65
Peluang
Hasil percobaan yang didaftar menggunakan tabel, hanya sesuai untuk kasus yang terdiri atas dua percobaan,
seperti pelemparan dua dadu, pengetosan dua uang logam, dan pengetosan sebuah dadu diikuti oleh sebuah uang logam.
Adapun hasil percobaan yang didaftar menggunakan diagram pohon, sesuai untuk kasus yang memiliki dua percobaan atau
lebih. Sebagai contoh, pelemparan tiga uang logam, pengetosan tiga dadu, dan sebagainya.
Jika Anda ditanya, berapa banyak hasil yang mungkin untuk pengetosan dadu sebanyak lima kali? Anda akan memperoleh
7.776 hasil yang mungkin. Jika didaftar dengan diagram pohon, semua hasil tersebut jelas tidak efi sien.
Contoh lain, misalnya akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara kelas dari 40 siswa. Berapa cara
yang akan diperoleh? Anda akan memperoleh 59.280 cara. Jika Anda mendaftar semua cara menggunakan diagram pohon, diperlukan
waktu yang sangat lama atau boleh dikatakan tidak mungkin. Untuk menyelesaikan masalah seperti ini, Anda dapat
menggunakan Aturan Perkalian berikut.
Aturan Perkalian
1. Misalkan, ada dua percobaan. Percobaan pertama memiliki
n
1
hasil yang mungkin dan percobaan kedua memiliki n
2
hasil yang mungkin, dan saling bebas sehingga banyak hasil yang
mungkin dari kedua percobaan secara berurutan diberikan oleh hasil perkalian berikut.
n
1
× n
2
2. Secara umum, misalkan ada k percobaan yang setiap kejadi-
annya memiliki hasil n
1
, n
2
, n
3
, ..., n
k
dan saling bebas maka banyak hasil yang mungkin dari k percobaan secara berurutan
diberikan oleh hasil kali berikut. n
1
× n
2
× n
3
× ... × n
k
Soal Menantang
Yoris sedang menempuh suatu tes yang terdiri
atas tiga soal berbentuk pertanyaan benar atau
salah. Coba Anda daftarkan semua jawaban
yang mungkin, jika Yoris menjawab soal dengan
menebak. Cara apa yang akan Anda gunakan?
Jelaskan dan berikan alasannya.
Anda dapat menerapkan aturan perkalian untuk menentu- kan banyak hasil yang mungkin dalam percobaan-percobaan
seperti pada Contoh Soal 2.1 dan 2.2. Kasus dalam Contoh Soal 2.1 terdiri atas dua percobaan, yaitu mengetos dadu yang
pertama dan mengetos dadu yang kedua. Percobaan pertama memiliki enam hasil yang mungkin, n
1
= 6. Percobaan kedua memiliki enam hasil yang mungkin, n
2
= 6. Sesuai dengan aturan perkalian, total hasil yang mungkin dari percobaan
tersebut adalah: n
1
× n
2
= 6 × 6 = 36
66
Aktif Belajar Matematika untuk Kelas XI Program Bahasa
Kasus dalam Contoh Soal 2.2 juga terdiri atas dua
percobaan, yaitu jalan dari kota A ke kota B dan jalan dari kota B
ke kota C. Percobaan pertama memiliki empat hasil yang mungkin, n
1
= 4. Percobaan kedua memiliki tiga hasil yang mungkin, n
2
= 3. Sesuai dengan aturan perkalian, total hasil yang mungkin dari percobaan tersebut adalah:
n
1
× n
2
= 4 × 3 = 12 Agar Anda lebih memahami konsep aturan perkalian,
pelajarilah beberapa kasus dalam Contoh Soal 2.3 berikut.
Contoh Soal 2.3
Menentukan Banyak Hasil Suatu Percobaan dengan Aturan Perkalian
Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara kelas dari 4 0 siswa jika tidak ada jabatan
yang dirangkap?
