Matematika
153
6. BILANGAN RASIONAL
Masalah-2.43
Pada pelajaran isika pokok bahasan pengukuran di laboratorium, guru memberikan tugas kepada 6 orang siswa untuk mengukur berat tepung yang telah tersedia pada masing-masing meja
siswa. Hasil pengukuran keenam orang siswa itu adalah: 0.2 gram, 2 gram, 0.55 gram, 10 gram, 2.4 gram, dan 0.007 gram. Kemudian guru menyuruh salah seorang siswa menuliskan hasil pengukuran
keenam siswa tersebut ke dalam satu lembar kertas. 1
Jika aturan pencatatan adalah hasil pengukuran yang diperoleh siswa dikurangi dengan 1 gram, bantulah siswa tersebut menuliskan hasil pengukuran keenam siswa tersebut
2 Tuliskanlah hasil pengukuran berat tepung tersebut ke dalam bentuk pecahan biasa bukan
pecahan decimal
Hasil pengukuran berat tepung sebelum masing-masing ukuran di kurang 1 gram adalah: -
Hasil pengukuran Siswa 1 adalah 0.2 gram -
Hasil pengukuran Siswa 2 adalah 2 gram -
Hasil pengukuran Siswa 3 adalah 0.55 gram -
Hasil pengukuran Siswa 4 adalah 10 gram -
Hasil pengukuran Siswa 5 adalah 2.4 gram -
Hasil pengukuran Siswa 6 adalah 0.007 gram Hasil pengukuran berat tepung setelah masing-masing ukuran di kurang 1 gram adalah:
- Siswa 1 = - 0.8 gram
- Siswa 2 = 21 gram
- Siswa 3 = -0.45 gram
- Siswa 4 = 9 gram
- Siswa 5 = 1.4 gram
- Siswa 6 = - 0.997 gram
Penulisan hasil pengukuran berat tepung tersebut ke dalam bentuk pecahan biasa bukan pecahan decimal.
- Siswa 1 =
− 8
10
, gram - Siswa 4 =
27 3
gram -
Siswa 2 =
42 2
gram - Siswa 5 =
14 10
gram -
Siswa 3 =
− 45
100
gram - Siswa 6 =
− 997
1000
gram ♦ Apakah kamu mampu menuliskan hasil-hasil pengukuran keenam siswa tersebut dengan angka-angka
yang lain selain yang telah tertulis di atas? Silahkah mencoba. Seluruh bilangan-bilangan yang tertulis pada alternatif pemecahan masalah di atas merupakan bilangan
rasional.
Kelas VII SMPMTs
154
Masalah-2.44
Perhatikan deinisi di atas, untuk a dan b bilangan bulat serta b ≠ 0, bilangan apa yang dihasilkan
a b
jika: 1
a = 0? 2
a = b? 3
a b, a dan b memiliki faktor prima? 4
a b, a dan b memiliki faktor prima? 5
a b, a faktor dari b? 6 a b, a kelipatan dari b?
1 Jika a = 0
Jika a = 0 tentu b ≠ 0 maka
a b
1
= 0;
5
= 0;
20
= 0;
2013
= 0;
2 −
= 0;
100 −
= 0 Maka
a b
selalu menghasilkan bilangan 0 2
a = b Silahkan coba sendiri, kemudian berikan kesimpulanmu
3 a b, a dan b memiliki faktor prima
2
3 ;
3 7
;
7 11
Maka selalu menghasilkan bilangan pecahan biasa 4
a b, a dan b memiliki faktor prima Silahkan coba sendiri dan berikan kesimpulanmu
5 a b, a kelipatan dari b
Deinisi 2.15
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang di nya takan dalam bentuk a
b , a dan b bilangan
bulat dan b ≠0.
