68
Aktif Belajar Matematika untuk Kelas XI Program Bahasa
Catatan
Permutasi dari Suatu Himpunan Elemen
Permutasi dari suatu himpunan elemen adalah susunan dari elemen- elemen itu dalam suatu urutan tertentu.
Bersama teman sebangku, coba Anda diskusikan contoh-contoh kasus dalam kehidupan sehari-hari yang termasuk permutasi.
Permutasi sangat memperhatikan urutan. Misalnya, kata sandi abc berbeda dengan acb. Perhatikan kembali uraian
mengenai penyusunan kata sandi. Permutasi banyak kata sandi yang terdiri atas 3 huruf dari 26 huruf ditulis P26, 3, yaitu
P 26, 3 = 26 × 25 × 24
Dalam notasi faktorial, dapat ditulis sebagai berikut. P
26, 3 = 26 × 25 × 24 × 23
23 =
26 25
24 23
23 ¥
¥ 25
¥ =
26 23
26 =
26 3
- Hasil ini dapat diperumum untuk permutasi r elemen dari
n elemen atau Pn, r sebagai berikut.
Soal Menantang
Siswa kelas XI akan mengadakan kegiatan bakti
sosial. Pada pemilihan ketua dan wakil panitia,
muncul lima siswa sebagai calonnya. Tentukan
banyaknya susunan ketua dan wakil panitia yang
mungkin dalam kegiatan tersebut.
Operasi pembagian pada faktorial tidak sama dengan
pembagian aljabar biasa. Misalnya, 6
3 2
π
abc, acd, dan adc. Kata abc berbeda dengan kata acd. Begitu pula kata acd berbeda dengan adc. Kata aac tidak termasuk yang
diminta karena huruf a diulang dua kali. Berapa banyak kata sandi yang dapat Anda buat dari 26 kartu seluruh huruf ada
26? Coba Anda praktikkan dengan kartu tersebut. Untuk menyelesaikan masalah ini, Anda dapat menggu-
nakan aturan perkalian. Pada pemilihan pertama, ada 26 huruf yang dapat dipilih. Pada pemilihan kedua, ada 25 huruf yang
dapat dipilih karena satu huruf sudah digunakan pada pemilihan pertama. Pada pemilihan ketiga, ada 24 huruf yang dapat dipilih.
Mengapa? Coba Anda jelaskan. Dengan aturan perkalian, banyak kata sandi 3 huruf yang te-
pat dibuat dari 26 kartu huruf tanpa ada yang diulang adalah 26 × 25 × 24 = 15.600
Uraian tersebut menggambarkan masalah pencacahan yang disebut permutasi.
69
Peluang
Banyak Permutasi r Elemen dari n Elemen
Banyak susunan berbeda r elemen dari n elemen dengan r n yang memenuhi
1.
seluruh n elemen berbeda,
2. tidak ada elemen yang diulang, dan
3. urutan diperhatikan, dapat dirumuskan Pn,r =
n n
r n
r n
r
Bagaimana jika r = n? Dari teorema sebelumnya, diperoleh P n n
n n
n ,
P n P n
n n
= n
n n
n =
= =
= = nn – 1 n – 2
× ... × 1
Untuk lebih jelasnya, pelajari Contoh Soal 2.5 berikut.
Contoh Soal 2.5
Menghitung Permutasi Pn, r
Hitunglah permutasi-permutasi berikut. a.
P 6, 3
b. P
5, 4
c. P
5, 5
Penyelesaian: a.
P 6, 3 =
6 6
3 6
3 6
3 6
3 =
=
6 5
4 3
4 3
3 3
¥ ¥ 6
5 6
5 4
3 4
3
= 120 Anda juga dapat menghitung P6, 3 dengan menekan tombol-
tombol kalkulator scientii c, seperti pada Gambar 2.3.
b. P
5, 4 = 5
5 1
5 5
4 5
4 5
4 =
= 5
4 3
2 1 1
¥ ¥ ¥ ¥ = 120
karena
1 = 1
Periksa hasil ini dengan menggunakan kalkulator.
c. P
5, 5 = 5
5 5
5 -
= =
5 4
3 2 1
1 ¥ ¥
5 4
5 4
¥ ¥ 3
2 3
2
= 120 karena
0 = 1
Periksa hasil ini dengan menggunakan kalkulator.
6 SHIFT nPr 3 =
Tombol-tombol yang ditekan pada kalkulator untuk
menghitung P6, 3. Hasil yang tampak pada layar kalkulator
adalah 120.
Gambar 2.3
70
Aktif Belajar Matematika untuk Kelas XI Program Bahasa
Soal Menantang
Dari tiga huruf A, B, C, dan tiga angka 1, 2, 3 akan
dibuat pelat nomor motor yang di mulai dengan satu
huruf, diikuti dua angka, dan diakhiri dengan satu huruf.
Oleh karena khawatir tidak ada yang mau memakai,
pembuat pelat nomor tidak diperboleh kan membuat
pelat nomor yang memuat angka 13.
