Kelas VII SMPMTs
36
2. Ambil elemen A berikutnya yaitu: 2. Cocok dengan elemen di B? Tidak. Buang dari A, sehingga: A =
{1,3,4,5}, B = {3,5,7,9}. 3.
Ambil elemen A berikutnya, yaitu: 3. Cocok dengan elemen di B? Ya. Biarkan 3 tetap di A dan buang 3 dari B, sehingga: A = {1,3,4,5}, B = {5,7,9}.
4. Ambil elemen A berikutnya, yaitu: 4. Cocok dengan elemen di B? Tidak. Buang dari A, sehingga:
A={1,3,5}, B = {5,7,9}. 5.
Ambil elemen A berikutnya, yaitu: 5. Cocok dengn elemen di B? Ya. Biarkan 5 tetap di A dan buang 5 dari B, sehingga: A={1,3,5}, B={7,9}.
6. Karena elemen A sudah habis, maka prosesnya selesai. Himpunan A yang tersisa adalah irisan yang
dicari yaitu A ∩ B = {1,3,5}.
Berapa langkah yang diperlukan untuk mencari irisan dua himpunan? Coba simpulkan Apakah kesimpulanmu sama dengan banyaknya langkah mencari kesamaan dua himpunan? Berapa pencocokan
yang harus dilakukan disini? Secara umum, diperlukan berapa kali pencocokan untuk mencari irisan dua himpunan sembarang?
b. Gabungan union
Masalah-1.14
Di Desa Sabulan yang terletak di pulau Samosir terdapat 100 rumah tangga. Dari jumlah tersebut 60 rumah tangga memelihara ternak ayam, 35 rumah tangga memelihara ternak kambing, 45 rumah
tangga memelihara ternak sapi, 15 rumah tangga memelihara ternak ayam dan ternak kambing, 5 rumah tangga memelihara ternak kambing dan ternak sapi, 20 rumah tangga memelihara ternak
ayam dan ternak sapi. Jika 5 rumah tangga memelihara ketiga ternak itu, selesaikanlah permasalahan berikut
a Gambarkanlah diagram Venn dari keterangan di atas b Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam?
c Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing? d Berapa rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi?
e Berapa rumah tangga yang tidak memelihara ternak ketiga-tiganya?
Matematika
37
a Diagram Venn berikut ini menunjukkan ternak penduduk desa Sabulan.
Kambing Ayam
Sapi
b Banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam.
Banyak rumah tangga yang memelihara ayam = banyak rumah tangga yang hanya memelihara ayam + banyak rumah tangga yang memelihara ayam dan kambing + banyak rumah tangga yang memelihara
ayam dan sapi + banyak rumah tangga yang memelihara ayam, kambing, dan sapi sekaligus. Bayak rumah tangga yang memelihara ayam = nB + nD+ nE+ nG
60
= nB + 15 + 20 + 5 nB = 60 – 40
= 20 Maka banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak ayam adalah 20 rumah tangga.
c Banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing.
Banyak rumah tangga yang memelihara kambing = banyak rumah tangga yang hanya memelihara kambing + banyak rumah tangga yang memelihara kambing dan ayam + banyak rumah tangga yang
memelihara kambing dan sapi + banyak rumah tangga yang memelihara ayam, kambing, dan sapi sekaligus.
Banyak rumah tangga yang memelihara kambing = nA + nD+ nF+ nG 35
= nA + 15 + 5 + 5 nA = 35 – 25
= 10 Maka banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak kambing adalah 10 rumah tangga.
d Banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi.
Banyak rumah tangga yang memelihara sapi = banyak rumah tangga yang hanya memelihara sapi + banyak rumah tangga yang memelihara sapi dan ayam + banyak rumah tangga yang memelihara sapi
dan kambing + banyak rumah tangga yang memelihara ayam, kambing, dan sapi sekaligus. Banyak rumah tangga yang memelihara sapi = nC + nE+ nF+ nG
Keterangan gambar: S = Penduduk Sabulan yang memelihara
ternak; A = Himpunan rumah tangga yang hanya
memelihara kambing; B = Himpunan rumah tangga yang hanya
memelihara ayam; C = Himpunan rumah tangga yang hanya
memelihara sapi; D = Himpunan rumah tangga yang
memelihara ayam dan kambing; E = Himpunan rumah tangga yang
memelihara ayam dan sapi; F = Himpunan rumah tangga yang
memelihara kambing dan sapi; G = Himpunan rumah tangga yang
memelihara ayam, kambing, dan sapi sekaligus;
H = Himpunan rumah tangga yang tidak memelihara ayam, kambing, dan sapi.
