Operator Adjoint dan Self-Adjoint(Hermitian)

3.3.1 Operator Adjoint dan Self-Adjoint(Hermitian)

Jika fungsi f (x) dan g(x) dalam ruang vektor dari fungsi, memenuhi syarat batas tertentu, adjoint operator diferensial linier L, dinotasikan dengan L + , dinyatakan dengan hubungan

hLf|gi = hf|L + gi.

Sebagai contoh, dalam ruang vektor berdimensi tak hingga yang mengandung semua fungsi yang terintegralkan kuadrat (square-integrable) dengan perkalian titik yang di- definisikan sebagai

hf|fi = 2 |f| dx < ∞,

semua fungsi harus memenuhi syarat batas

f (x) → 0, ketika x → ±∞.

Jika operator diferensial L dalam ruang ini, dengan w(x) = 1, adalah d/dx; (L = d/dx), maka perkalian titik hLf|gi diberikan oleh

d hLf|gi =

−∞ dx Dengan menggunakan integral parsial

(x)g(x)| ∞

karena suku yang terintegralkan sama dengan nol karena syarat batas f (±∞) → 0. Maka, adjoint dari operator L = d/dx dalam ruang ini adalah L + = −d/dx.

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville

Contoh 3.3.1. Dalam ruang fungsi yang square-integrable f (x) pada selang −∞ <

2 /dx 2 1 d x < ∞, carilah adjoint dari operator (a) L = d

dan (b) L = .

2 i d dx Solusi 3.3.1. (a) L =

dx 2

hLf|gi =

Oleh karena itu adjoint dari d 2 /dx 2 adalah L + =d 2 /dx 2 .

1 d (b) L =

i dx

1 d 1 d 1 d hLf|gi =

1 d d kita menggunakan (3.2) dan (3.3). Jadi adjoint dari L =

adalah L +

i dx

i dx

Sebuah operator dikatakan self-adjoint (atau Hermitian) jika L + = L. Jadi dalam

contoh di atas, operator

hermitian, tetapi d/dx tidak Hermitian dx + 2

dan =

i dx

karena L = −d/dx tidak sama dengan L = d/dx. Dalam contoh ini, fungsi bobot w(x) diambil satu. Secara umum, w(x) bisa berupa

fungsi riil dan positif sebarang. Jika x ditentukan pada selang a ≤ x ≤ b, rumus umum perkalian titik berbentuk

hLf|gi =

(Lf (x)) ∗ g(x)w(x) dx,

Z −∞

hf|Lgi =

f ∗ (x)Lg(x)w(x) dx.

Karena w(x) riil dan Z ∞

(Lf (x)) ∗ g(x)w(x) dx =

g ∗ Lf (x)w(x) dx

sebuah operator L yang self-adjoint bisa juga dinyatakan sebagai Z ∞

f ∗ (x)Lg(x)w(x) dx =

g ∗ Lf (x)w(x) dx .

Secara simbolik, ini mengikuti fakta bahwa hLf|gi = hf|Lgi dan hLf|gi = hg|Lfi ∗ , jadi

(3.7) Dalam sebuah ruang berdimensi berhingga, nilai eigen sebuah matriks Hermitian

hf|Lgi = hg|Lfi ∗ .

riil dan vektor eigennya membentuk basis ortogonal. Dalam ruang berdimensi tak

3.3. Operator Hermitian 121

hingga, operator diferensial Hermitian mempunyai tugas yang sama seperti matriks Hermitian dalam runag berdimensi berhingga. Bersesuaian dengan persoalan nilai eigen matriks, kita mempunyai persoalan nilai eigen operator diferensial.

Lφ(x) = λφ(x)

dengan λ sebuah konstanta. Untuk pemilihan λ tertentu, sebuah fungsi yang meme- nuhi persamaan dan syarat batas tertentu disebut sebagai fungsi eigen bersesuaian dengan λ. Konstanta λ disebut sebagai nilai eigen. Tidak terdapat jaminan fungsi eigen φ(x) ada untuk sebarang pemilihan parameter λ. Syarat adanya fungsi eigen membatasi nilai λ yang bisa diterima menjadi sebuah himpunan diskrit. Kita ak- an melihat dalam Subbab 3.3.2 bahwa nilai eigen operator Hermitian riil dan fungsi eigennya membentuk himpunan basis ortogonal yang lengkap.

Lebih dari itu, elemen a ij sebuah matriks Hermitian dikarakterisasi oleh hubungan

(3.8) Analog dengan hal ini, kita biasanya mendefinisikan “elemen matriks” L ij sebuah

a ij =a ∗ ji .

operator Hermitian

(3.9) Kemiripan antara (3.8) dan (3.9) jelas terlihat. Dalam mekanika kuantum, nilai harap (ekspektasi) sebuah observabel (kuantitas

L ij =L ∗ ji .

fisis yang bisa diamati), seperti energi dan momentum, merupakan nilai rata-rata pengukuran berulang kali kuantitas tersebut. Hasil pengukuran jelaslah bilangan riil. Lebih dari itu, observabel dinyatakan dengan operator O dan nilai ekspektasi diberikan oleh hΨ|OΨi dengan Ψ merupakan fungsi gelombang yang mendeskripsikan keadaan sistem. Jadi hΨ|OΨi haruslah riil, yaitu

hΨ|OΨi ∗ = hΨ|OΨi .

Karena

hΨ|OΨi ∗ = hOΨ|Ψi

diperoleh

hOψ|ψi = hψ|Oψi

jadi operator sebarang yang merepresentasikan sebuah observabel haruslah Hermitian.

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville