187
Himpunan
Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} adalah himpunan se-
mesta semesta pembica- raan, A = {1, 2, 3, 4, 5},
dan B = {bilangan genap kurang dari 12}. Gambar-
lah dalam diagram V enn ketiga himpunan tersebut.
kurva yang dibatasi oleh himpunan P dan Q saling terpisah. Selanjutnya, anggota-anggota himpunan P diletakkan pada kurva
P, sedangkan anggota-anggota himpunan Q diletakkan pada kurva Q.
Anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunan P dan Q diletakkan di luar kurva P dan Q.
Diagram Venn-nya seperti Gambar 6.4 di samping.
Penyelesaian:
Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4, 6, 8, 10} Berdasarkan himpunan A dan B, dapat diketahui bahwa
A
B = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan B saling berpotongan. Mengapa?
Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakan dalam satu kurva himpunan A dan B dibuat berpotongan.
Adapun bilangan yang lain diletakkan pada kurva masing- masing.
Diagram Venn-nya sebagai berikut.
S 1
3 5
2 4
6 8
10 7
9 A
B
Gambar 6.5
2. Membaca Diagram Venn
Dalam membaca diagram Venn, perhatikan himpunan semes- ta dan himpunan-himpunan lain yang berada pada diagram Venn
tersebut. Anggota-anggota himpunan tertentu berada pada kurva yang dibatasi oleh himpunan tersebut. Agar kalian lebih memahami
cara membaca diagram Venn, perhatikan contoh berikut.
S 5
7 3
2 9
P Q
1 6
4 8
Gambar 6.4
Di unduh dari : Bukupaket.com
188
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
S 1
15 18
3 6
4 8
7 16
13 9
5 12
17 14
11 10
2 20
19 P
Q
Gambar 6.6
Berdasarkan diagram V enn di atas, nyatakan himpunan-him-
punan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya.
a. Himpunan S. b. Himpunan P.
c. Himpunan Q. d. Anggota himpunan P
Q. e. Anggota himpunan P
Q. f. Anggota himpunan P\Q.
g. Anggota himpunan P
C
.
Penyelesaian: a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau se-
mesta pembicaraan. Himpunan S memuat se- mua anggota atau objek himpunan yang dibicara-
kan, sehingga S = {1, 2, 3, 4, ..., 20}. b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan S
yang menjadi anggota himpunan P. Dalam dia- gram Venn, anggota himpunan P berada pada
kurva yang dibatasi oleh P. Jadi, P = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}
c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan Q. Dalam
diagram Venn, anggota himpunan Q berada pada kurva yang dibatasi oleh Q. Jadi, Q = {3, 4, 5, 6,
7, 8, 9}. d. Anggota himpunan P
Q adalah anggota him- punan P dan sekaligus menjadi anggota him-
punan Q = {3, 6, 9}. e. Anggota himpunan P
Q adalah semua ang- gota himpunan P maupun himpunan Q = {1, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}. f. Anggota himpunan P\Q adalah semua anggota
P tetapi bukan anggota Q, sehingga P\Q = {1, 12, 15, 18}.
g. Anggota himpunan P
C
adalah semua anggota S tetapi bukan anggota P, sehingga P
C
= {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}.
3. Menyajikan Operasi Himpunan dalam Diagram V enn
Kalian tel ah mempelajari car a membaca diag ram Venn. Sekarang, kalian akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan
ke dalam diagram Venn. Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2,
3, 5, 7}. Himpunan P
Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang
menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar 6.7. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menun-
jukkan daerah P
Q.
Gambar 6.7 S
5 7
3 2
9 P
Q 1
10 6
4 8
Di unduh dari : Bukupaket.com
189
Himpunan
Adapun daerah arsiran pada Gambar 6.8 di samping me- nunjukkan daerah P
Q. Berdasarkan diagram Venn di samping, tampak bahwa
P
Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}. Coba, tunjukkan dengan diagram V enn,
daerah arsiran yang menyatakan himpunan P
C
dan Q\P dari himpunan-himpunan di atas.
Diskusikan hal ini dengan temanmu.
Agar kalian lebih memahami cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, perhatikan contoh berikut.
Gambar 6.8 S
5 7
3 2
9 P
Q 1
10 6
4 8
Berpikir kritis Buatlah dua buah himpunan dimana himpunan yang satu
merupakan bagian dari himpunan yang lain. Tunjukkan dengan diagram Venn, daerah yang menunjukkan
irisan dan gabungan dua buah himpunan tersebut. Lakukan hal ini pada dua buah himpunan yang sama. Kemudian, buatlah
kesimpulannya. Diskusikan dengan temanmu.
Diketahui S = {0, 1, 2, ..., 15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Gambarlah himpunan- himpunan tersebut dalam
diagram Venn. Tunjukkan dengan a rsiran d aerah-
daerah himpunan berikut. a. P
Q
R b. P
Q c. Q
R d. P
Q
R e. Q
C
f. P – R
Penyelesaian: Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan
R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui bahwa P
Q
R = {2} P
Q = {1, 2, 5} Q
R = {2, 10} P
R = 2, 4, 6} Diagram Venn-nya sebagai berikut.