Penyelesaian: Kasus ini terdiri atas tiga percobaan berurutan, misalkan
k
1
: percobaan memilih ketua kelas k
2
: percobaan memilih sekretaris k
3
: percobaan memilih bendahara • Untuk k
1
, ketua kelas dapat dipilih dengan 40 cara dari 40 siswa yang ada. Dituliskan n
1
= 40. • Untuk k
2
, sekretaris dapat dipilih dengan 39 cara dari 39 siswa yang ada 1 siswa lagi tidak dapat dipilih karena telah terpilih
menjadi ketua kelas. Dituliskan n
2
= 39. • Untuk k
3
, bendahara hanya dapat dipilih dengan 38 cara dari 38 siswa yang ada 2 siswa lagi tidak dapat dipilih karena telah
terpilih menjadi ketua dan sekretaris. Dituliskan n
3
= 38. Sesuai dengan aturan perkalian, total percobaan berurutan k
1
, k
2
, dan k
3
adalah n
1
× n
2
× n
3
= 40 × 39 × 38 = 59.280 Kaidah pengisian tempat yang tersedia untuk percobaan berurutan k
1
, k
2
, dan k
3
ini ditunjukkan seperti Gambar 2.2.
40 ×
39 ×
38 = 59.280
tempat ke-1
tersedia 40 tempat
ke-2 tersedia 39
tempat ke-3
tersedia 38 1 sudah
terisi 2 sudah
terisi
Gambar 2.2
2. Deinisi dan Notasi Faktorial
Tiga bendera berbeda akan ditempatkan berjajar ke belakang. Ketiga bendera tersebut misalnya bendera negara Indonesia,
bendera negara Arab, dan bendera negara Inggris. Dalam berapa cara susunan bendera ini dapat dilakukan?
Dengan menggunakan aturan perkalian, diperoleh banyak susunan bendera adalah 3 × 2 × 1 = 6 pilihan. Perkalian 3 × 2 × 1
dapat dinyatakan dengan 3 dibaca 3 faktorial.
67
Peluang
Catatan
Notasi dan Dei nisi Faktorial
Hasil perkalian semua bilangan asli secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n
faktorial, dan diberi notasi n. Dengan demikian,
n
= 1 × 2 × 3 × ... × n atau
n = n n – 1n – 2 ... × 1
Perlu diingat bahwa 0 = 1 dan 1 = 1.
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah Contoh Soal 2.4 berikut.
Contoh Soal 2.4
Menghitung Pernyataan Faktorial
Hitunglah setiap pernyataan faktorial berikut. a.
4 = .... d.
10 9
8 9
8 9
8 9
8 9
8 9
8 = ....
b.
8 5
= .... e.
9 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 = ....
c.
10 2 7
2 7 2 7
= ....
Penyelesaian: a.
4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
b.
8 5
8 7
6 5
6 5
5 5
= ¥ ¥ 8
7 8
7 6
5 6
5
= 8 × 7 × 6 = 336 c
10 2 7
10 9
8 7
2 7
2 7 2 7
= ¥ ¥ ¥
9 8
9 8
2 7
2 7
= 360
d.
10 9
8 10 9 8
9 8 10 9 8
9 8
9 8
9 8
1 8 +
9 8
9 8
0 9 8 0 9 8
× + 9 8
9 8 1 8
1 8 0 9 8
0 9 8 =
= 1 8
10 9 10
9 9
+ +1 8
1 8 1
1 ×
= =
e.
9 8
7 9
8 7
8 7
72 7
7 8
7 8
7 8
7 1
7 8
7 8
7 ¥ ¥
9 8
9 8
¥ -
8 7
8 7
1 7 1
7 ¥
8 1 8 1
8 1 =
= =
= 72
7 10
2 7
n = n n – 1n – 2 × ... × 1 = n n – 1
Untuk n = 1 maka 1 = 11 – 1 = 10
Akibatnya, 0 = 1 sehingga 0 = 1
Anda juga dapat menggunakan kalkulator scientii c untuk
menghitung faktorial-faktorial pada contoh soal ini. Untuk menghitung 4, tekan secara berurutan tombol berikut.
4 SHIFT x = Hasilnya akan tampak pada layar kalkulator, yaitu 24.
Silakan Anda coba untuk faktorial-faktorial lainnya.
3. Permutasi
Coba Anda sediakan kartu-kartu yang berisi huruf-huruf abjad a sampai dengan z. Misalkan, Anda akan membuat kata sandi yang
terdiri atas 3 huruf tanpa ada huruf yang diulang. Contohnya,
