Adi menabung sisa uang jajannya selama 10 hari sebesar Rp 10.000,00. Setiap hari Adi menyisihkan uang yang sama banyaknya. Berapa rupiahkah Adi menyisihkan uangnya setiap hari?
Penyelesaian
Misalkan a adalah banyaknya uang yang ditabung Adi setiap hari. Jika Adi menabung 10 hari, maka diperoleh persamaan:
10 × a = 10.000 a =
10 000 10
.
= 1.000 Berarti setiap hari Adi menabung sebesar Rp 1.000,00.
Contoh 6.3
naik sampai ketinggian 8.000 kaki. Tentukan kenaikan posisi pesawat dengan penjumlahan
bilangan bulat 5. Harga satu 1 kg Apukat satu bulan yang lalu
Rp 6.000,00. Karena sekarang sedang musim Alpukat, harganya dipasaran turun hingga
Rp 2.000,00 per kg. Coba tentukan harga penurunan Alpukat dengan penjumlahan
bilangan bulat
6. Lina menyiapkan 40 kotak kue untuk ulang tahunnya. Kue tersebut dibawa ke kelas untuk
dibagikan ke teman sekelasnya masing-masing satu. Karena ada temannya yang tidak masuk,
maka ada kotak kue yang tersisa.
a. Buat kalimat tertutup yang menyatakan banyaknya kue yang dibagikan dengan
murid yang tidak masuk. b. Bila yang tidak masuk 3 orang,berapakah
kotak kue yang dibagikan? 1. Perhatikan kalimat-kalimat berikut.
a Samarinda adalah ibukota propinsi Kalimantan Timur.
b 2 + 3 = 6 c 2 adalah bilangan prima terkecil dan
merupakan bilangan genap. d 4b – 9 = 4b – 9
Manakah dari antara kalimat tersebut yang merupakan kalimat tertutup dan kalimat terbuka?
2. Manakah di bawah ini yang merupakan Persamaan linear Satu Variabel?
a. 2x – 4 = 8 b. – 4 + 3s = 24
c. – 8 – d
2
= 32 d. 5u – 2 = u – 2
3. Tentukan nilai x, jika 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 + … + 2x + 50 = 4275.
4. Sebuah pesawat mula-mula terbang pada ketinggian 3.500 kaki di atas permukaan laut.
Karena gumpalan awan, pesawat terbang
Uji Kompetensi - 6.1
2. BENTUK SETARA EKUIVALEN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
Masalah-6.2
Nining, Cindy, dan Maya adalah tiga orang siswa di kelas VII SMP. Banyak buku bacaan matematika yang dimiliki Nining ditambah dengan banyak buku bacaan matematika yang dimiliki Maya
adalah 3. Banyak buku bacaan matematika yang dimiliki Nining ditambah dengan banyak buku bacaan matematika yang dimiliki Cindy adalah 4. Banyak buku bacaan matematika yang dimiliki oleh Maya
adalah 1 dan buku bacaan matematika yang dimiliki oleh Cindy adalah 2. Berapa sesungguhnya buku bacaan matematika yang dimilliki oleh Nining?
Kelas VII SMPMTs
270
Perhatikan kembali persamaan 1 dan persamaan 2 pada alternatif penyelesaian masalah 6.2 di atas Persamaan 1 dan persamaan 2 memiliki himpunan penyelesaian yang sama yaitu {2}. Persamaan 1
dan persamaan 2 disebut dua buah persamaan yang setara atau ekuivalen. Perhatikan kembali persamaan linear satu variabel berikut
1 2a – 8 = 10 2 2a – 6 = 12
3 2a – 9 = 9 4 a – 4 = 5
Jika persamaan itu kita selesaikan, akan kita peroleh. 1 2a – 8 = 10, himpunan penyelesaiannya adalah {9}.
2 2a – 6 = 12, himpunan penyelesaiannya adalah {9}. 3 2a – 9 = 9, himpunan penyelesaiannya adalah {9}.
4 a – 4 = 5, himpunan penyelesaiannya adalah {9}.
Ternyata keempat persamaan linear itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Keempat persamaan itu merupakan persamaan yang setara atau ekuivalen.