Banyaknya pelat nomor yang dapat dibuat adalah ....
a. 11
d. 54 b. 27
e. 72 c. 45
UM-UGM, 2003
Contoh Soal 2.7
Membentuk Bilangan Berbeda dengan Permutasi
Tersedia angka-angka 1, 2, 3, 5, 7. a.
Berapa banyak bilangan puluhan ribu dapat dibuat dari angka- angka tersebut tanpa ada angka yang diulang?
b. Berapa banyak bilangan ribuan dapat dibuat dari angka-angka
tersebut tanpa ada angka yang diulang?
c. Berapa banyak bilangan ratusan yang lebih dari 300 yang
dapat dibuat dari angka-angka tersebut tanpa ada angka yang diulang?
Contoh Soal 2.6
Menggunakan Rumus Permutasi
Dari himpunan huruf {A, B, C}, berapa banyak permutasi dua huruf dari himpunan huruf tersebut? Selesaikan dengan
a.
diagram pohon;
b. aturan perkalian;
c.
rumus permutasi.
Penyelesaian: a.
A B
C B
A C
C A
B AB
AC BA
BC CA
CB
Dari gambar terlihat ada 6 permutasi 2 huruf dari 3 huruf.
b. Misalkan, n
1
adalah banyaknya pengisian posisi kesatu, n
2
adalah banyaknya pengisian posisi kedua. Dituliskan
n
1
dapat dilakukan dengan 3 cara, n
2
dapat dilakukan dengan 2 cara, dan Dengan menggunakan aturan perkalian, diperoleh
n
1
× n
2
= 3 × 2 = 6 permutasi 2 huruf dari 3 huruf.
c. P
3, 2 = 3
3 2
3 2
3 2
= 3
2 1 1
¥ ¥ 3
2 3
2 = 6
Diperoleh 6 permutasi 2 huruf dari 3 huruf.
Ketiga cara tersebut menghasilkan jawaban yang sama. Cara manakah yang Anda anggap lebih mudah? Berikan alasannya.
71
Peluang
Penyelesaian: a.
Bilangan puluhan ribu adalah bilangan dari 10.000 sampai dengan 99.999. Jelas bahwa bilangan puluhan ribu terdiri atas 5 angka.
Dengan demikian, masalahnya adalah mengambil lima angka dari lima angka yang tersedia.
Perhatikan, bilangan 12.357 π bilangan 13.257. Ini adalah kasus
permutasi, karena urutan yang berbeda memberikan hasil yang berbeda. Dengan demikian, banyak bilangan puluhan ribu yang
dapat dibuat adalah P 5, 5 = 5
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
b. Bilangan ribuan adalah bilangan dari 1.000 sampai dengan
9.999. Jelas bahwa bilangan ribuan terdiri atas 4 angka. Dengan demikian, masalahnya adalah mengambil empat angka dari lima
angka yang tersedia. Dengan demikian, banyak bilangan ribuan yang dapat dibuat adalah permutasi 5 elemen diambil 4 elemen
atau P5, 4 diberikan oleh
P5, 4 = 5
5 4
5 1
5 4
5 4
5 4
= =
5 4
3 2 1
1 ¥ ¥
5 4
5 4
¥ ¥ 3
2 3
2 = 120
c. Bilangan ratusan terdiri atas 3 angka yang lebih dari 300 hanya
bisa diperoleh jika tempat pertama bilangan ratusan tersebut adalah 3, 5, atau 7.
angka pertama
angka kedua
angka ketiga
3 5
7 _
_ –
_ _
–
Angka pertama diisi angka 3, dua angka lainnya dapat diisi oleh angka-angka 1, 2, 5, dan 7. Banyak bilangan yang bisa diperoleh
adalah permutasi 2 elemen dari 4 elemen atau P 4, 2, yaitu
P 4, 2 =
4 2
12 =
Untuk angka pertama 5 atau 7 juga diperoleh banyak bilangan = P4,2. Jadi, banyak bilangan ratusan 300 adalah
3 × P4, 2 = 3 × 12 = 36
Contoh Soal 2.8
Masalah Urutan Duduk yang Di selesaikan dengan Permutasi
Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong, sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak
cara duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika
Solusi
Empat pasang suami-istri membeli karcis untuk 8 kursi
yang sebaris pada suatu pertunjukan. Dua orang
akan duduk bersebelahan hanya jika keduanya
pasangan suami istri atau berjenis kelamin sama.
Berapa banyakkah cara menempatkan keempat
pasang suami-istri itu pada ke-8 kursi tersebut?
Penyelesaian: Misalkan, indeks 1 untuk pria
dan 2 untuk wanita. Pengisian 8 kotak yang sesuai dengan
persyaratan adalah
A
1
A
2
B
2
B
1
C
1
C
2
D
2
D
1
Pasangan suami-istri dianggap 1 elemen sehingga
terdapat 4 elemen yang dapat saling bertukar posisi.
Banyak cara = P4, 4
= 4 = 24. Posisi pengisian kotak
tersebut bisa juga dibalik A
1
A
2
B
1
B
2
C
2
C
1
D
1
D
2
Jadi, total ada 2 × 24 = 48 cara.
Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Matematika Indonesia, Juni 2002