Gambar 1.15. Diagram Venn Keadaan Ternak Peliharaan Penduduk
Kelas VII SMPMTs
38
45 = nC + 20 + 5 + 5
nC = 45 – 30 = 15
Maka banyak rumah tangga yang hanya memelihara ternak sapi adalah 15 rumah tangga. e
Banyak rumah tangga yang tidak memelihara ketiga ternak ayam, kambing, sapi Banyak rumah tangga yang tidak memelihara ketiga ternak = banyak rumah tangga desa Sabulan –
banyak rumah tangga yang hanya memelihara ayam – banyak rumah tangga yang hanya memelihara kambing – banyak rumah tangga yang hanya memelihara sapi – banyak rumah tangga yang hanya
memelihara ayam dan kambing – banyak rumah tangga yang hanya memelihara ayam dan sapi – banyak rumah tangga yang hanya memelihara kambing dan sapi – banyak rumah tangga yang
memelihara ketiga-tiganya. nH = nS – nA – nB – nC + nD – nE – nF – nG
nH = 100 – 10 – 20 – 15 – 15 – 20 – 5 – 5 nH = 100 – 90 = 10
Maka banyak rumah tangga yang tidak memelihara ketiga ternak ayam, kambing, sapi adalah 10 rumah tangga.
Masalah-1.15
Budi dan Tono adalah siswa kelas VII SMP. Budi berteman dengan Hana, Nela, Marto, dan Irwan. Sedangkan Tono berteman dengan Nela, Yanita, dan Yaska.
1 Tentukanlah anggota himpunan teman Budi dan anggota himpunan teman Tono 2 Jika teman Budi dan teman Tono digabung, berapa orang teman kedua siswa itu?
Misalkan: B adalah himpunan teman Budi T adalah himpunan teman Tono
1 Anggota himpunan B dan himpunan T adalah: B = {Hana, Nela, Marto, Irwan}
T = {Nela, Yanita, Yaska} 2 Jika teman Budi digabung dengan teman Tono, maka teman kedua orang itu adalah:
Untuk mencari gabungan kedua himpunan itu dapat kita lakukan dengan langkah sebagai berikut. ●
Periksa elemen himpunan B dan elemen himpunan T. ●
Ambil elemen pertama dari B kemudian cocokkan dengan elemen himpunan T, bila ada yang sama, hapus elemen tersebut dari himpunan T. Jika tidak ada yang sama, lanjut ke elemen
berikutnya. ●
Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua, ketiga sampai semua elemen B telah selesai dicocokkan.
● Semua elemen himpunan B ditambahkan dengan sisa elemen himpunan T merupakan gabungan
himpunan B dengan himpunan T. Untuk mencari gabungan himpunan B dengan himpunan T di atas kita lakukan sebagai berikut.
● Ambil elemen pertama dari himpunan B, yaitu Hana. Apakah Hana elemen dari T? tidak.
Lanjutkan ke elemen berikutnya.
Matematika
39
● Ambil elemen kedua dari himpunan B, yaitu Nela. Apakah ada di elemen T? Ya, hapus dari
elemen himpunan T, sehingga T = {Yanita, Yaska}. ●
Ambil elemen ketiga dari himpunan B, yaitu: Marto. Apakah ada di elemen T? tidak. Lanjutkan ke elemen berikutnya.
● Ambil elemen keempat himpunan B yaitu: Irwan. Apakah ada di elemen T? tidak. Lanjutkan ke
elemen berikutnya. ●
Karena seluruh elemen himpunan B telah selesai dicocokkan, maka sebuah himpunan yang elemennya merupakan elemen himpunan B ditambah dengan elemen himpunan T yang tersisa
merupakan gabungan himpunan B dengan himpunan T. ●
Misalkan himpunan yang baru itu adalah G, maka G = {Hana, Nela, Marto, Irwan, Yanita, Yaska} dan banyak anggotanya adalah 6.
Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.15 di atas kita temukan deinisi berikut. Misalkan S adalah himpunan semesta. Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya
semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan dengan A
∪ B Berdasarkan Deinisi-4.8, gabungan dua himpunan dapat dituliskan sebagai berikut.
A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Pada diagram Venn di bawah ini, A ∪ B disajikan sebagai berikut.
Gambar 1.16 Diagram Venn A ∪ B
Perhatikan kedua diagram Venn berikut.
Diagram Venn I Diagram Venn II
Gambar 1.17 Diagram Venn I dan II
Kelas VII SMPMTs
40
Kita peroleh: Kita peroleh:
nA = 5
nA = 4
nB = 6
nB = 2
nA ∩ B = 2
nA ∩ B = 0
nA ∪ B = 9
nA ∪ B = 6
Ternyata: Ternyata:
9 = 5 + 6 – 2
6 = 4 + 2 – 0
nA ∪ B = nA + nB – nA ∩ B
nA ∪ B = nA + nB – nA ∩ B
Berdasarkan kedua hal di atas kita temukan sifat:
Untuk A dan B himpunan berlaku: nA
∪ B = nA + nB - nA ∩ B
Sifat-1.4
Bukti: Dalam hal ini ada dua kemungkinan yaitu i A
∩ B = Ø; dan ii A ∩ B ≠ Ø i
untuk A ∩ B = Ø
Jika A ∩ B = Ø, maka A dan B saling lepas. Silahkan membuktikan sendiri
ii untuk A ∩ B ≠ Ø
Jika A ∩ B = Ø, maka A dan B tidak saling lepas. Perhatikan gambar di bawah ini
A ∪ B ditunjukkan oleh daerah yang diarsir.
