1 x + 2 0, merupakan contoh PtLSV. Mengapa?
2 2 – 3y
≤ 3, merupakan contoh PtLSV. Mengapa? 3
2a + 7 ≥ 5, merupakan contoh PtLSV. Mengapa?
4 x + 2y 4, bukan contoh PtLSV. Mengapa?
5 x
2
– 4 0, bukan contoh PtLSV. Mengapa?
b. Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel PtLSV
Masalah-6.5
Gambar 6.6 Mobil Box Pengangkut Barang
Pak Fredy memiliki sebuah mobil box pengangkut barang dengan daya angkut tidak lebih dari 500
kg. Berat Pak Fredy adalah 60 kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak
beratnya 20 k
g.
a. Berapa kotak paling banyak dapat diangkut
Pak Fredy dalam sekali pengangkutan? b.
Jika Pak Fredy akan mengangkut 110 kotak, paling sedikit berapa kali pengangkutan kotak
itu akan habis?
Contoh 6.9
Agar masalah di atas dapat kita selesaikan, terlebih dahulu kita ubah ke dalam bentuk model matematika. Langkah-langkah mengubahnya adalah:
Misalkan: x = banyaknya kotak barang yang diangkut dalam mobil box. Mengubah kata ‘tidak lebih’ ke dalam simbol matematika yaitu: ≤
Sehingga model matematikanya adalah: 20x + 60 ≤ 500
Berat satu kotak = 20 kg
Berat = 20 × x kg
= 20 x Berat Pak Fredy
= 60 Berat keseluruhan = 20 x + 60
Misal a, b adalah bilangan real, dengan a ≠ 0.
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel PtLSV adalah kalimat terbuka yang memiliki sebuah variabel yang dinyatakan dengan bentuk
ax + b 0 atau ax + b 0 atau ax + b
≤ 0 atau ax + b ≥ 0.
Deinisi 6.9
Matematika
279
a Paling banyak kotak yang dapat diangkut pak Fredy dalam sekali pengangkutan adalah nilai x paling besar pada penyelesaian pertidaksamaan 20x
+ 60 ≤ 500. Mengapa? Berdiskusilah dengan temanmu. Penyelesaian pertidaksamaan ini kita lakukan sebagai berikut.
20x + 60 ≤ 500
20x + 60 – 60 ≤ 500 – 60
kedua ruas dikurang 60 20x
≤ 440 kedua ruas dibagi 20
x ≤ 22
x paling besar yang memenuhi pertidaksamaan x ≤ 22 adalah 22.
Maka kotak yang dapat diangkut pak Fredy dalam sekali pengangkutan paling banyak adalah 22 kotak.
DISKUSI
Diskusikan dengan temanmu: Berapa kali pengangkutan jika pak Fredy mengangkut lebih sedikit dari 22 kotak setiap berangkat?
Masalah-6.6
Rumah Ibu Suci dibangun di atas sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 20 m dan lebarnya 6y - 1 m. Jika Luas tanah Ibu Suci tidak kurang dari 100 m
2
, 1 berapakah lebar terkecil tanah ibu Suci?
2 jika biaya untuk membangun rumah di atas tanah seluas 1m
2
dibutuhkan uang Rp 2.000.000,- Berapakah biaya terkecil yang harus disediakan Ibu Suci jika seluruh tanahnya dibangun?
Ingat kembali rumus Luas persegi panjang, Luas = panjang x lebar Untuk tanah ibu Suci kita peroleh:
Luas = 20 × 6y – 1
= 120y – 20 ingatkah kamu bagaimana pengerjaannya?
Jika Luas tanah ibu Suci tidak kurang dari 100 m
2
, maka model matematikanya adalah: 120y – 20 ≥ 100
1 Lebar tanah terkecil diperoleh untuk y paling kecil. Mengapa?
120y -20 ≥ 100
120y -20 + 20 ≥ 100 + 20
kedua ruas ditambah 20 120y
≥ 120 kedua ruas dibagi 120
y ≥ 1
b Pengangkutan kotak paling sedikit dapat terjadi jika Pak Fredy mengangkut 22 kotak pada setiap pengangkutan. Apakah kamu setuju? Berdiskusilah dengan temanmu.
