berhubungan dengan sikap dan nilai dan bidang psikomotorik kemampuanketerampilan bertindakberperilaku. Ketiganya tidak berdiri
sendiri, tapi merupakan satu kesatuan yang tak terpisahkan, bahkan membentuk hubungan hirarki. Sebagai tujuan yang hendak dicapai,
ketiganya harus nampak sebagai hasil belajar siswa disekolah. Oleh sebab itu, ketiga aspek tersebut harus dipandang sebagai hasil belajar siswa dari
proses pengajaran Nana Sudjana, 1989:49 Berdasarkan uraian diatas, hasil belajar matematika berarti
penguasaan terhadap materi pelajaran matematika, meningkatnya hasil belajar matematika, serta terampil menggunakan matematika untuk
memecahkan persoalan-persoalan dalam kehidupan sehari-hari.
F. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat
Sebelum mempelajari materi ini, siswa diharapkan mengetahui bilangan bulat dan lambangnya.
1. Bilangan bulat dan lambangnya
Kita sudah pernah mempelajari beberapa macam bilangan, seperti bilangan asli dan bilangan cacah.
a. Bilangan asli, yaitu, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya. b. Bilangan cacah yaitu, 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya.
Kedua macam bilangan tersebut belum bisa digunakan untuk menyatakan hal-hal yang ada, misalnya untuk menuliskan suhu yang
sangat dingin atau suhu yang berada di bawah nol derajat. Untuk itu,
diperlukan bilangan negatif. Sebagai contoh, untuk menyatakan suhu 6° C di bawah nol, maka akan ditulis -6° C.
Bilangan-bilangan seperti -1, -2, -3, -4, -5, … disebut bilangan bulat negatif. Sedangkan bilangan-bilangan di atas nol seperti +1, +2,
+3, +4, +5, … disebut bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat negatif, nol, dan himpunan bilangan bulat positif membentuk
himpunan bilangan bulat. Bilangan bulat dapat dinyatakan dengan garis bilangan, yaitu
sebagai berikut:
Gambar 2.1: garis bilangan
Bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol, dan bilangan positif terletak di sebelah kanan nol.
Bilangan Bulat adalah bilangan-bilangan yang terdiri dari semua bilangan asli, nol dan semua lawan bilangan asli. Bilangan asli dikenal
sebagai bilangan bulat positif dan lawan bilangan asli dikenal sebagai bilangan bulat negatif. Negoro, ST dan Harahap, B, 1979: 7
2. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat
Penjumlahan dan
pengurangan bilangan
bulat dapat
ditunjukkan dengan menggunakan garis bilangan. Misalkan dibuat suatu perjanjian aturan sebagai berikut:
a. Bilangan bulat positif sepadan dengan melangkah ke kanan
b. Bilangan bulat negatif sepadan dengan melangkah ke kiri c. Ditambah berarti maju, maka melangkah searah dengan
penambahnya. d. Dikurangi berarti mundur, maka melangkah berlawanan arah
dengan pengurangnya.
1 Penjumlahan Bilangan Bulat Menggunakan Garis Bilangan
dan Mistar Hitung Geser a
Penjumlahan -3 + 6
Untuk menjumlahkan -3 dengan 6, maka langkahkan ke arah kiri 3 satuan dari titik nol. Ditambah berarti searah dengan
penambahnya. Sedangkan penambahnya merupakan bilangan bulat
positif, maka
harus melangkah
ke kanan
6 satuan.Sehingga hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung
langkah kedua, yaitu, 3.
Gambar 2.2 :penjumlahan -3+6 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik -3 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada
mistar hitung pertama yang bersesuaian dengan titik 6 pada mistar hitung kedua, yaitu 3 merupakan hasil dari -3 + 6.
Gambar 2.3 :penjumlahan -3+6 menggunakan mistar hitung geser
Jadi, -3+6 = 3
b Penjumlahan 5 + -4
Untuk menjumlahkan 5 dengan -4, maka langkahkan ke arah kanan 5 satuan dari titik nol. Ditambah berarti searah dengan
penambahnya. Sedangkan penambahnya merupakan bilangan bulat negatif, maka harus melangkah ke kiri 4 satuan. Sehingga
hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu 1.
Gambar 2.4 : penjumlahan 5+-4 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik 5 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada mistar
hitung pertama yang bersesuaian dengan titik -4 pada mistar hitung kedua, yaitu 1 merupakan hasil dari 5 + -4.
mistar hitung II mistar hitung I
Gambar 2.5 :penjumlahan 5+-4 menggunakan mistar hitung geser
Jadi, 5+-4 = 1
c Penjumlahan -4 + -2
Untuk menjumlahkan -4 dengan -2, maka langkahkan ke arah kiri 4 satuan dari titik nol. Ditambah berarti searah dengan
penambahnya. Sedangkan penambahnya merupakan bilangan bulat negatif, maka harus melangkah ke kiri 2 satuan. Sehingga
hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung langkah kedua yaitu -6.
Gambar 2.6: penjumlahan -4+-2 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik -4 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada
mistar hitung pertama yang bersesuaian dengan titik -2 pada mistar hitung kedua, yaitu -6 merupakan hasil dari -4 + -2.
mistar hitung II mistar hitung I
Gambar 2.7 :penjumlahan 4+-2 menggunakan mistar hitung geser
Jadi, -4 + -2 = -6
2 Pengurangan Bilangan Bulat
Bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat diatur berpasangan seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.8 : invers jumlah
Tiap anggota dari pasangan bilangan disebut lawan atau invers jumlah dari anggota yang lain.
