Kelas VII SMPMTs
120
Alternatif jawaban : Tingkat
1 2
3 4
5 6
7 Banyaknya orang
1 3
6 10
15 21
28 5.
Perhatikan polanya. Bagaimanakah hubungan banyaknya orang dalam piramida manusia itu dengan banyaknya tingkat?
Alternatif Penyelesaian: Banyaknya orang pada tingkat berikutnya diperoleh dari banyaknya tingkat yang dimaksud
ditambah dengan banyaknya orang sebelumnya. Atau banyak orang sebelumnya ditambah dengan tingkat yang mau dibuat.
6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bila tingkatnya 9? Alternatif Penyelesaian: 45
7. Berpikir Kritis. Coba kalian tentukan banyaknya orang pada tingkat tertentu, tanpa harus
mengetahui banyak orang pada tingkat sebelumnya? Jelaskan jawabanmu itu Alternatif Penyelesaian:
Karena bentuk susunan orang adalah berbentuk segitiga maka banyaknya orang pada tingkat berikutnya diperoleh dari luas segitiga, yaitu ½ nn+1, dengan n bilangan asli.
b. Pola Bilangan Persegi
Setiap tahun suatu perusahan penerbangan mengadakan pertunjukan dirgantara.
Secara bergantian pesawat-pesawat terbang tinggal landas dan membentuk formasi-formasi tertentu. Pada grup pertama, sebuah pesawat tinggal landas, kemudian grup kedua dengan tiga pesawat yang tinggal
landas. Berikutnya grup ketiga dengan lima pesawat yang tinggal landas, kemudian grup keempat dengan tujuh pesawat. Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup keempat, bila
pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?
Untuk menjawabnya lakukan kegiatan berikut.
Matematika
121
Kegiatan-2.3
1. Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan
grup ketiga, kemudian sesudah penerbangan keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?
Grup ke- Banyaknya Pesawat
Baru Jumlah pesawat di
angkasa 1
1 1
2 3
4 3
5 9
4 7
... 16 2.
Jika pola penerbangan di atas dilanjutkan, berapa banyak pesawat yang diterbangkan pada penerbangan grup ke-5 dan ke-6? Jawab : 9 pesawat dan 11 pesawat.
3. Berapakah jumlah pesawat yang ada di angkasa setelah penerbangan grup ke-5 dan ke-6, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?
Jawab : 25 pesawat dan 36 pesawat. 4.
Jelaskan dan diskusikan hubungan antara grup pesawat dan jumlah pesawat yang ada di angkasa? Jawab : grup pesawat dipangkatkan dua akan sama dengan jumlah pesawat diangkasa.
5. Bilangan-bilangan pada kolom ke-3 pada tabel di atas merupakan bilangan kuadrat.
6. Perhatikan model dari bilangan kuadrat berikut. Apakah membentuk pola bilangan kuadrat?
1 = 1 × 1
1 + 3 = 2 × 2
= 4 1 + 3 + 5 = 3
× 3 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 4 × 4
= 16
Karena bilangan-bilangan 1, 4, 9 dan 16 berhubungan dengan bentuk persegi, maka pola bilangan itu dinamakan juga pola bilangan persegi.
c. Pola Bilangan Persegi Panjang
Di kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makin berkurang atau bahkan tidak ada lagi. Sehingga untuk berkebun atau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentuk persegi dari kayu-kayu yang
diisi dengan tanah. Berikut rangkaian pot-pot tersebut.
dengan tanah. Berikut rangkaian pot-pot tersebut.
× ×
× ×
Rangkaian 1 Rangkaian 2
Rangkaian 3 Rangkaian 4
Kelas VII SMPMTs
122
1. Apakah banyaknya pot-pot tersebut membentuk suatu pola? Tuliskan pola itu. ya. Karena bilangan 2, 6, 12 dan 20 berhubungan dengan bentuk persegipanjang, maka pola bilangan
ini dinamakan pola bilangan persegipanjang.
2. Dapatkah kamu menunjukkan bilangan pada suku kelima? Dari pola-pola di atas dapat dibuat tabel berikut.
Suku ke Bilangan
Luas Persegipanjang
1 2
1 ×
1 + 1 = 2 2
6 2
× 2 + 1 = 6
3 12
3 ×
3 + 1 = 12 4
....15 ....4 x 4 +1 = 15
5 ....30
... 5 x 5 +1 = 30 Apakah suku kelima sama dengan 30? ya
3. Dari soal nomor 1, Berapa banyak pot yang ada pada suku ke-n rangkaian ke-n? 65
d. Pola Bilangan Pada Segitiga Pascal
Susunan bilangan berikut telah dikenal di Cina kira-kira tahun 1300. Susunan bilangan itu dinamakan Segitiga Pascal, setelah matematikawan Perancis, Blaise Pascal mempublikasikan pola ini pada tahun 1653.
Pola berikut ini merupakan pola bilangan segitiga Pascal itu.