Matematika
155
4 2
= 2;
99 33
= 33;
10 2
= 5 Maka selalu menghasilkan bilangan bulat
6 a b, a kelipatan dari b? Silahkan coba sendiri dan berikan kesimpulanmu
Masalah-2.45
Diberikan 2 buah bilangan rasional yaitu
3 4
−
dan
−3 4
. Apakah kedua bilangan itu nilainya sama? Buktikanlah
Akan dibuktikan
3 4
−
=
−3 4
. Bukti:
Ingat kembali bahwa jika suatu bilangan dikali dengan 1 maka hasil perkaliannya adalah bilangan itu sendiri. Dapatkah anda memberi contoh? Silahkan mencoba. Jika 1 dikali dengan bilangan rasional
3 4
−
maka hasil perkaliannya adalah
3 4
−
.
3 4
1 1
3 1
4 1
3 4
− ×
× ×
− −
= −
− −
= −
ingat bahwa
− −
= 1
1 1
terbukti - Mana lebih banyak anggota himpunan bilangan pecahan dari anggotan himpunan bilangan
rasional? - Apakah bilangan bulat negatif merupakan bilangan rasional?
- Apakah bilangan rasional merupakan bilangan pecahan? - Apakah bilangan pecahan pasti merupakan bilangan rasional?
Sebagai latihanmu:
Bandingkan mana lebih besar bilangan
2003 2004
dari
2004 2005
Sebagai latihanmu buktikanlah bahwa
−43 2013
sama dengan
43 2013
−
Kelas VII SMPMTs
156
Masalah-2.46
Perhatikan penjumlahan bilangan rasional berikut.
1 2
1 4
1 8
1 16
+ + + +...
Dapatkah kamu menentukan hasil penjumlahan dari bilangan-bilangan tersebut?
Pertama, kita misalkan jumlah bilangan pecahan tersebut adalah x, kemudian kita tentukan pola penjumlahannya sebagai berikut:
x =
1 2
1 4
1 8
1 16
+ + + +...
Dengan memakai hukum distributif perkalian pecahan terhadap penjumlahan diperoleh x =
1 1 1
1 1
1 ...
2 2 2 4 8 16
= +
+ + + +
Perhatikan bahwa pola pertama berulang kembali x
= 1
1 1 1
1 1
... 2 2 2 4 8 16
X
= + + + +
+
x
=
1 1
2 2
= + 2
1
x tambahkan -
2 1
x di kedua ruas
2 1
x =
2 1
kalikan 2 di kedua ruas x
= 1 Maka diperoleh : x =
1 1
1 1
... 1 2 4 8 16
= + + + + =
Kita telah membahas bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
a b
, dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Namun banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
a b
, dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Seperti bilangan √3,√5 ,√7, dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut
dinamakan bilangan irasional.
Matematika
157
1 Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam bentuk , a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
a. 0, 25
b. 3, 50
c. 0, 75 d.
-5, 2 e. 0, 47
2 Buktikanlah
7
bukan bilangan rasional 3
Misal a bilangan bulat. Buktikan jika a genap maka a
2
genap
Uji Kompetensi - 2.7
4 Tentukan nilai p =
1 3
1 9
1 27
1 81
+ + +
+ ...
5 Tentukan nilai y = x
+ 1
3
+ x + 2
3
+ x + 3
3
+ … + x + 100
3
6 Bilangan 23a23b habis dibagi 8 dan 9. Tentukan nilai dari a
+ b 7 Jika 0,201020102010... = dengan x,y
bilangan asli, maka nilai terkecil dari x + y
adalah… 8 Buktikan bahwa ∙ ∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙
Projek
Coba kamu teliti tentang bilangan 10. Ambillah 10 buah benda yang sama. Kelompokkanlah benda tersebut menjadi beberapa kelompok dan hitunglah jumlahnya pada masing-masing
kelompok. Selesaikanlah permasalahan berikut dengan alat peraga a. Kelompokkanlah benda tersebut dan hitunglah jumlahnya pada masing-masing kelompok.
