Matematika
21
3 Dari diagram venn di bawah ini diperoleh
A = {1} B = {1, 4, 5, 6}
Dengan cara yang sama pada contoh 1.8 bagian 2, dapat ditunjukkan bahwa setiap anggota himpunan A adalah anngota himpunan B. Dengan
demikian dapat dinyatakan bahwa A ⊂ B.
4 Dari diagram venn berikut ini diperoleh
A = { } B = {4, 5, 6}
Berdasarkan ketiga diagram di atas dapat dinyatakan bahwa A ⊂ B. Karena himpunan A tidak mempunyai anggota, maka A adalah himpunan
kosong dan ditulis A =
∅. Karena A =
∅ dan A ⊂ B, maka ∅ ⊂ B.
Berdasarkan uraian di atas kita temukan sifat berikut.
Himpunan kosong ∅ merupakan bagian dari semua himpunan
Sifat-1.1
DISKUSI
Coba buktikan Sifat 1.1 tersebut Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok
b. Himpunan Kuasa
Masalah-1.8
SMP Tunas Bangsa tengah mempersiapkan dua orang siswanya, Ningsih dan Taufan untuk mengikuti olimpiade matematika SMP tingkat provinsi. Persyaratan untuk mengikuti olimpiade
adalah sekolah boleh mengirimkan satu orang siswa atau lebih dan boleh tidak mengirimkan wakilnya untuk mengikuti olimpiade tersebut. Berapa banyak cara yang dilakukan SMP Tunas Bangsa untuk
mengirimkan wakilnya mengikuti olimpiade matematika tersebut?
Banyak cara yang dilakukan SMP Tunas Bangsa dalam mengikuti olimpiade matematika tersebut adalah: Cara I
: Tidak mengirimkan siswa mengikuti olimpiade.
S S
Kelas VII SMPMTs
22
Cara II : Mengirimkan hanya Ningsih mengikuti olimpiade.
Cara III : Mengirimkan hanya Taufan mengikuti olimpiade.
Cara IV : Mengirimkan Ningsih dan Taufan secara bersama-sama mengikuti olimpiade.
Maka ada 4 cara pengiriman yang dapat dilakukan SMP Tunas Bangsa untuk mengikuti olimpiade tingkat provinsi.
Jika A adalah himpunan siswa SMP Tunas Bangsa yang akan mengikuti olimpiade matematika tingkat provinsi, maka A = {Ningsih, Taufan}.
Jika banyak siswa yang akan dikirim mengikuti olimpiade dari keempat cara pengiriman tersebut merupakan himpunan yang nama himpunannya berturut-turut adalah P, Q, R, dan T, maka himpunan itu adalah:
P = { } Q = {Ningsih}
R = {Taufan} T = {Ningsih, Taufan},
h Karena anggota himpunan P, Q, R, dan T dipilih dari anggota-anggota himpunan A, maka dapat
dipastikan bahwa himpunan P, Q, R, dan T merupakan himpunan-himpunan bagian dari himpunan A. Sebagai latihanmu, silahkan membuktikan sendiri.
h Himpunan P, Q, R, dan T merupakan himpunan kuasa dari himpunan A.
Diberikan himpunan A = {1, 3, 5}, carilah himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari A
Himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari A adalah: 1 Himpunan yang banyak anggotanya 0, yaitu: {}
2 Himpunan yang banyak anggotanya adalah 1, yaitu {1}, {3}, {5} 3 Himpunan yang banyak anggotanya adalah 2, yaitu {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}
4 Himpunan yang banyak anggotanya adalah 3 merupakan himpunan A itu sendiri, yaitu {1, 3, 5} Berdasarkan uraian di atas himpunan yang anggotanya himpunan-himpunan bagian dari A adalah
{{ }, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}} Himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A disebut himpunan kuasa dari himpunan
A.
Dari alternatif penyelesaian Masalah 1.8 dan penyelesaian Contoh 1.9 di atas, kita tuliskan konsep pengertian himpunan kuasa sebagai berikut.
Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya seluruh himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan PA. Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan
nPA.
Contoh 1.7
Matematika
23
Masalah-1.9
Jika A adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang membagi habis bilangan 2013, tentukan banyak himpunan bagian
dari A yang tidak kosong
A adalah himpunan semua bilangan bulat positip yang membagi habis bilangan 2013. h
Ingat kembali apa yang dimaksud dengan ‘sebuah bilangan membagi habis sebuah bilangan tertentu’. h
Bilangan-bilangan positif mana saja yang membagi habis bilangan 2013? A = {1, 3, 11, 61, 2013}
Himpunan-himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut. h
Himpunan yang banyak anggotanya 0, yaitu { }. h
Himpunan yang banyak anggotanya 1, yaitu {1}, {3}, {11}, {61}, dan {2013}. h
Himpunan yang banyak anggotanya 2, yaitu {1, 3}, {1, 11}, {1, 61}, {1, 2013}, {3, 11}, {3, 61}, {3, 2013}, {11, 61}, {11, 2013},dan {61, 2013}.
h Himpunan yang banyak anggotanya 3, yaitu {1, 3, 11}, {1, 3, 61}, {1, 3, 2013}, {3, 11, 61}, {3, 11,
2013}, {1, 11, 61}, {1, 11, 2013}, {1, 61, 2013}, {3, 61, 2013}, dan {11, 61, 2013} h
Himpunan yang banyak anggotanya 4, yaitu {1, 3, 11, 61}, {1, 3, 11, 2013}, {3, 11, 61, 2013}, {1, 11, 61, 2013}, dan {1, 3, 61, 2013}.
h Himpunan yang banyak anggotanya 5, yaitu himpunan A = {1, 3, 11, 61, 2013}.
Banyak himpunan kuasa A adalah 32, ditulis nPA = 32. Perhatikan kembali pertanyaan pada Masalah 1.9
h Apa maksudnya banyak himpunan bagian dari A yang tidak kosong?
Banyak himpunan bagian A adalah 32. Hanya ada satu dari himpunan tersebut yang kosong. Jadi banyak himpunan bagian A yang tidak kosong adalah 31 buah.
Sebagai latihanmu, selesaikanlah permasalahan berikut
Diketahui B adalah himpunan yang anggotanya semua bilangan asli n dengan
menghasilkan bilangan bulat kurang dari 1. Tentukan banyaknya himpunan bagian tak kosong dari B
h Perhatikan kembali Deinisi-1.4 di atas.
● Jika A = {}, maka himpunan kuasa A adalah PA = {{ }}.
Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A adalah nPA = 1. ●
Jika A = {a}, maka himpunan kuasa dari A yaitu: PA ={{ },{a}}. Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A adalah nPA = 2.
● Jika A = {a,b}, maka himpunan kuasa dari A adalah
PA ={{ },{a},{b},{a,b}}.
Kelas VII SMPMTs
24
Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A adalah nPA = 4 ●
Jika A = {a,b,c}, maka himpunan kuasa dari A adalah PA ={{ },{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.
Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A adalah nPA = 8 ●
Jika A = {a,b,c,d}, lanjutkanlah sebagai latihanmu h
Kesimpulan apa yang bisa kamu tarik tentang banyak anggota himpunan A dengan banyak anggota himpunan kuasa dari A pada contoh di atas?
h Dapatkah kamu menemukan aturan untuk menentukan banyaknya anggota himpunan kuasa suatu
himpunan?
Perhatikan pola yang terbentuk: nA = 0
→ nPA = 1 = 2
nA = 1 →
nPA = 2 = 2
1
nA = 2 →
nPA = 4 = 2
2
nA = 3 →
nPA = 8 = 2
3
. .
. .
. .
Jika nA = k maka nPA = 2
k
Dari contoh di atas, kita temukan sifat berikut.
Misalkan A himpunan dan PA adalah himpunan kuasa A. Jika nA = k, dengan k bilangan cacah, maka nPA = 2
k
.
Sifat-1.2
c. Kesamaan Dua Himpunan