1 1
1 1
2 1
1 3
3 1
1 4
6 4
1 1
5 10
10 5
1 1
6 15
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
1. Perhatikan pola bilangan Segitiga Pascal pada halaman sebelumnya. Isilah titik-titik pada susunan
bilangan itu. 2.
Bagaimanakah aturan untuk mengisi titik-titik itu? 3.
Jika susunan bilangan 1 merupakan baris ke-1, susunan bilangan-bilangan 1 1 merupakan baris ke-2, susunan bilangan-bilangan 1 2 1 merupakan baris ke-3, bilangan berapa saja pada baris ke-6?
4. Berapakah jumlah bilangan pada baris ke-6? 5.
Buatlah tabel yang menyatakan hasil penjumlahan bilangan pada tiap baris segitiga Pascal.
Matematika
123
Ingat a
= 1,
dengan a sebarang bilangan, yang tidak
sama dengan 0.
Baris ke- Penjumlahan Bilangan
Hasil Penjumlahan 1
1 1 = 2
1-1
= 2 2
1 + 1 2 = 2
2-1
= 2
1
3 1 + 2 + 1
4 = 2
3-1
= 2
2
4 1 + 3 + 3 + 1
8 = 2
4-1
= 2
3
5 1 + 4 + 6 + 4 + 1
... = 2.. = ...
6. Perhatikan dan amatilah suatu Segitiga Pascal. Jumlah bilangan-bilangan pada baris ke-1 adalah 1.
Jumlah bilangan pada baris ke-2 adalah 2. Jumlah bilangan pada baris ke-3 adalah 4.
Jumlah bilangan pada baris ke-4 adalah 8. Berapa jumlah barisan ke-n dari pola bilangan segitiga Pascal itu?
7. Tahukah Kamu? Salah satu kegunaan dari barisan bilangan Segitiga Pascal adalah untuk menentukan koeisien-koeisien suku-suku hasil perpangkatan a+b.
a+b
1
= a + b a+b
2
= a
2
+ 2ab + b
2
a+b
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
Perhatikan a+b
3
di atas. Koeisien dari a
3
adalah 1, koeisien dari a
2
b adalah 3, koeisien dari ab
2
adalah 3 dan koeisien dari b
3
adalah 1. Sekarang perhatikan a+b
5
, kemudian carilah koeisien dari a
5
, koeisien dari a
4
b , koeisien dari a
3
b
2
, dan koeisien dari a
2
b
3
?
Kelas VII SMPMTs
124
A. Sederhanakanlah operasi bilangan berpangkat berikut.
1. 2
5
× 2
9
× 2
12
2. 2
5
× 3
6
× 4
6
3. B. Dengan menggunakan sifat bilangan ber-
pangkat, sederhanakanlah bentuk berikut. 1.
2x
3
.7x
4
.3x
2
2.
−
−
2 2
5
3 4
2
p q
q p
. .
3.
y x z
x y
5 3
2
1 .
. .
4.
a b c b c
b a
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
4 3
3 5
3 27
5.
−4 2 8
3 5
a b
a b
.
6.
1 2
3 5
3 4
2 2
2
x y x
y x
y ÷
⋅ ⋅
C. Bagaimana cara menuliskan hasil pengukuran yang sangat besar atau sangat kecil, misal
massa elektron, massa atom, massa matahari, massa bumi dsb ? Jalaskan
D. Hitunglah nilai
dari operasi
bilangan berpangkat berikut.
1.
−
⋅ −
2 3
1 2
1 6
4 3
2.
− ⋅
⋅
⋅
5
1 15
10 3
9 5
4 2
4 5
Uji Kompetensi - 2.4
3.
3 24
2
2 3
2
x y
x y
⋅ ⋅
; untuk x = 2 dan y = 3
4.
3 3
2 3
4
2 4
2 3
2
p q
p q
q p
⋅ −
− ⋅
⋅
: untuk p = 4 dan q = 6
5. Tentukan nilai dari
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
n n
n n
+ +
− ⋅
⋅ ⋅
6. Misalkan anda diminta menghitung 7
64
. Berapa banyak perkalian yang anda lakukan untuk mendapatkan nilai
akhirnya? Bandingkan
jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di
antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian
sesedikit mungkin.
Coba tuliskan
prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung
7
64
. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif
berapapun juga? 7. Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka
terakhir satuan dari 7
1234
+ 7
2341
+ 7
3412
+ 7
4123
tanpa menghitung tuntas. 8. Tentukan angka satuan dari
7
26 62
berdasarka n sifat angka 7, tanpa
menghitung tuntas. Selanjutnya berda- sarkan sifat angka 1, 2, 3,
4, 5, 6, 8, 9. 9.
Tunjukkan bahwa 1
2001
+ 2
2001
+ 3
2001
+ … + 2001
2001
kelipatan 13. 10. Bagaimana cara termudah untuk mencari
3 10
5 2
5 6
3 2
2008 2013
2012 2011
2012 2012
2009 2008
+ ×
+ ×
Matematika
125
D. Temukan Pola Bilangan