Dari alternatif penyelesaian Masalah 6.2 dan uraian di atas, kita deinisikan persamaan yang setara atau ekuivalen sebagai berikut
Deinisi 6.8
Dua atau lebih persamaan linear dikatakan setara atau ekuivalen jika himpunan penyelesaian persamaan itu sama tetapi bentuk persamaannya berbeda, dilambangkan dengan
⇔.
Contoh 6.4
a. x – 4 = 8 ekuivalen dengan x – 5 = 7, karena himpunan penyelesaiannya adalah sama yaitu {12}.
Dengan menggunakan lambang ekuivalen ditulis: x – 4 = 8 ⇔ x – 5 = 7.
b. 2y + 6 = 16 ekuivalen dengan 2y – 10 = 0, karena himpunan penyelesaiannya adalah sama yaitu {5}.
Dengan menggunakan lambang ekuivalen ditulis: 2y + 6 = 16 ⇔ 2y – 10 = 0.
c. x – 4 = 8 tidak ekuivalen dengan x – 4 = 10, karena himpunan penyelesaiannya berbeda. Pada persamaan
x – 4 = 8 himpunan penyelesaiannya adalah {12}, sedangkan pada persamaan x – 4 = 10 himpunan penyelesaiannya adalah {14}.
Misalkan x adalah banyak buku bacaan matematika yang dimiliki Nining. Banyak buku bacaan matematika yang dimiliki Maya adalah 1.
banyak buku bacaan matematika yang dimiliki Cindy adalah 2.
Dari Masalah 6.3 di atas dapat kita bentuk persamaan linear satu variabel sebagai berikut. x + 1 = 3 ................................................1
x + 2 = 4 ................................................2 Dari persamaan 1 diperoleh x = 2.
Dari persamaan 2 diperoleh x = 2. Dengan demikian, banyak buku bacaan matematika yang dimiliki oleh Cindy adalah 2.
Matematika
271
Sebagai latihanmu: Temukanlah 5 buah persamaan yang setara atau ekuivalen dengan persamaan
4 - 2b = 6
Berapa banyak persamaan yang ekuivalen dengan persamaan 4 - 2b = 6? Berikan alasanmu
Konsep persamaan dapat kita terapkan pada konsep timbangan sebagai berikut. Timbangan akan seimbang apabila berat suatu benda di sebelah kiri sama dengan berat suatu benda di sebelah kanan.
Perhatikan Gambar 6.3 berikut.
Gambar 6.3 Kesetimbangan
Pada gambar i terlihat bahwa berat benda di sebelah kiri sama dengan berat benda di sebelah kanan sehingga disebut setimbang. Pada gambar ii berat benda di sebelah kiri tidak sama dengan berat benda di
sebelah kanan maka disebut tidak setimbang. Prinsip kesetimbangan seperti Gambar 6.3 di atas, akan kita gunakan untuk menyelesaikan Masalah
6.3 berikut.
Masalah-6.3
Ketika belajar kesetimbangan di sekolah, Simon ingin mempraktekkannya di rumah. Setelah pulang sekolah dia melihat di rumahnya ada 10 buah bola besi yang sama dan dua buah lempengan besi yang
juga sama. Informasi dari orangtuanya bahwa satu buah bola besi beratnya1 kg, tetapi berat lempengan besi tidak diketahuinya. Penasaran ingin mengetahui berapa berat lempengan besi sesungguhnya, ia
melakukan percobaan sebagai berikut. 1 Pada percobaan pertama dia menemukan bahwa 1 buah lempengan besi ditambah dengan 1 buah
bola besi setimbang dengan 4 buah bola besi. 2 Pada percobaan kedua dia menemukan bahwa 1 buah lempengan besi ditambah dengan 2 buah
bola besi setimbang dengan 5 buah bola besi. 3 Pada percobaan ketiga dia menemukan bahwa 1 buah lempengan besi ditambah dengan 3 buah
bola besi setimbang dengan 6 buah bola besi. 4 Pada percobaan kelima dia menemukan bahwa 2 buah lempengan besi setimbang dengan 6 buah
bola besi. Berapa berat lempengan besi yang sesungguhnya?
Gambar 6.4 Percobaan pada Kesetimbangan Kelas VII SMPMTs
272
Misalkan x adalah berat satu buah lempengan besi. Dari keempat percobaan itu, kita temukan persamaan linear satu variabel sebagai berikut.