Banyak pengangkutan paling sedikit = = 5 kali.
Sehingga banyak pengangkutan paling sedikit untuk mengangkut barang sebanyak 110 kotak adalah 5 kali pengangkutan.
Kelas VII SMPMTs
280
A 328
Model matematika dari masalah di atas adalah: Untuk menentukan nilai a kita lakukan sebagai berikut.
× 2 × 2 kedua ruas dikali 2
kedua ruas dikurang 3 kedua ruas dikurang 4a
Masalah 6.9
Bandi dan Lino masing-masing berusia 2a + 2 tahun dan
5 3
2 a +
tahun. Jika umur Bandi kurang dari umur Lino, tentukan nilai a?
Contoh 6.10
Penyelesaian
Agar umur Bandi kurang dari umur Lino, maka a 1.
Masalah-6.7
Diketahui sebuah pernyataan yang menggunakan tanda pertaksamaan, yaitu 2 1. 1 Bagaimana tanda jika kedua ruas ditambah dengan sebuah bilangan bulat positif?
2 Bagaimana tanda jika kedua ruas ditambah dengan sebuah bilangan bulat negatif? 3 Bagaimana tanda jika kedua ruas dikurang dengan sebuah bilangan bulat positif?
4 Bagaimana tanda jika kedua ruas dikurang dengan sebuah bilangan bulat negatif? 5 Bagaimana tanda jika kedua ruas dibagi dengan sebuah bilangan bulat positif?
6 Bagaimana tanda jika kedua ruas dibagi dengan sebuah bilangan bulat negatif? 7 Bagaimana tanda jika kedua ruas dikali dengan sebuah bilangan bulat positif?
8 Bagaimana tanda jika kedua ruas dikali dengan sebuah bilangan bulat negatif?
DISKUSI
Diskusikan dengan temanmu: Masih ada alternatif lain untuk memecahkan Masalah 6.9 di atas, berdiskusilah dengan temanmu ke-
mudian temukanlah alternatif yang lain itu. Nilai y paling kecil dari penyelesaian y
≥ 1 adalah 1. Mengapa? Lebar tanah terkecil diperoleh jika y = 1
Dengan mengganti y = 1 ke persamaan 6y – 1 diperoleh lebar = 61 – 1 = 5 Jadi lebar tanah terkecil Ibu Suci adalah 5 m.
2 Biaya terkecil yang harus disediakan Ibu Suci jika seluruh tanahnya dibangun diperoleh jika luas tanahnya juga yang paling kecil, sedangkan luas tanah terkecil diperoleh jika lebar tanahnya paling
kecil. Pada butir 1 di atas, lebar tanah terkecilnya adalah 5 m, sehingga luas paling kecil adalah
Luas = 20 m × 5 m = 100 m
2
. Maka biaya paling kecil = 100 m
2
× Rp 2.000.000,00 = Rp 200.000.000,-
Matematika
281
− −
− −
− −
−
1 Tanda jika kedua ruas ditambah dengan sebuah bilangan bulat positif. Misalkan bilangan bulat positif itu adalah 2.
2 1 2 + 2 1 + 2
kedua ruas ditambah 2 4 3
merupakan pernyataan yang bernilai benar Kita peroleh tanda ‘’ tidak berubah.
− −
− −
− −
−
2 Tanda jika kedua ruas ditambah dengan sebuah bilangan bulat negatif. Misalkan bilangan bulat positif itu adalah -2.
2 1 2 + -2 1 + -2
kedua ruas ditambah -2 0 -1
merupakan pernyataan yang bernilai benar Kita peroleh tanda ‘’ tidak berubah.
