Kelas VII SMPMTs
46
Misalkan A himpunan dan A
c
adalah komplemen himpunan A, maka A
c c
= A
Sifat-1.7
Bukti: A
c
= {x │x ∈ S, x ∉ A}
Mengapa? A
c c
= {x │x ∈ S, x ∉ A
c
} Mengapa?
= {x │x ∈ S, x ∈ A}
Mengapa?
= A Terbukti
d. Selisih difference
Masalah-1.17
Aturan pembagian kelas di sebuah SMP didasarkan pada hasil tes I dan tes II. Siswa yang lulus tes I dan tes II akan ditempatkan di kelas VII-A, siswa yang hanya lulus tes I ditempatkan di kelas
VII-B, dan siswa yang hanya lulus tes II akan ditempatkan di kelas VII-C. Hasil tes 10 orang siswa ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 1.1 Hasil Tes I Pembagian Kelas di SMP No
Nama Hasil Tes
Tes I Tes II
1 Toni
Lulus Tidak Lulus
2 Wanti
Tidak Lulus Lulus
3 Budi
Lulus Lulus
4 Eka
Lulus Lulus
5 Boby
Lulus Tidak Lulus
6 Rudi
Tidak Lulus Lulus
7 Susan
Lulus Lulus
8 Tino
Lulus Tidak Lulus
9 Serli
Lulus Lulus
10 Nurhasanah
Tidak Lulus Lulus
Jika A adalah himpunan siswa yang lulus tes I dan B adalah himpunan siswa yang lulus tes II. a
Tentukanlah anggota himpunan A dan himpunan B b
Tempatkanlah siswa berdasarkan kelas masing-masing c
Gambarkanlah diagram Venn himpunan A dan B
Matematika
47
Masalah-1.17
Aturan pembagian kelas di sebuah SMP didasarkan pada hasil tes I dan tes II. Siswa yang lulus tes I dan tes II akan ditempatkan di kelas VII-A, siswa yang hanya lulus tes I ditempatkan di kelas
VII-B, dan siswa yang hanya lulus tes II akan ditempatkan di kelas VII-C. Hasil tes 10 orang siswa ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 1.1 Hasil Tes I Pembagian Kelas di SMP No
Nama Hasil Tes
Tes I Tes II
1 Toni
Lulus Tidak Lulus
2 Wanti
Tidak Lulus Lulus
3 Budi
Lulus Lulus
4 Eka
Lulus Lulus
5 Boby
Lulus Tidak Lulus
6 Rudi
Tidak Lulus Lulus
7 Susan
Lulus Lulus
8 Tino
Lulus Tidak Lulus
9 Serli
Lulus Lulus
10 Nurhasanah
Tidak Lulus Lulus
Jika A adalah himpunan siswa yang lulus tes I dan B adalah himpunan siswa yang lulus tes II. a
Tentukanlah anggota himpunan A dan himpunan B b
Tempatkanlah siswa berdasarkan kelas masing-masing c
Gambarkanlah diagram venn himpunan A dan B
a Anggota himpunan A dan himpunan B.
A = {Toni, Budi, Eka, Boby, Susan, Tino, Serli} B = {Wanti, Budi, Eka, Rudi, Susan, Serli, Nurhasanah}
b Pembagian kelas masing-masing siswa adalah:
● Siswa yang ditempatkan di kelas VII-A yaitu siswa yang lulus tes I dan tes II. Dapat disebut
bahwa siswa kelas VII-A adalah anggota himpunan A irisan himpunan B. ●
Siswa yang ditempatkan di kelas VII-B adalah siswa yang hanya lulus tes I. Dapat disebut bahwa siswa kelas VII-B adalah anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B.
● Siswa yang ditempatkan di kelas VII-C adalah siswa yang hanya lulus tes II. Dapat disebut
bahwa siswa kelas VII-C adalah anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A. ●
Dengan demikian, himpunan siswa ketiga kelas itu adalah: –
Kelas VII-A = {Budi, Eka, Susan, Serli} –
Kelas VII-B = {Toni, Boby, Tino} –
Kelas VII-C = {Wanti, Rudi, Nurhasanah} c
Diagram venn himpunan A dan B ditunjukkan pada gambar berikut.
Kelas VII SMPMTs
48
Gambar 1.23 Diagram Venn Himpunan A dan B
Diketahui himpunan A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 5 dan B adalah himpunan bilangan ganjil yang kurang dari 5.
1 Jika C adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, maka tentukanlah anggota himpunan C
2 Jika D adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A, maka tentukanlah anggota himpunan D
Anggota himpunan A dan anggota himpunan B adalah: A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 3} 1 C adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B.
