Persamaan untuk Getaran Dawai

5.1.1 Persamaan untuk Getaran Dawai

Sebagai contoh, kita akan memperoleh persamaan yang mengatur getaran kecil sebuah dawai yang elastik dengan panjang L, tetap pada kedua titik ujung. Variabel terikat u(x, t) menyatakan, pada waktu t, perpindahan dari titik dawai itu pada jarak sejauh x dari titik ujung pertama 0.

Kita akan mengasumsikan dawai adalah homogen, yaitu, massa dari dawai per satuan panjang, dinotasikan sebagai ρ, adalah sebuah konstanta. Kita juga akan mengasumsikan bahwa dawai hanya mengalami perpindahan vertikal kecil dari posisi kesetimbangan. (Perpiindahan tidak harus berada dalam arah vertikal, tapi dalam hal ini, kita asumsikannya seperti itu). Mari kita memperhatikan segmen dawai antara x dan x + ∆x, dengan ∆x adalah sebuah kenaikan kecil, seperti yang terlihat pada

Gambar 5.1. Besaran T 1 dan T 2 dalam gambar adalah tegangan pada titik P dan Q dari dawai. T 1 dan T 2 adalah tangensial/menyinggung terhadap kurva yang muncul. Karena tidak ada gerakan horizontal dari dawai, maka gaya total horizontal yang bekerja pada segmen harus nol. Dengan kata lain, komponen horizontal dari tegangan

5.1. Persamaan Gelombang Satu Dimensi 229

pada P dan Q harus sama dan berlawanan arah. Yaitu

(5.1) dengan T adalah sebuah konstanta yang sama dengan gaya horizontal pada dawai

T 1 cos θ 1 =T 2 cos θ 2 = T,

teregang. Jika amplitudo kecil, kita dapat menganggap T sebagai tegangan dari dawai. Ada gaya total yang bekerja dalam arah vertikal, F u , yang menyebabkan gerakan

vertikal dari dawai. Jelas bahwa

F u =T 2 sin θ 2 −T 1 sin θ 1 .

Menurut hukum kedua Newton, gaya ini adalah sama dengan massa segmen, ρ∆x, di- kalikan percepatan yang merupakan turunan kedua dari perpindahan terhadap waktu. Yaitu

∂ 2 u T 2 sin β − T 1 sin α = ρ∆x 2 . ∂t

Bagi persamaan di atas dengan T dan gunakan (5.1), kita memperoleh

T 2 sin θ 2 T 1 sin θ 1 ρ ∆x ∂ 2 u

T 2 cos θ 2 T 1 cos θ 1 T ∂t 2

jika disederhanakan menjadi

Tetapi tan θ 2 dan tan θ 1 adalah kemiringan kurva dawai pada x + ∆x dan x, yaitu

∂u

tan θ 2 =

∂x x+∆x ∂u

tan θ 1 =

∂x x

Oleh karena itu (5.2) bisa ditulis

∂x x+∆x

∂x x

T ∂t 2

Mengingat definisi turunan

Jika dipahami bahwa ∆x mendekati nol meskipun tanpa tanda limit, maka kita dapat menuliskan

Sehingga jelas bahwa ∂u

∂u

∂u

2 ∂x ∆x.

∆x =

x+∆x

∂x x

∂x ∂x

∂x

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Oleh karena itu (5.3) menjadi

Ini dinamakan sebagai persamaan gelombang 1 dimensi. Kita melihat persamaan linear, homogen dan orde kedua.

Jika dawai kedua ujungnya tetap, kita memiliki dua syarat batas

S. B. : u(0, t) = 0; u(L, t) = 0.

Selanjutnya, jika awalnya dawai dipindahkan ke posisi u = f (x) dan dilepaskan pada saat diam (kecepataannya nol) dari posisi itu, maka kita memiliki kondisi awal sebagai berikut:

K. A. : u(x, 0) = f (x); u t (x, 0) = 0

dengan u t (x, 0) menunjukkan turunan pertama parsial dari u(x, t) terhadap t dan kemudian dihitung pada t = 0

∂u(x, t)

Syarat pertama menyatakan bahwa bentuk awal dawai adalah f (x), syarat kedua hanya mengatakan bahwa pada saat t = 0, kecepatan di setiap titik pada dawai adalah nol. Tentu saja ada kemungkinan bahwa dawai juga memiliki kecepatan awal. Dalam kasus itu, kondisi awal menjadi

u(x, 0) = f (x); u t (x, 0) = g(x).