Matematika
215
4 cm 3 cm
3 cm 4 cm
4 cm 5 cm
A D
B C
b a
d
Kita interpretasikan Masalah-4.9 dalam gambar sebagai berikut.
Perhatikan jajargenjang ABCD. Panjang AD = 5 cm dan AB = CD = 3 cm. Dengan demikian panjang BD dapat ditentukan dengan memanfaatkan dalil Phytagoras.
Masalah-4.9
Seorang penjual kue memiliki jenis kue berbentuk daerah persegipanjang dengan luas daerah permu-
kaannya 96 cm
2
. Sebelum kue tersebut dijual, terlebih dahulu
dipotong-potong dalam
potongan kecil
berbentuk daerah jajargenjang dengan panjang sisinya 3 cm dan 5 cm. Setelah dipotong, banyak kue berbentuk
daerah jajargenjang sebanyak 6 kue. Ternyata dari hasil potongan ada sisa kue yang tidak berbentuk daerah
jajargenjang. Berapa luas daerah permukaan kue yang tidak berbentuk daerah jajargenjang?
Diketahui: Kue berbentuk persegipanjang. Luas permukaan kue adalah 96 cm
2.
Potongan kue berbentuk jajargenjang dengan ukuran sisinya 3 cm dan 5 cm sebanyak 6 potong. Ada sisa kue hasil potongan yang tidak berbentuk jajargenjang.
Ditanya: Berapa luas kue yang tidak berbentuk jajargenjang?
265 kue
Gambar 4.16: Kue
cm cm
cm cm
cm cm
4. Jajargenjang
Mari kita temukan konsep dan sifat-sifat serta rumus luas dan keliling jajargenjang.
Kelas VII SMPMTs
216
Gambar 4.17: Jajargenjang ABCD Pada Koordinat Kartesius
26
D-2, 4
B2, -3 A-4, -3
y
x
-1 1
2 3
4 5
6
-6 -5
-4 -3
-2 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
C4, 4
•
Apakah a = -4 berlaku? Jika tidak, beri alasanmu
• Luas segitiga ABD sama dengan luas segitiga ACD.
• BACD adalah sebuah persegipanjang. • Apakah segitiga BAD sama dengan segitiga
ACD? b
2
= a
2
+ d
2
⇒ a
2
= b
2
- d
2
⇒ a
2
= 5
2
- 3
2
⇒ a
2
= 25 - 9 = 16 ⇒ a
2
= 16 ⇒ a = 4 atau -4
C
A A
B D
3 cm 4 cm
Berdasarkan gambar di atas dapat dipastikan bahwa luas daerah jajargenjang ABCD sama dengan luas daerah persegipanjang BACD. Jadi luas daerah jajargenjang ABCD adalah 3
× 4 = 12 cm
2
, sehingga luas permukaan satu potongan kue yang berbentuk daerah jajargenjang adalah 12 cm
2
. Karena ada enam potongan kue yang berbentuk daerah jajargenjang, maka luas permukaan kue yang berbentuk jajargenjang
adalah 12 × 6 = 72 cm
2
. Apabila luas seluruh permukaan kue adalah 96 cm
2
, maka luas permukaan kue yang tidak berbentuk daerah jajargenjang adalah: L = 96 – 72 = 24 cm
2
. Beberapa koordinat titik pada bidang koordinat dapat membentuk bangun datar. Misalkan kita
memiliki koordinat titik A-4, -3, B2, -3, C4, 4, D-2, 4. Bila titik-titik A, B, C, dan D dihubungkan, bangun apakah yang akan terbentuk? Tentukan luasnya
Matematika
217
. Langkah-langkah menemukan rumus luas jajargenjang adalah sebagai berikut.
• Tarik garis tinggi DE dan beri ukurannya t satuan sebagai tinggi jajargenjang. • Potong segitiga AED dan pindahkan ke kanan menjadi segitiga BCF. Hal ini dapat dilakukan karena
jajargenjang memiliki dua pasang sisi sejajar. • Perhatikan panjang AB pada jajargenjang ABCD sama panjangnya dengan EF pada persegipanjang
EFCD. • Berarti luas jajargenjang ABCD sama dengan luas persegipanjang EFCD.
• Luas persegipanjang EFCD = panjang × lebar = a × t satuan luas. • Berarti luas jajargenjang ABCD = a × t.
