BELAHKETUPAT KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Kelas VII SMPMTs 220

5. BELAHKETUPAT

Pernahkah kamu mendengar belahketupat? Kata ketupat sering kita dengar saat tiba hari Raya Idul Fitri. Belahketupat adalah salah satu bangun geometri bidang datar. Begitu banyak perma- salahan kehidupan yang dapat diselesaikan dengan menguasai konsep dan sifat-sifat belahketupat. Rumus luas dan kelilingnya sangat bermanfaat kita pelajari untuk memecahkan masalah. Mari kita temukan konsep dan sifat-sifat belahketupat melalui pemecahan masalah matematika dan masalah nyata berikut Masalah-4.11 Seorang pedagang akan bepergian ke empat kota yang berbeda, yaitu Kota A,B,C, dan D. Kota A dan B dihubungkan oleh sebuah jalan yang lurus dengan jarak 16 km. Tepat ditengahnya ada sebuah kota transit yang bernama Kota O. Kota O berada tepat di tengah Kota C dan D. Kedua kota ini dihubungkan oleh jalan yang lurus, Kota C berada tegak lurus terhadap jalan yang menghubungkan Kota A dan Kota B, jarak kota C dan D lebih pendek 4 km dari jarak Kota A dan B. Kemudian Kota A juga terhubung oleh jalan yang lurus ke Kota C dan D, begitu juga Kota B terhubung oleh jalan yang lurus ke C dan D. Jika rute perjalanan pedagang adalah, A ke C, C ke O, O ke D, D Ke B, B ke O dan terkahir dari O kembali lagi ke A. Maka berapakah total jarak tempuh dari pedagang tersebut? A D O C B 10 8 6 Gambar 4.17: Peta Perjalanan Pedagang AB = 16 km, maka AO = OB = 8 km, CD lebih pendek 4 km dari AB sehingga CD = AB – 4 = 12 km maka CO = DO = 6 km. 8 km 6 km 8 km Matematika 221 CO tegak lurus terhadap AO, dan CA terhubung dengan jalan lurus, maka berlaku dalil Phytagoras untuk segitiga siku-siku COA yaitu: Dengan cara yang sama didapat hasil untuk jarak BC, AB dan AD yaitu 10 km. Jika rute perjalanan A  C, C  O, O  D, D  B, B  O, O A. Maka pedagang memiliki jarak tempuh = 10 + 6 + 6 + 10 + 8 + 8 = 48 km. CA 2 = CO 2 + AO 2 CA 2 = 6 2 + 8 2 CA = 36 64 + = 100 10 = Masalah-4.12 Setengah bagian dari belahketupat ABCD berada di dalam persegipanjang ACEF seperti terlihat pada Gambar 4.18. √ √       ambar berikut.   3   3   3      A B D C E F O 6 cm x cm Gambar 4.18: Belahketupat dan Persegipanjang Bukti: Diketahui:  Ingat kembali materi yang kamu pelajari di sekolah dasar tentang bagaimana cara menentukan luas sebuah segitiga, jika panjang alas dan tingginya diketahui. Luas ∆BOC = 1 2 CO × BO = 1 2 6 × 8 = 24 cm 2 Jika AC BD = 3 4 dan BC CE = 1 3 , buktikan luas daerah yang diarsir adalah 336 cm 2 . √ √         Diketahui: 4 3  BD AC  3 4 OC BO   6 3 4 BO   3 × BO = 24  BO = 8 BC 2 = OB 2 + CO 2 BC = 2 2 6 8  = 10 100  Ingat kembali materi yang ka  1 1 Kelas VII SMPMTs 222 Diketahui BC CE = 1 3 BC CE = 1 3 → CE = 3 × BC → CE = 3 × 10 → CE = 30 cm AC = 2 × OC = 2 × 6 = 12 cm. Luas persegipanjang ACEF = AC × CE = 12 × 30 = 360 cm 2 Luas ∆ ACD = 1 2 AC × OD = 1 2 × 12 × 8= 48 cm 2 Luas daerah yang diarsir adalah luas daerah persegipanjang ACEF dikurangi luas segitiga ACD ditambah luas daerah segitiga BOC. Misal L adalah luas daerah yang diarsir. L = 360 – 48 + 24 = 336 cm 2 Jadi luas daerah yang diarsir adalah 336 cm 2 . terbukti Dari berbagai model belahketupat pada masalah di atas kita temukan ciri-ciri belahketupat, sebagai berikut. 1 Belahketupat dibentuk dari dua pasang sisi yang sejajar. 2 Semua sisinya sama panjang. 3 Memiliki dua diagonal yang saling tegak lurus. 4 Sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Berdasarkan keempat ciri belahketupat di atas, mari kita tuliskan pengertian belahketupat. Deinisi 4.9 Dua ruas garis saling tegak lurus, apabila perpotongan kedua ruas garis itu membentuk sudut 90 o . Perhatikan Gambar 4.19 belahketupat ABCD dengan panjang sisi a berikut. Belahketupat adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan kedua diagonal bidangnya saling tegak lurus. i Memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang. ii Semua sisi belahketupat adalah sama panjang. iii Memiliki dua diagonal yang saling tegak lurus. iv Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar. Sifat-6 