Dari percobaan 1, 1 buah lempengan besi ditambah dengan 1 buah bola besi setimbang dengan
4 buah bola besi, sehingga berat 1 buah lempengan besi sama dengan berat 3 buah bola besi. Dengan demikian karena 1 buah bola besi beratnya 1 kg, maka berat 1 buah lempengan besi adalah 3 kg.
Persamaan linear satu variabel yang kita peroleh adalah x + 1 = 4. Dari percobaan 2, 1 buah lempengan besi ditambah dengan 2 buah bola besi setimbang dengan
5 buah bola besi, sehingga berat 1 buah lempengan besi sama dengan berat 3 buah bola besi. Dengan demikian karena 1 buah bola besi beratnya 1 kg, maka berat 1 buah lempengan besi adalah 3 kg.
Persamaan linear satu variabel yang kita peroleh adalah x + 2 = 5. Dari percobaan 3, 1 buah lempengan besi ditambah dengan 3 buah bola besi setimbang dengan
6 buah bola besi, sehingga berat 1 buah lempengan besi sama dengan berat 3 buah bola besi. Dengan demikian karena 1 buah bola besi beratnya 1 kg, maka berat 1 buah lempengan besi adalah 3 kg.
Persamaan linear satu variabel yang kita peroleh adalah x + 3 = 6. Dari percobaan 4, 2 buah lempengan besi setimbang dengan 6 buah bola besi, sehingga berat
1 buah lempengan besi sama dengan berat 3 buah bola besi. Dengan demikian karena 1 buah bola besi beratnya 1 kg, maka berat 1 buah lempengan besi adalah 3 kg.
Persamaan linear satu variabel yang kita peroleh adalah 2x = 6. Dari keempat percobaan di atas, disimpulkan bahwa berat satu buah lempengan besi adalah 3 kg.
Keempat persamaan linear satu variabel yang diperoleh berdasarkan hasil percobaan yang dilakukan Simon di atas merupakan persamaan linear satu variabel yang setara atau ekuivalen.
Jika kita perhatikan persamaan linear satu variabel yang diperoleh berdasarkan hasil percobaan 1 sd 4, kita temukan hal berikut.
– Percobaan 1, yang dilakukan Simon adalah sama-sama menambahkan 1 buah bola besi di sebelah kiri dan di sebelah kanan timbangan. Jika kita lihat persamaannya kita temukan: x + 1 + 1= 4 + 1 ekuivalen
dengan x + 2 = 5. – Percobaan 2, yang dilakukan Simon adalah sama-sama menambahkan 2 buah bola besi di sebelah
kiri dan di sebelah kanan timbangan dari percobaan pertama, jika kita lihat persamaannya kita temukan: x + 1 + 2= 4 + 2 ekuivalen dengan x + 3 = 6.
– Percobaan 3, yang dilakukan Simon adalah sama-sama menambahkan 3 buah bola besi di sebelah kiri dan di sebelah kanan timbangan dari percobaan pertama, jika kita lihat persamaannya kita temukan:
Ilustrasi percobaan Simon di atas, kita tunjukkan lewat gambar di bawah.
Gambar 6.4 Percobaan pada Kesetimbangan
Matematika
273
Sifat-sifat kesetaraan persamaan linear satu variabel. Jika setiap ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan linear satu variabel ditambah dengan sebuah
bilangan real maka menghasilkan persamaan linear satu variabel yang setara. Jika setiap ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan linear satu variabel dikurang dengan sebuah
bilangan real maka menghasilkan persamaan linear satu variabel yang setara. Jika setiap ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan linear satu variabel dikalikan dengan sebuah
bilangan real yang bukan nol maka menghasilkan persamaan linear satu variabel yang setara. Jika setiap ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan linear satu variabel dibagi dengan sebuah
bilangan real yang bukan nol maka menghasilkan persamaan linear satu variabel yang setara. Sifat-6.1
Sifat-sifat yang kita temukan di atas, dapat kita gunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut. 1 x + 4 = 9
2 5m + 4 = 2m + 16
3 4y – 10 = 14 4 7a + 3 = 0
5 8 – 4b = 6 6 24y -11 = 33 – 20y
Penyelesaian
1 x + 4 = 9 x + 4 – 4 = 9 – 4
kedua ruas dikurang 4 x + 0 = 5
sifat identitas penjumlahan bilangan bulat x = 5
Maka himpunan penyelesaiannya adalah {5}. 2 5m + 4 = 2m + 16
5m + 4 – 4 = 2m + 16 – 4 kedua ruas dikurang 4
5m + 0 = 2m + 12 5m – 2m = 2m + 12 – 2m
kedua ruas dikurang 2m 5m – 2m = 2m – 2m + 12
sifat komutatif penjumlahan 3m = 0 + 12
3m = 12
3 12
3 3
m =
kedua ruas dibagi 3 m = 4
Maka himpunan penyelesaiannya adalah {4}.