Misalkan ABCD adalah jajargenjang dengan panjang alas a, tinggi t, dan l adalah panjang sisi yang lain, maka :
L adalah luas daerah jajargenjang dan K adalah Keliling jajargenjang. L adalah luas daerah jajargenjang dan K adalah keliling.
L = a
× t K = 2a + 2l
Sekarang mari kita temukan rumus luas jajargenjang. Perhatikan jajargenjang ABCD di bawah ini Pada bidang koordinat terlihat bentuk jajargenjang yang terbentuk dari titik-titik A, B, C, D.
Luas jajargenjang = panjang alas
× tinggi = 6
× 7 = 42 satuan luas
Dari berbagai masalah dan beberapa gambar jajargenjang di atas, kita temukan beberapa ciri-ciri jajargenjang antara lain:
1 memiliki dua pasang sisi sejajar;
2 jumlah sudut yang berhadapan adalah 180
o
; 3
memiliki dua pasang sudut yang sama besar. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kita tetapkan pengertian jajargenjang sebagai berikut.
Deinisi 4.8
Jajargenjang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
C D
A B
E t
a D
E B
C
F a
t
Kelas VII SMPMTs
218
AD
2
= AE
2
+ DE
2
s
2
= AE
2
+ t
2
AE =
s t
2 2
−
Jika
t s
= 4
5
, maka 4s = 5t 4s = 5t
→ s =
5 4
t
AE =
s t
2 2
−
=
5 4
4 4
2 2
t t
−
AE =
3 4
t
Luas keseluruhan jajargenjang ABCD dapat ditentukan sebagai berikut. L
= AE × DE + BE × DE =
3 4
t
t × t + p × t = t
3 4
t
t + p Jadi luas jajargenjang ABCD adalah t
3 4
t
t + p cm
2
. terbukti
Masalah-4.10
Bukti:
Perhatikan gambar jajargenjang ABCD berikut.
3
3
A
B C
D
E t
s F
p
Pandang jajargenjang di atas Luas persegipanjang BEDF = BE × DE.
Luas segitiga ∆ AED =
1 2
AE × ED. Dari jajargenjang ABCD dapat dipastikan AE = CF dan AD = BC.
Maka luas kedua segitiga ∆ AED dan ∆ BCF adalah 2
1 2
AE × ED = AE × ED. Dengan menggunakan teorema Phytagoras, kita peroleh:
Diketahui sebuah jajargenjang ABCD dengan panjang p cm, lebar s cm, dan tinggi t cm. Jika hasil bagi tinggi dengan lebar jajargenjang ABCD adalah 4
5 , buktikanlah luas jajargenjang ABCD
adalah t
4 3
p t +
cm
2
.
Matematika
219
1. Perhatikan gambar trapesium berikut a. Tentukan nilai x.
b. Tentukan nilai y. c. Tentukan luas trapesium.
2. Diketahui luas suatu trapesium adalah 60cm
2
. Jika hasil pembagian panjang sisi-sisi sejajarnya
adalah
3 5
cm, dan tinggi trapesium 15 cm, tentukan panjang masing-masing sisi sejajar
tersebut 3. Diketahui trapesium PQRS dengan PQ sejajar
RS, serta sudut P = sudut Q. Tunjukkan bahwa PS = QR
M N
17 cm
L K
23 cm
14 cm
x 70
y
a b.
c.
4. Diketahui jajargenjang ABCD dengan titik E dan F merupakan titik tengah garis AB
dan CD. Tarik garis AF, BF, DE, dan CE. Bentuk segiempat apakah yang terbentuk
ditengah-tengah jajargenjang tersebut? Jelaskan jawabanmu
5. Diketahui keliling suatu jajargenjang adalah 56cm
2
. Buatlah ukuran jajargenjang tersebut yang memungkinkan
6. Misalkan a merupakan alas jajargenjang PQRS dengan t merupakan tingginya. Jika 2t = 3a,
tentukan: a. panjang t dalam a
b. panjang alas dan tingginya jika luas jajargenjang tersebut 864 cm
2
. 7. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik P dan Q
terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC = 25 cm dan
luas jajargenjang tersebut adalah 125 cm
2
, maka panjang BQ adalah. . . . cm.
Uji Kompetensi - 4.3
Kelas VII SMPMTs
220
5. BELAHKETUPAT