Gambar 1.18 Diagram Venn
A ∩ B ≠ Ø
Dalam hal ini A ∪ B dibagi menjadi tiga daerah. Misalkan nX = p, nY = q dan nZ = r. Dengan
demikian jelas bahwa nA
∪ B = p + q + r nA
∪ B = p + q + r + q – q Mengapa?
nA ∪ B = p + q + r + q – q
Mengapa? nA
∪ B = nA + nB – nA∩B
Mengapa? terbukti Giliranmu:
● Apakah sifat itu berlaku untuk himpunan A = {1} dan B = {1,2,3}?
● Berikan alternatif lain cara menghitung nA
∪ B
Matematika
41
Perhatikan kembali gambar berikut.
Gambar 1.19 Diagram Venn himpunan A, B, dan C
Ternyata: 18
= 7 + 9
+ 10 – 3 – 3
– 4 + 2
nA ∪ B ∪ C
= nA + nB + nC – nA
∩B – nA∩C – nB∩C + nA∩B∩C
DISKUSI
h Berdiskusilah dengan temanmu, apakah persamaan yang kita temukan di atas berlaku untuk tiga
buah himpunan A, B, dan C jika: 1
A dan B beririsan sedangkan C tidak beririsan dengan A atau B 2
A dan C beririsan sedangkan B tidak beririsan dengan A atau C 3
B dan C beririsan sedangkan A tidak beririsan dengan B atau C 4
A dan B beririsan, B dan C beririsan, sedangkan A ∩ B ∩ C = Ø
5 Ketiga himpunan tidak saling beririsan
h Berilah contoh kemudian gambarkanlah masing-masing diagram Venn untuk kelima keadaan di
atas
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. nA
∪ B ∪ C = nA + nB + nC - nA ∩ B - nA ∩ C - nB ∩ C + nA ∩ B ∩ C
Sifat-1.5
Kita peroleh: nA = 7
nB = 9 nC = 10
nA ∩ B = 3
nA ∩ C = 3
nB ∩ C = 4
nA ∩ B ∩ C = 2
nA ∪ B ∪ C = 18
Kelas VII SMPMTs
42
Masalah-1.16
Terdapat 10 orang siswa yang akan diberangkatkan untuk mengikuti olimpiade sains tingkat provinsi dari sekolah SMP Cerdas Bangsa. Kesepuluh orang siswa itu akan dibagi ke dalam kelompok
siswa yang akan mengikuti olimpiade matematika, olimpiade isika, dan olimpiade kimia. Empat orang siswa akan mengikuti olimpiade matematika, yaitu Burman, Sonia, Tari, dan Felik. Tiga orang
siswa akan mengikuti olimpiade isika, yaitu Budi, Andi, dan Rudi. Tiga orang siswa akan mengikuti olimpiade kimia, yaitu Tondi, Sodikin, dan Mayora. Olimpiade matematika akan diadakan pada hari
Senin, olimpiade isika akan diadakan pada hari Selasa, dan olimpiade Kimia akan diadakan pada hari Rabu. Diskusikanlah dengan temanmu.
1 Jika A adalah himpunan siswa yang tidak mengikuti olimpiade Matematika, sebutkanlah anggota himpunan A Tentukan banyak anggota himpunan A?
2 Jika B adalah himpunan siswa yang tidak ujian hari Rabu, sebutkanlah anggota himpunan B Tentukan banyak anggota himpunan B?
Misalkan: M adalah himpunan siswa yang akan mengikuti olimpiade Matematika F adalah himpunan siswa yang akan mengikuti olimpiade Fisika
K adalah himpunan siswa yang akan mengikuti olimpiade Kimia Maka himpunan-himpunan itu adalah:
M = {Burman, Sonia, Tari, Felik} F = {Budi, Andi, Rudi}
K = {Tondi, Sodikin, Mayora} 1 A adalah himpunan siswa yang tidak mengikuti olimpiade Matematika.
Himpunan siswa yang tidak mengikuti olimpiade Matematika berarti himpunan siswa yang mengikuti olimpiade Fisika dan olimpiade Kimia, atau gabungan himpunan F dan himpunan K.
Maka A = F ∪ K
A = {Budi, Andi, Rudi, Tondi, Sodikin, Mayora} Banyak anggota himpunan A, nA = 6
2 B adalah himpunan siswa yang tidak ujian hari Rabu. Himpunan siswa yang tidak ujian hari Rabu berarti himpunan siswa yang ujian hari Senin dan hari
Selasa. Karena olimpiade Matematika dilaksanakan hari Senin dan olimpiade Fisika dilaksanakan hari Selasa, maka anggota himpunan B = M
∪ F, maka himpunan B = {Burman, Sonia, Tari, Felik, Budi, Andi, Rudi}
Banyak anggota himpunan B, nB = 7.
Diketahui himpunan S merupakan himpunan semesta, yaitu himpunan bilangan asli yang kurang dari 10. Himpunan A adalah himpunan bilangan genap yang ada di S. Himpunan B adalah himpunan bilangan prima
yang ada di S.
a Tentukanlah anggota himpunan S, A, dan B
b Tentukanlah suatu himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya terdapat
pada himpunan S
c. Komplemen Complement