S 1
7 8
9 5
12 14
3 P
Q 2
6 4
10 13
11 R
15
Gambar 6.9
Di unduh dari : Bukupaket.com
190
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
a. Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menun- jukkan himpunan P
Q
R. b. Daerah arsiran di samping
menunjukkan himpunan P
Q. Tampak bahwa
P
Q = {1, 2, 5}.
c. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping
menunjukkan himpunan Q
R. Dari gambar dapat diketahui bahwa Q
R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11 ,
12, 14}. d. Dari soal dapat diketahui
bahwa Q
R = {2, 10}, sehingga P
Q
R = {1, 2, 3, ..., 6}
{2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}.
Daerah arsiran pada dia- gram Venn di samping me-
nunjukkan daerah P
Q
R. e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15}
dan Q = {1, 2, 5, 10, 1 1}, sehingga Q
C
= {3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}. Daerah
arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan
himpunan Q
C
.
Gambar 6.12
S 1
7 8
9 5
12 14
P 2
6 4
10 13
11 R
3 Q
15
Gambar 6.13
S
7 8
9 12
14 P
6 4
13 R
3 10
2 5
1 11
15 Q
S 1
7 8
9 5
12 14
3 P
Q 2
6 4
10 13
11 R
15
Gambar 6.10
Gambar 6.11
S 1
7 8
9 5
12 14
3 P
Q 2
6 4
10 13
11 R
15
Di unduh dari : Bukupaket.com
191
Himpunan
f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga
P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5}
Diagram Venn-nya sebagai berikut.
S 1
7 8
9 5
12 14
P Q
2 6
4 10
13 11
R 3
15
Gambar 6.14
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
2. Perhatikan diagram Venn berikut.
S
k p
q P
Q m
l h
i j
n f
g e
d c
b a
o r
s
S = {siswa yang gemar olahraga} P = {siswa yang gemar bola voli}
Q = {siswa yang gemar bola basket} Setiap anggota himpunan ditunjukkan
dengan noktah. Dari diagram V enn tersebut, sebutkan an ggota himpuna n
berikut. a. Himpunan siswa yang gemar olah-
raga. b. Himpunan siswa yang gemar bola
voli. c. Himpunan siswa yang gemar bola
basket. d. Himpunan siswa yang gemar bola
voli dan basket. 1. Diketahui himpunan-himpunan berikut.
S = {bilangan cacah kurang dari 15} A = {lima bilangan ganjil yang perta-
ma} B = {lima bilangan genap yang perta-
ma} C = {faktor dari 8}
D = {tiga bilangan kuadrat yang per- tama}
a. Nyatakan himpunan-himpunan di atas dengan mendaftar anggotanya.
b. Buatlah diagram V enn untuk ma- sing-masing himpunan berikut,
dengan S sebagai himpunan semestanya.
a. Himpunan S, A, dan B. b. Himpunan S, A, dan C
c. Himpunan S, B, dan D d. Himpunan S, A, C, dan D
e. Himpunan S, B, C, dan D
Di unduh dari : Bukupaket.com
192
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
e. Himpunan siswa yang gemar bola voli saja.
f. Himpunan siswa yang gemar bola basket saja.
3.
S a
b c
e d
g f
h i j
k l
m n
p q
C A
B o
Dari diagram Venn di atas, tentukan a. anggota himpunan S;
b. anggota himpunan A; c. anggota himpunan B;
d. anggota himpunan C. 4. Berdasarkan diagram V enn pada soal
nomor 3 di atas, tentukan a. anggota himpunan A
B; b. anggota himpunan A
B; c. anggota himpunan B
C; d. anggota himpunan A
B
C; e. anggota himpunan A
B
C
; f. anggota himpunan B\C.
5. Salinlah g ambar b erikut, k emudian arsirlah daerah yang menggambarkan
A
B untuk setiap himpunan yang disajikan oleh diagram Venn berikut.
a.
B A
S
c.
B A
S
b.
A = B S
d.
B A
S
6. Salinlah gambar berikut, kemudian arsir- lah daerah yang menggambarkan
A
B untuk setiap himpunan yang disa- jikan oleh diagram Venn berikut.
a.
B A
S
c.
B A
S
b.
A = B S
d.
B A
S
7. Diketahui himpunan-himpunan berikut. S = {bilangan cacah kurang dari 15}
P = {x | x 7, x
bilangan asli} Q = {x | x
d 13, x
bilangan prima} R = {lima bilangan genap yang pertama}
Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya.
Kemudian, tunjukkan daerah arsiran yang menyatakan himpunan-himpunan
tersebut. a. P
Q b. Q
R c. P
Q
R d. Q
P
R e. P
Q
R
C
f. P\Q g. P
Q
C
h. R\P 8. Perhatikan diagram berikut.
S 1
15 3
6 4
8 7
13 9
5 12
14 11
10 2
A B
Tentukan a. nS;
e. nA
B; b. nA;
f. nA
C
; c. nB;
g. nA\B; d. nA
B; h. nA
B
C
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
193
Himpunan
G. MENYELESAIKAN MASALAH DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP HIMPUNAN