-3 lawan dari 3 atau lawan dari 3 adalah -3 -2 lawan dari 2 atau lawan dari 2 adalah -2
Lawan invers dari a adalah –a Lawan invers dari –a adalah a
mistar hitung II mistar hitung I
a Pengurangan 5 – 3
Pengurangan 5 - 3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kanan dari 0 dikurangi berarti mundur, melangkah
berlawanan arah dengan bilangan pengurangnya. Bilangan pengurangnya merupakan bilangan bulat positif. Karena
berlawanan arah, maka melangkah 3 satuan ke kiri. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu 2.
Gambar 2.9 : pengurangan 5-3 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik 3 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik 5 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada mistar
hitung pertama yang bersesuaian dengan titik 0 pada mistar hitung kedua, yaitu 2 merupakan hasil dari 5 - 3.
Gambar 2.10 : pengurangan 5-3 menggunakan mistar hitung geser
Jadi, 5 – 3 = 2 Akan dibandingkan dengan 5 + -3
mistar hitung II mistar hitung I
Gambar 2.11 : penjumlahan 5+-3 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik 5 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada mistar
hitung pertama yang bersesuaian dengan titik -3 pada mistar hitung kedua, yaitu 2 merupakan hasil dari 5 + -3.
Gambar 2.12 : penjumlahan 5+-3 menggunakan mistar hitung geser
Jadi, 5+-3 = 2 Sehingga 5 - 3 = 5+-3 = 2
b Pengurangan -5 – 3
Pengurangan -5 – 3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kiri dari 0 dikurangi berarti mundur, berlawanan
arah dengan bilangan pengurangnya. Bilangan pengurangnya 3 yaitu bilangan bulat positif. Karena berlawanan arah, maka
melangkah 3 satuan ke kiri. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu -8.
mistar hitung II mistar hitung I
Gambar 2.13: pengurangan -5-3 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik 3 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik -5 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada
mistar hitung pertama yang bersesuaian dengan titik 0 pada mistar hitung kedua, yaitu -8 merupakan hasil dari -5 - 3.
Gambar 2.14: pengurangan -5-3 menggunakan mistar hitung geser
Jadi, -5 – 3 = -8 Akan dibandingkan dengan -5 + -3
Gambar 2.15 : penjumlahan -5+-3 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik -5 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada
mistar hitung II
mistar hitung I
mistar hitung pertama yang bersesuaian dengan titik -3 pada mistar hitung kedua, yaitu -8 merupakan hasil dari -5 + -3.
Gambar 2.16 : penjumlahan -5+-3 menggunakan garis bilangan
Jadi, -5+-3 = -8 Sehingga -5 - 3 = -5+-3 = -8
c Pengurangan 5--3
Pengurangan 5 – -3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kanan dari 0 dikurangi berarti mundur, berlawanan
arah dengan bilangan pengurangnya. Bilangan pengurangnya -3 yaitu bilangan bulat negatif. Karena berlawanan arah, maka
melangkah 3 satuan ke kanan. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu 8.
Gambar 2.17: pengurangan 5- -3 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik -3 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik 5 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada mistar
mistar hitung II mistar hitung I
hitung pertama yang bersesuaian dengan titik 0 pada mistar hitung kedua, yaitu 8 merupakan hasil dari 5--3.
Gambar 2.18: pengurangan 5--3 menggunakan mistar hitung geser
Jadi, 5 --3 = 8 Akan dibandingkan dengan 5 + 3
Gambar 2.19: penjumlahan 5+3 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik 5 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada
mistar hitung pertama yang bersesuaian dengan titik 3 pada mistar hitung kedua, yaitu 8 merupakan hasil dari 5 + 3.
Gambar 2.20: penjumlahan 5+3 menggunakan mistar hitung geser
mistar hitung II mistar hitung I
mistar hitung II mistar hitung I
Jadi, 5+ 3 =8 Sehingga 5 - -3 = 5+3 = 8
d Pengurangan -5--3
Pengurangan -5 - -3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kiri dari 0 dikurangi berarti mundur, berlawanan arah
dengan bilangan pengurangnya. Bilangan pengurangnya -3 yaitu bilangan bulat negatif. Karena berlawanan arah, maka
melangkah 3 satuan ke kanan. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu -2.
Gambar 2.21: pengurangan -5--3 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik -3 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik -5 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada
mistar hitung pertama yang bersesuaian dengan titik 0 pada mistar hitung kedua, yaitu -2 merupakan hasil dari -5--3.
Gambar 2.22: pengurangan -5--3 menggunakan mistar hitung geser
Jadi, -5 - -3 = -2 mistar hitung II
mistar hitung I
Akan dibandingkan dengan -5 + 3
Gambar 2.23: penjumlahan -5+3 menggunakan garis bilangan
Letakkan titik 0 pada mistar hitung kedua bersesuaian letaknya dengan titik -5 pada mistar hitung pertama. Bilangan pada
mistar hitung pertama yang bersesuaian dengan titik 3 pada mistar hitung kedua, yaitu -2 merupakan hasil dari -5 + 3.
Gambar 2.24: penjumlahan -5+3 menggunakan mistar hitung geser
Jadi, -5+ 3 = -2 Sehingga -5 - -3 = - 5+3 = -2
3. Sifat-sifat Penjumlahan pada Bilangan Bulat