Berdasarkan deinisi di atas, dapat diturunkan beberapa sifat belahketupat yang lain sebagai berikut. Matematika 223 Ikuti langkah-langkah berikut untuk menemukan luas belahketupat ABCD dan ingat kembali bahwa luas sebuah segitiga adalah 2 1 alas × tinggi. • Belahketupat ABCD dapat kita bagi dua menjadi dua buah segitiga, yaitu segitiga BDA dan segitiga BDC dengan ukuran tingginya sama, yaitu AE dan CE Gambar 4.19 ii dan iii.    1   1      1          A B C D E a = = = = d 1 d 2 ketupa d  Sebuah belahketupat dengan panjang sisinya a, maka luas dan keliling belahketupat adalah: L adalah luas belahketupat ABCD dan K adalah keliling belahketupat ABCD. d 1 adalah diagonal pertama dan d 2 adalah diagonal kedua. L = d d 1 2 2 × K = 4a Mari kita manfaatkan sifat-sifat, rumus luas, dan keliling belahketupat di atas untuk memecahkan Masalah-4.15 berikut. CE perhatikan gambar sebelah kanan. AE = EC = 2 2 1 d Luas daerah BDA = 2 1 alas x tinggi = 2 1 2 1 2 1 d d x = 4 1 2 1 d d x Luas daerah BDC = 2 1 alas x tinggi = 2 1 2 1 2 1 d d x = 4 1 2 1 d d x Luas daerah belah ketupat ABCD = luas daerah BDA + luas daerah BDC = 4 1 2 1 d d x + 4 1 2 1 d d x d d Gambar 4.19: Belahketupat ABCD, segitiga BDA, dan segitiga BDC Misalkan ABCD sebuah belahketupat dengan luas 24 cm 2 . Panjang OC = x cm dan OD = y cm, dan nilai x + y = 7. Hitunglah keliling belahketupat ABCD. Masalah-4.13 i ii iii 274 1    1   1  1     1  1        d  B D A E A B C D E B D C E a = = = = ng  Kelas VII SMPMTs 224 Diketahui OC = x cm, diperoleh AC = 2x cm dan OD = y cm, diperoleh BD = 2y cm. • Apakah ada kemungkinan yang lain untuk nilai x dan y, kecuali 3 dan 4 agar memenuhi persamaan xy = 12 dan x + y = 7 ? Beri alasanmu Belahketupat PQRS memiliki panjang diagonal masing-masing 10 cm dan 15 cm. Tentukan luas belahketupat PQRS tersebut Dari kegiatan mencari luas belahketupat, diperoleh aturan sebagai berikut. Luas belahketupat = ½ × diagonal 1 × diagonal 2 = ½ × 10 × 15 = 75 Jadi, luas belahketupat PQRS adalah 75 cm 2 . Contoh 4.6 Penyelesaian 254 Luas ABCD = 1 2 2 d d  =    2 2 2 y x 24 = 2 4xy 24 = 2 4xy  xy = 12 Karena xy = 12 dan x + y = 7, maka x dan y yang memenuhi adalah x = 3 dan y = 4. Untuk segitiga COD berlaku CD 2 = OC 2 + OD 2 = x 2 + y 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 CD = 5 25  cm Karena setiap sisi belah ketupat sama panjang dan CD = 5 cm, maka keliling belah Karena setiap sisi belahketupat sama panjang dan CD = 5 cm, maka keliling belahketupat ABCD adalah 4 × 5 = 20 cm. Matematika 225 Berdasarkan gambar layangan di atas, kita peroleh: AO + OB + CO + OD = 10 + 60 + 20 + 20 = 110 cm Sisa bambu yang dimiliki oleh Budi 125 – 110 = 15 cm Sisa bambu yang dimiliki oleh Budi 125 – 110 = 15 c Luas segitiga AOD = × AO × OD = × 10 × 20 = 100 cm 2 Luas segitiga ACD = 2 × Luas segitiga AOD = 2 × 100 cm 2 = 200 cm 2 Luas segitiga BOD = × BO × DO = × 60 × 20 = 600 cm 2 Luas segitiga BCD = 2 × Luas segitiga BOD = 2 × 600 cm 2 = 1200 cm 2 1 1  A B C D P D A B P  Total luas kertas pada layangan = 200 + 1200 = 1400 cm 2 Luas kertas yang dimiliki oleh Budi = 75 × 4 = 3150 cm 2 Sisa luas kertas Budi adalah = 3150 - 1400 = 1750 cm 2 1 1  A B C D P D A B P  Masalah-4.14 Budi berencana membuat sebuah layang-layang kege- marannya. Dia telah membuat rancangan layangannya seperti gambar di samping. Budi membutuhkan dua potong bambu, yaitu sepanjang AB dan sepanjang CD. Titik O adalah simpul tempat dimana dua buah bambu ini diikat menjadi satu. Bambu CD tepat tegak lurus terhadap AB. Kemudian Budi menghubungkan ujung-ujung bambu dengan benang. Panjang AO adalah 10 cm, panjang OB adalah 60 cm, dan panjang OC adalah 20 cm. Untuk membuat layangan ini Budi juga membutuhkan kertas khusus layang-layang yang nantinya akan ditempelkan pada layangan dengan kebutuhan kertas dibatasi oleh benang. Untuk membuat layangan ini Budi telah memiliki potongan bambu yang panjangnya 125 cm dan ukuran kertas berbentuk persegipanjang 75 cm × 42 cm. Berapakah sisa panjang bambu dan sisa luas kertas yang dimiliki oleh Budi?

6. LAYANG-LAYANG