Untuk menemukan sebuah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B dapat kita lakukan dengan membandingkan anggota himpunan A dan himpunan
B dengan algoritma sebagai berikut.
1. Ambil elemen pertama dari A. Jika elemen tersebut ada di himpunan B hapus dari anggota A, jika
tidak ada di B biarkan pada himpunan A. 2.
Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua, ketiga sampai semua elemen A telah selesai dicocokkan.
3. Himpunan A yang tidak terhapus merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota
himpunan A yang bukan anggota himpunan B. Dengan menggunakan algoritma ini, kita lakukan sebagai berikut.
● Ambil elemen pertama dari A yaitu: 1. Apakah 1 ada di B? Ya. Maka hapus dari A, sehingga A
= {2, 3, 4}. ●
Ambil elemen kedua dari A yaitu: 2. Apakah 2 ada di B? Tidak. Maka biarkan pada himpunan A, sehingga A = {2, 3, 4}.
● Ambil elemen ketiga dari A yaitu: 3. Apakah 3 ada di B? Ya. Maka hapus dari A, sehingga A =
{2, 4}. ●
Ambil elemen keempat dari A yaitu: 4. Apakah 4 ada di B? Tidak. Maka biarkan pada himpunan A, sehingga A = {2, 4}.
Contoh 10.12
Matematika
49
● Karena semua anggota himpunan A telah dicocokkan dengan anggota himpunan B, maka
himpunan A yang tersisa merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B.
● Maka himpunan C = {2, 4}.
Himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B merupakan selisih himpunan A dan B.
2 D adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A, dengan menggunakan algoritma pada butir 1, kita cari anggota himpunan D sebagai berikut.
● Ambil elemen pertama dari B yaitu: 1. Apakah 1 ada di A? Ya. Maka hapus dari B, sehingga B
= {3}. ●
Ambil elemen kedua dari B yaitu: 3. Apakah 3 ada di A? Ya. Maka hapus dari B, sehingga B = { }.
● Karena semua anggota himpunan B telah dicocokkan dengan anggota himpunan A, maka
himpunan B yang tersisa merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A.
● Maka himpunan D = { }.
Himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A merupakan selisih himpunan B dan A.
Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.17 dan penyelesaian contoh 1.19, kita temukan deinisi berikut.
Komplemen relatif B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A – B.
Dengan notasi pembentuk himpunan deinisi ini dapat dituliskan sebagai berikut
A – B = {x | x ∈A dan x ∉ B} = A ∩ B
c
Pada diagram Venn di samping ini, A - B merupakan daerah yang diarsir:
Gambar 1.24 Diagram Venn A - B
Deinisi 1.10
Komplemen relatif B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan ang- gota himpunan B, dilambangkan dengan A – B.
Kelas VII SMPMTs
50
Sebagai latihanmu, kerjakanlah: Jika A = {1, 2, 3, ..., 10} dan B = {2, 3, 5, 7,11,12}, tentukanlah
1 A – B dan 2 B – A.
Perhatikan himpunan berikut. A = {1,3,5,7,9}
B = {2,4,6,8,10} Kita peroleh:
h A
∩ B = ∅ h
A – B = {1,3,5,7,9} h
B – A = {2,4,6,8,10} Ternyata :
{1,3,5,7,9} = {1,3,5,7,9}
A – B = A
{2,4,6,8,10} = {2,4,6,8,10}
B – A = B
DISKUSI
- Apa yang mengakibatkan A – B = A dan B – A = B? berdiskusilah dengan temanmu
- Apakah A – B = A dan B – A = B jika A ∩ B bukan himpunan kosong? Berilah contoh
Bandingkan dengan hal berikut. Diberikan himpunan A = {1,3,5,7,9} dan B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Dari himpunan A dan B kita peroleh: ●
A ⊂ B, silahkan membuktikannya
● B – A = {2,4,6,8,10}
● Apakah A - B =
∅? Diskusikan dengan temanmu
Dari uraian di samping, kita peroleh sifat:
Misalkan A ⊂ B dan B ⊂ A
- Berapa anggota himpunan A – B? Mengapa? - Berapa anggota himpunan B – A? Mengapa?
Contoh 1.3
Matematika
51
Untuk sebarang himpunan A dan B, berlaku: i Jika A
∩ B = ∅, maka A – B = A dan B – A = B ii Jika A
⊂ B, maka A – B = ∅
Sifat-1.8
e. Sifat-sifat Operasi Himpunan