Contoh 6.5
x + 1 + 3= 4 + 3 ekuivalen dengan x + 4 = 7. – Percobaan 4, yang dilakukan Simon adalah sama-sama mengurangkan 1 buah bola besi di sebelah
kiri dan di sebelah kanan timbangan. Jika kita lihat persamaannya kita temukan: x + 1 - 1= 4 - 1 ekuivalen dengan x = 3. Kemudian sama-sama melipatgandakan ruas kiri dan ruas kanan. Jika kita
lihat persamaannya kita temukan: x = 3 ekuivalen dengan x × 2 = 3 × 2 ekuivalen dengan 2x = 6.
Dari hasil percobaan di atas, kita temukan sifat-sifat keseteraan persamaan linear satu variabel sebagai berikut.
Kelas VII SMPMTs
274
2a – 100 = 20 2a – 100 + 100 = 20 + 100
kedua ruas ditambah 100 2a + 0 = 120
2a = 120 kedua ruas dibagi 2
a = 60 1 Jika a adalah bilangan ganjil, maka himpunan penyelesaiannya adalah { }
2 Jika a adalah bilangan genap, maka himpunan penyelesaiannya adalah {60}. Dari kedua hal di atas, diketahui bahwa himpunan penyelesaian suatu persamaan linear sangat
dipengaruhi oleh semestanya. 2
120 2
2 a
=
Sebagai latihanmu:
Jika himpunan semesta a adalah bilangan prima, bagaimana penyelesaiannya?
Penyelesaian
Pak Tarto memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 4 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 80 m,
tentukan luas tanah Pak Tarto
Contoh 6.7
Gambar 6.5 Luas Tanah
Sebagai latihanmu:
Selesaikanlah butir 3 sd 6 pada Contoh 6.3 di atas.
Contoh 6.6
Perhatikan kembali contoh berikut. Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan linear 2a – 100 = 20, jika:
1 a adalah bilangan ganjil. 2 a adalah bilangan genap.
Matematika
275
Penyelesaian
Misalkan panjang tanah adalah x, maka lebar tanah adalah x – 4. Sehingga diperoleh persamaan
p = x dan l = x – 6 sehingga K = 2p + 2l
80 = 2x + 2x – 4 Penyelesaian persamaan tersebut adalah sebagai berikut.
80 = 2x + 2x – 4
Mengapa? 80
= 2x + 2x – 8 Mengapa?
80 = 4x – 8
Mengapa? 80 + 8
= 4x – 8 + 8 Mengapa?
=
4 4
x
Mengapa 22
= x Mengapa?
Luas = p × l
= x x – 4 = 2222 – 4 = 396
Jadi luas tanah Pak Tarto adalah 396 m
2
. 88
4
DISKUSI
● Apakah mungkin persamaan linear satu variabel memiliki penyelesaian lebih dari satu. Beri contoh.
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut. a
24m = 12 b
3z + 11 = - 28 c
25 – 4y = 6y + 15 d
– 4x – 15 = 1 – 8x 6
6 a
+ 2 = 4 2. Jika x adalah bilangan asli, tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut.
a 6x + 5 = 26 – x
b 2 – 4x = 3
c x – 12 = 2x + 36
d -5x – 4x + 10 = 1
e 2 +
4 x
= 5
Uji Kompetensi - 6.2
Kelas VII SMPMTs
276
3. PERTIDAKSAMAAN LINEAR
