Sifat-sifat Deret Fourier

1.7.3 Integrasi Deret Fourier

Jika deret Fourier diintegralkan suku per suku, maka kita akan menemukan faktor 1/n pada deret tersebut. Hal ini berefek pada percepatan konvergensi. Sehingga kita berharap deret dari hasil integrasi suku per suku akan konvergen dengan integral dari

f (x). Sebagai contoh, kita telah menunjukkan deret Fourier fungsi ganjil f (t) = t berperiode 2L diberikan oleh

Kita mengharapkan integrasi suku per suku ruas kanan persamaan ini konvergen pada integral dari t. Yaitu

Hasil integrasi ini adalah

2 2L X (−1)

1 t n+1

nπ

cos

nπ

n=1

atau

nπ t

2 X 4L ∞

n+1

4L 2 X ∞

n+1

cos t.

n=1

n=1

1.7. Sifat-sifat Deret Fourier

kita memiliki

2 L 2 4L 2 X ∞ (−1) n

Hal ini tidak lain adalah deret Fourier konvergen pada t 2 berperiode 2L seperti pada (1.20).

Contoh 1.7.2. Carilah deret Fourier fungsi yang definisi dalam satu periodenya adalah

f (t) = t 3 , −L < t < L.

Solusi 1.7.2. Dengan mengintegralkan deret Fourier untuk t 2 pada selang tersebut suku per suku diperoleh Z

Z" 2 2 ∞

4L X (−1)

kita mendapatkan

1 3 L 2 4L 2 X ∞ (−1) n L

Kita dapat mencari konstanta integrasi C pada integral tersebut dengan melihat nilai kedua ruas pada t = 0, diperoleh C = 0. Selanjutnya karena pada selang −L < t < L

maka deret Fouriernya

12L 3 X n+1 t

nπ =

3 2L X (−1)

1.7.4 Turunan Deret Fourier

Dalam menurunkan deret Fourier suku per suku, kita harus lebih berhati-hati. Tu- runan suku per suku akan menyebabkan koefisien a n dan b n dikalikan dengan faktor n. Karena n naik linier, deret hasilnya bisa tidak konvergen. Ambil contoh

2L ∞ X (−1) n+1

nπ

t=

sin

t.

π n=1

1. Deret Fourier

Persamaan ini valid pada −L < t < L, seperti pada (1.19). Turunan dari t jelas sama dengan 1. Tetapi turunan suku per suku deret Fourier ruas kanan

d 2L X ∞

(−1) ∞ n+1 nπ X nπ

(−1) n+1 cos t. dt π n=1

sin

t =2

L bahkan tidak konvergen.

n=1

Untuk melihat syarat agar deret Fourier dari sebuah fungsi f (t)

dapat diturunkan suku per suku, pertama kita mengasumsikan f (t) kontinu pada selang −L < t < L dan turunan fungsi f ′ (t) dapat diekspansikan dalam deret Fourier yang lain

Koefisien a n ′ diberikan oleh

= [f (L) − f(−L)] cos nπ +

(1.30) L

Dengan cara yang sama

nπ

n = [f (L) − f(−L)] sin nπ −

na n . (1.31)

Dengan cara yang sama menurunkan deret Fourier sebuah fungsi suku per suku, kita memperoleh

Sehingga akan memberikan koefisien

Sehingga kita melihat secara umum turunan fungsinya bukan merupakan turunan deret Fourier suku per suku. Tetapi jika fungsinya memenuhi syarat

f (L) = f (−L),

1.8. Deret Fourier dan Persamaan Diferensial

dengan a ′ n dan b ′ n diberikan pada (1.30) dan (1.31) identik dengan yang diberikan (1.32). Kita menyebut (1.33) kondisi “kepala sama dengan ekor”. Ketika syarat ini terpenuhi, turunan suku per suku deret Fourier sebuah fungsi akan konvergen dengan turunan fungsi. Perhatikan bahwa jika fungsi periodik f (t) kontinu di semua tempat, kondisi ini otomatis terpenuhi.

Sekarang jelas mengapa (1.19) tidak dapat diturunkan suku per suku. Untuk fungsi ini

f (L) = L 6= −L = f(−L)

kondisi “kepala sama dengan ekor” tidak terpenuhi. Dalam contoh berikut, fungsinya memenuhi kondisi ini, sehingga turunan deretnya diberikan oleh turunan suku per suku.

Contoh 1.7.3. Deret Fourier t 2 pada selang −L < t < L diberikan oleh (1.20)

L 2 4L 2 X ∞ (−1) n

Deret ini memenuhi “kepala sama dengan ekor”, seperti ditunjukkan pada Gambar

1.4. Tunjukkan bahwa turunan suku per sukunya sama dengan 2t. Solusi 1.7.3. "

d L 2 4L 2 ∞

X (−1) n

nπ

4L 2 X ∞ (−1) n d nπ

n 2 dt L 4L X ∞ (−1) n+1

L yang merupakan deret Fourier 2t dalam selang yang diinginkan seperti pada (1.19)

π n=1