Berapa kelompok yang dapat kamu tunjukkan? b. Tunjukkanlah sifat-sifat komutatif, assosiatif dan distributif pada kelompok-kelompok
tersebut c. Tunjukkanlah sifat-sifat pada bilangan ganjil dan genap
d. Tunjukkanlah bahwa bilangan 10 adalah bilangan genap. e. Tunjukkanlah bahwa bilangan 7 adalah bilangan ganjil dan prima
Presentasikanlah solusi permasalahan di atas dengan alat peraga di depan teman-temanmu dan guru
Kelas VII SMPMTs
158
Setelah kita bahas secara seksama seluruh materi pada bahasan dua ini, beberapa kesimpulan yang dapat diambil untuk pengangan ananda untuk mendalami materi tentang bilangan dan untuk mempelajari
bahasan berikutnya. Beberapa hal penting sebagai kesimpulan disajikan sebagai berikut. 1.
Konsep bilangan bulat, cacah, asli, pecahan dan rasional dapat ditemukan dalam berbagai masalah nyata disekitar kita dan penggunaannya sangat luas dalam kehidupan.
2. Himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecahan adalah bagian dari himpunan bilangan
rasional. Himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan asli adalah bagian dari himpunan bilangan bulat. Dengan demikian himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan asli, juga merupakan bagian
dari himpunan bilangan rasional.
3. Setiap bilangan memenuhi berbagai sifat terhadap operasi hitung tertentu. Tetapi sifat-sifat yang
dipenuhi suatu himpunan bilangan terhadap operasi tertentu belum tentu sifat tersebut dipenuhi terhadap operasi hitung yang lain. Misalnya anggota himpunan bilangan bulat memenuhi sifat komutatif
terhadap operasi penjumlahan, tetapi sifat komutatif tidak dipenuhi dengan operasi pengurangan.
4. Untuk menentukan FPB dan KPK dua buah atau lebih bilangan dapat digunakan berbagai cara, antara lain 1 menggunakan pohon faktor, 2 menggunakan faktor-faktor prima dari bilangan-bilangan
yang diketahui, dan 3 menentukan kelipatan-kelipatan bilangan yang diketahui. 5.
Kita dapat menemukan dan menggunakan pola-pola dari sederetan bilangan untuk memecahkan suatu masalah. Berbagai pola yang telah kita pelajari dapat digunakan untuk menentukan atau memprediksi
hasil pangkat dari sebuah bilangan, hasil jumlah dan hasil kali banyak bilangan yang diketahui, tanpa menghitung hasil operasi dengan satu persatu atau dengan menghitung secara tuntas.
6. Bilangan rasional dan bilangan pecahan sama-sama dinyatakan dalam bentuk
a b
dengan a dan b bilangan bulat serta b
≠ 0 . Semua anggota himpunan pecahan adalah anggota himpunan bilangan rasional, tetapi terdapat anggota himpunan bilangan rasional yang bukan merupakan anggota
himpunan bilangan pecahan. Misalnya semua bilangan bulat adalah bilangan rasional tetapi bilangan bulat bukan bilangan pecahan.
7. Dalam penggunaan operasi pembagian bilangan, misal
a b
, tidak diizinkan nilai b = 0, sebab
a b
dengan b = 0 menghasilkan dua kemungkinan, yaitu 1 hasilnya taktentu, apabila a = 0 dan 2 hasilnya tidak terdeinisi, apabila a ≠ 0.
8. Dua himpunan bilangan dikatakan ekuvalen, apabila banyak anggotanya sama tetapi karakteristik anggotanya berbeda. Dua bilangan dikatakan ekuivalen jika dan hanya jika nilainya sama tetapi
bentuknya berbeda. Berbagai konsep, sifat-sifat dan aturan-aturan yang sudah kita pelajari pada bahasan dua ini sangat
bermanfaat untuk melanjutkan bahasan kita pada bab berikutnya. Bahasan selanjutnya adalah tentang garis dan sudut yang dilanjutkan dengan penentuan luas dan keliling segiempat dan segitiga. Penggunaan
bilangan dalam pengukuran sudut, jarak dua titik, jarak titik ke suatu bidang dan menentukan luas daera segiempat dan segitiga, tentu penggunaan bilangan sangan banyak. Penggunaan konsep dan sifat-sifat
bilangan dalam pemecahan masalah terkait garis dan sudut dan penentuan luas daerah segiempat, sangat luas cakupan dan manfaatnya.
D. PENUTUP
Kategori