Kelas VII SMPMTs
42
Masalah-1.16
Terdapat 10 orang siswa yang akan diberangkatkan untuk mengikuti olimpiade sains tingkat provinsi dari sekolah SMP Cerdas Bangsa. Kesepuluh orang siswa itu akan dibagi ke dalam kelompok
siswa yang akan mengikuti olimpiade matematika, olimpiade isika, dan olimpiade kimia. Empat orang siswa akan mengikuti olimpiade matematika, yaitu Burman, Sonia, Tari, dan Felik. Tiga orang
siswa akan mengikuti olimpiade isika, yaitu Budi, Andi, dan Rudi. Tiga orang siswa akan mengikuti olimpiade kimia, yaitu Tondi, Sodikin, dan Mayora. Olimpiade matematika akan diadakan pada hari
Senin, olimpiade isika akan diadakan pada hari Selasa, dan olimpiade Kimia akan diadakan pada hari Rabu. Diskusikanlah dengan temanmu.
1 Jika A adalah himpunan siswa yang tidak mengikuti olimpiade Matematika, sebutkanlah anggota himpunan A Tentukan banyak anggota himpunan A?
2 Jika B adalah himpunan siswa yang tidak ujian hari Rabu, sebutkanlah anggota himpunan B Tentukan banyak anggota himpunan B?
Misalkan: M adalah himpunan siswa yang akan mengikuti olimpiade Matematika F adalah himpunan siswa yang akan mengikuti olimpiade Fisika
K adalah himpunan siswa yang akan mengikuti olimpiade Kimia Maka himpunan-himpunan itu adalah:
M = {Burman, Sonia, Tari, Felik} F = {Budi, Andi, Rudi}
K = {Tondi, Sodikin, Mayora} 1 A adalah himpunan siswa yang tidak mengikuti olimpiade Matematika.
Himpunan siswa yang tidak mengikuti olimpiade Matematika berarti himpunan siswa yang mengikuti olimpiade Fisika dan olimpiade Kimia, atau gabungan himpunan F dan himpunan K.
Maka A = F ∪ K
A = {Budi, Andi, Rudi, Tondi, Sodikin, Mayora} Banyak anggota himpunan A, nA = 6
2 B adalah himpunan siswa yang tidak ujian hari Rabu. Himpunan siswa yang tidak ujian hari Rabu berarti himpunan siswa yang ujian hari Senin dan hari
Selasa. Karena olimpiade Matematika dilaksanakan hari Senin dan olimpiade Fisika dilaksanakan hari Selasa, maka anggota himpunan B = M
∪ F, maka himpunan B = {Burman, Sonia, Tari, Felik, Budi, Andi, Rudi}
Banyak anggota himpunan B, nB = 7.
Diketahui himpunan S merupakan himpunan semesta, yaitu himpunan bilangan asli yang kurang dari 10. Himpunan A adalah himpunan bilangan genap yang ada di S. Himpunan B adalah himpunan bilangan prima
yang ada di S.
a Tentukanlah anggota himpunan S, A, dan B
b Tentukanlah suatu himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya terdapat
pada himpunan S
c. Komplemen Complement
Matematika
43
c Tentukalah suatu himpunan anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan
S
a Tentukan anggota himpunan S, A, dan B
S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7}
b Misalkan P adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada
himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan P, yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi
anggotanya pada himpunan S, kita lakukan dengan memasangkan anggota himpunan A dan himpunan S dengan algoritma sebagai berikut.
1. Ambil elemen pertama dari A. Cocokkan dengan elemen-elemen S. Bila ada yang cocok, hapus
dari anggota S. 2.
Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua dari A, elemen ketiga dari A sampai semua elemen A telah selesai dicocokkan.
3. Hapus anggota himpunan S yang merupakan anggota himpunan A, sehingga anggota himpunan
S yang tersisa adalah 1, 3, 5, 7, dan 9. Dengan demikian anggota himpunan P adalah anggota himpunan S yang tersisa, yaitu P = {1, 3, 5, 7, 9}. Himpunan P disebut juga komplemen dari
himpunan A atau P = A
c
. c
Misalkan Q adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S.
Untuk menentukan anggota himpunan Q, yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S, kita lakukan dengan memasangkan anggota himpunan B dan himpunan
S dengan algoritma sebagai berikut.
1. Ambil elemen pertama dari B. Cocokkan dengan elemen-elemen S. Bila ada yang cocok, hapus
dari anggota himpunan S. 2.
Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua dari B, elemen ketiga dari B sampai semua elemen dari B telah selesai dicocokkan.