3 Tanda jika kedua ruas dikurang dengan sebuah bilangan bulat positif. Misalkan bilangan bulat positif itu adalah 3.
2 1 2 - 3 1 - 3
kedua ruas dikurang 3 -1 -2
merupakan pernyataan yang bernilai benar Kita peroleh tanda ‘’ tidak berubah.
4 Tanda jika kedua ruas dikurang dengan sebuah bilangan bulat negatif. Misalkan bilangan bulat negatif itu adalah -3.
2 1 2 – -3 1 – -3
kedua ruas dikurang -3 5 4
merupakan pernyataan yang bernilai benar Kita peroleh tanda ‘’ tidak berubah.
5 Tanda jika kedua ruas dibagi dengan sebuah bilangan bulat positif Misalkan bilangan bulat positif itu adalah 2.
2 1 kedua ruas dibagi 2
1 merupakan pernyataan yang bernilai benar
Kita peroleh tanda ‘’ tidak berubah. 6 Tanda jika kedua ruas dibagi dengan sebuah bilangan bulat negatif
Misalkan bilangan bulat negatif itu adalah -2. 2 1
kedua ruas dibagi- 2 -1 -
merupakan pernyataan yang bernilai salah Agar -1 -
bernilai benar maka tanda ‘’ harus kita ubah menjadi tanda ‘’, sehingga: -1 -
merupakan pernyataan yang bernilai benar
Kelas VII SMPMTs
282
DISKUSI
Diskusikan dengan temanmu: Apakah hal-hal yang kita peroleh di atas berlaku pada tanda: ‘’, ‘≥’, ’≤’ ?
Apakah kesimpulan di atas berlaku pada bilangan pecahan ?
Apakah kesimpulan di atas berlaku pada bilangan 0? Hal apa yang anda temukan? Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 6.10 di atas, kita kemukakan sifat-sifat sebagai berikut.
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
i Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurang dengan sebuah bilangan maka tanda perti- daksamaan tetap.
ii Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan positif maka tanda per- tidaksamaan tetap.
iii Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan negatif maka tanda per- tidaksamaan harus diubah menjadi , ≤ menjadi ≥, dan sebaliknya.
Sifat-2 7 Tanda jika kedua ruas dikali dengan sebuah bilangan bulat positif
Misalkan bilangan bulat positif itu adalah 2. 2 1
2 × 2 1 × 2 kedua ruas dikali 2
4 2 merupakan pernyataan yang bernilai benar
Kita peroleh tanda ‘’ tidak berubah. 8 Tanda jika kedua ruas dikali dengan sebuah bilangan bulat negatif.
Misalkan bilangan bulat negatif itu adalah -2. 2 1
2 × -2 1 × -2 kedua ruas dikali -2
-4 -2 merupakan pernyataan yang bernilai salah
Agar pernyataan -4 -2 bernilai benar maka tanda ‘’ diubah menjadi tanda ‘’, sehingga: -4 -2
merupakan pernyataan yang bernilai benar
Matematika
283
Penyelesaian
WA
ntukanlah nilai yang meme
a b
Tentukanlah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini.
Contoh 6.11
A 31
a
kedua ruas ditambah 6 kedua ruas dikurang
kedua ruas dikali -1 kedua ruas dikali
A 31
Jadi nilai yang memenuhi pertidaksamaan adalah
.
A 332
kedua ruas ditambah 1 2x
kedua ruas dikurang 2x
2y ≤ 50 1 ≥ 6
4 +x ≥
6.3
tihan
A 332
Jadi nilai yang memenuhi pertidaksamaan
adalah .
