dampaknya terhadap perkembangan ilmu pengetahuan tidak bisa diabaikan. Ketika dasar fisika belum dike- tahui, prinsip variasi dapat menjadi sangat berguna. Sebuah contoh adalah formulasi Richard Feynman dalam elektrodinamika kuantum yang didasarkan pada prinsip aksi paling sedikit. Untuk prestasinya, ia dianugerahi hadiah Nobel 1965 dalam fisika.

Prinsip variasi sebagai alat perhitungan juga sangat penting. Dengan metode variasional, tingkat energi dari semua jenis molekul sekarang bisa dihitung dengan tingkat akurasi yang tinggi. John Pople membuat kode perhitungan tersebut dalam program komputer yang dikenal sebagai Gaussian. Ia dianugerahi hadiah Nobel tahun 1998 dalam kimia.