3. Hapus anggota himpunan S yang merupakan anggota himpunan A, sehingga anggota himpunan
S yang tersisa adalah 1, 4, 6, 8, dan 9. Dengan demikian anggota himpunan P adalah anggota himpunan S yang tersisa, yaitu Q = {1, 4, 6, 8, 9}. Himpunan Q disebut juga komplemen dari
himpunan B atau Q = B
c
. Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.16 dan penyelesaian contoh 1.17, kita peroleh deinisi
berikut. Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen himpunan A adalah suatu
himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dilambangkan dengan A
c
. Dengan notasi pembentuk himpunan deinisi ini dapat dituliskan sebagai berikut.
A = {x | x ∈ S dan x ∉ A}
Pada diagram Venn di bawah ini, A
c
merupakan daerah yang diarsir:
Kelas VII SMPMTs
44
Gambar 1.20 Diagram Venn Himpunan A
c
Sebagai latihanmu:
a Buktikan bahwa jika S adalah himpuan semua bilangan asli yang kurang dari 10
dan B = { x ∈ S | x bilangan prima kurang
dari 10}, maka B
c
= { 1, 4, 6, 8, 9 } b Buktikan bahwa jika S = { 1, 2, 3, ..., 9 } dan
A = {1, 3, 7, 9}, maka A
c
= {2, 4, 5, 6, 8} Perhatikan diagram Venn disamping.
Dari diagram di tersebut kita peroleh: S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21}
A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {7, 9, 11, 13, 15}
A ∩ B = {7, 9}
A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
A
c
= {11, 13, 15, 17, 19, 21} B
c
= {1, 3, 5, 17, 19, 21} A
c
∩ B
c
= {17, 19, 21} A
∩ B
c
= {1,3,5, 11,13,15,17,19,21} A
∪ B
c
= {17, 19, 21} Perhatikan dari data di atas diperoleh
1. {17,19,21} = {11,13,15,17,19,21}
∩ {1,3,5, 17,19,21}. Selanjutnya buktikan bahwa A
∪ B
c
= A
c
∪ B
c
2. {1,3,5,11,13,15,17,19,21}= {11,13,15,17,19,21}
{1,3,5,17,19,21}. Selanjutnya buktikan bahwa A
∩ B
c
= A
c
∪ B
c
. Dari 1 dan 2 kita peroleh sifat berikut.
Matematika
45
Untuk A dan B adalah himpunan, maka berlaku: i A
∪ B
c
= A
c
∩ B
c
ii A ∩ B
c
= A
c
∪ B
c
Sifat-1.6
Kedua sifat ini sering disebut dengan Hukum De Morgan. Bukti i
Misalkan x sembarang anggota himpunan A ∪ B
c
Jika x ∈ A ∪ B
c,
, maka x ∉ A ∪ B. Karena x ∉ A dan x ∉ B, berlaku x ∈ A
c
dan x ∈ B
c
. Oleh karena itu x
∈ A
c
∩ B
c
. Jadi, A
∪ B
c
⊂ A
c
∩ B
c
dan A
c
∩ B
c
⊂ A ∪ B
c
Oleh sebab itu, A
∪ B
c
= A
c
∩ B
c
terbukti Bukti ii
Silahkan anda coba, jika anda tidak paham berdiskusilah dengan temanmu atau bertanya pada guru. Perhatikan diagram Venn berikut.
Dari diagram Venn di samping kita peroleh informasi berikut. a
S = {1,3,5,7,9,11,13,15} b A = {1,3,5} c
B = {5,7,9,11} d
A
c
= {7,9,11,13,15} e
B
c
= {1,3,13,15} f
A ∩ B
c
= {1,3,7,9,11,13,15} g
A ∪ B
c
= {13,15}
1 Jika M = A
c
, sebutkanlah anggota himpunan M
c
Bagaimana hubungan M
c
dengan A? 2 Jika N = B
c
, sebutkanlah anggota himpunan N
c
Bagaimana hubungan N
c
dengan B? 3 Jika P adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota himpunan A
∩ B
c
, sebutkanlah anggota himpunan P
c
. Bagaimana hubungan P
c
dengan A ∩ B?
Setelah pernyataan kritis di atas kita selesaikan, kita temukan: h
A
c c
= {1,3,5} = A h
B
c c
= {5,7,9,11} = B h
A ∩ B
c c
= {5} = A ∩ B
DISKUSI
Berdasarkan ketiga hal yang kita temukan di atas, untuk sembarang himpunan X, apakah X
c c
= X? Berdiskusilah dengan temanmu.
Gambar 1.21. Diagram Venn
Gambar 1.22. Diagram Venn
Kelas VII SMPMTs
46
Misalkan A himpunan dan A
c
adalah komplemen himpunan A, maka A
c c
= A
Sifat-1.7
Bukti: A
c
= {x │x ∈ S, x ∉ A}
Mengapa? A
c c
= {x │x ∈ S, x ∉ A
c
} Mengapa?
= {x │x ∈ S, x ∈ A}
Mengapa?
= A Terbukti
d. Selisih difference