2y ≤ 50 1 ≥ 6
4 +x ≥
6.3
tihan A
31
b
WA
kedua ruas dikali 4
Uji Kompetensi - 6.3
1. Ubahlah masalah nyata berikut ke dalam bentuk pertidaksaman linear satu variabel.
a Sebuah bus dapat mengangkut tidak kurang dari enampuluh orang penumpang.
b Jarak rumah Beni ke sekolah lebih dari seratus meter.
c Penghasilan ibu Monika tidak lebih dari dua juta rupiah setiap bulannya.
d Sebuah pesawat berada diketinggian tidak kurang dari tiga ribu kaki di atas permukaan laut.
e Kecepatan Udin berkendara tidak lebih dari 50 kmjam.
2. Ubahlah pertidaksamaan linear berikut ke dalam permasalahan kehidupan sehari-hari.
a x 10
b 2y
≤ 50 c
2x + 3 4 d
5a – 1 ≥ 6
e 7 3x
Kelas VII SMPMTs
284
Amati tagihan listrik atau telepon rumah atau sekolahmu. Bila tidak punya, kamu juga minta tetangga atau guru atau kepala sekolahmu.
a. Tergantung apakah besar tagihan tersebut? b. Apakah tagihan listrik dapat dinyatakan dengan persamaan linear variabel?
c. Bagaimana persamaan linear tersebut dapat dipakai untuk menghitung banyaknya pemakaian apabila diketahui besar tagihan?
Buat laporan hasil pengamatanmu ini, dan sajikan di depan kelas.
Projek
3. Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
a x + 5 15
b 2 – 4 + x
≥ – 22 c
p + 4 ≤ 8
d 2x – 4 3x + 9
e ≤ 3
4. Sebuah setigita sama kaki memiliki panjang sisi yang sama dengan 5 kali panjang sisi lainnya. Agar
keliling segitiga tersebut lebih besar dari 50 m, berapakah panjang masing-masing sisi segitiga tersebut? 5.
Pak Ketut akan membangun rumah di atas sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 30 m dan lebarnya 2y +1 m. Jika Luas tanah pak Ketut tidak lebih dari 150 m
2
: a Berapakah lebar tanah pak Ketut yang paling besar?
b Biaya untuk membangun 1m
2
dibutuhkan uang empat setengah juta rupiah, berapakah biaya maksimal yang harus disediakan pak Ketut jika seluruh tanahnya dibangun?
6. Pak Todung memiliki sebuah mobil box pengangkut barang dengan daya angkut maksimal 1 ton. Berat
pak Todung adalah 50 kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 25 kg. a
Berapa kotak paling banyak dapat diangkut pak pak Todung dalam sekali pengangkutan? b
Jika pak Todung akan mengangkut 1994 kotak, paling sedikit berapa kali pengangkutan kotak itu akan habis?
c Jika setiap kotak beratnya 50 kg, berapa paling sedikit banyak pengangkutan yang akan dilakukan
pak Todung?
Matematika
285
Beberapa hal penting yang dapat kita rangkum dari hasil pembahasan persamaan dan pertidaksamaan linear disajikan sebagai berikut.
1. Dalam pemecahan masalah nyata disekitar kita, model matematika dari permasalahan tersebut dapat berupa persamaan linear dan pertidaksamaan linear satu variabel.
2. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0, dengan a, b adalah bilangan real dan a
≠ 0. 3. Persamaan linear menggunakan relasi sama dengan = tetapi pertidaksamaan linear menggunakan
relasi atau atau ≤ atau ≥. 4. Himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear adalah suatu himpunan yang
anggotanya semua nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan dan pertidaksamaan tersebut. Selanjutnya kita akan membahas materi tentang aritmetika sosial. Dalam bahasan ini, kita akan
membicarakan tentang penjualan dan pembelian produk barang dengan hasil penjualan dapat berakibat keuntungan dan kerugian, apabila dibandingkan dengan harga pembelian barang. Dalam kajian
selanjutnya, kita juga membahas tentang tara, bruto, netto, diskon, dan pajak. Manfaatkanlah berbagai konsep dan aturan matematika yang telah kamu miliki dalam mempelajari materi bahasan berikutnya.
D. PENUTUP
