173
Himpunan
c. Himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggota adalah {p, q, r}
K; {p, q, s}
K; {p, r, s}
K; dan {q, r, s}
K. d. Himpunan bagian K yang mempunyai empat anggota
adalah {p, q, r, s} = K.
Berpikir kritis Diskusikan dengan
temanmu. Buktikan bahwa untuk
sebarang himpunan A berlaku { }
A atau
A.
Pada contoh di atas, tampak bahwa himpunan bagian K yang mempunyai 4 anggota adalah {p, q, r, s}.
Jadi, {p, q, r, s} = K
K. Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut.
Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis A
A.
2. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan
Kalian telah mempelajari cara menentukan himpunan bagian suatu himpunan yang memiliki satu anggota, dua anggota, tiga
anggota, dan n anggota. Untuk mengetahui banyaknya himpunan bagian suatu himpunan, pelajari tabel berikut.
{ } {a}
{ } {a}, {b}
{a, b} { }
{a}, {b}, {c} {a, b}, {a, c}, {b, c}
{a, b, c} { }
{a}, {b}, {c}, {d} {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, { b, d}, {c, d}
{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} {a, b, c, d}
{ } {a}, {b}, ...
Himpunan Banyaknya Anggota
Himpunan Bagian Banyaknya
Himpunan Bagian
1 2
3
4
n {a}
{a, b}
{a, b, c}
{a, b, c, d}
{a, b, c, d, ...} 2 = 2
1
4 = 2
2
8 = 2
3
16 = 2
4
2
n
Tabel 6.1
Di unduh dari : Bukupaket.com
174
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
Berdasarkan tabel di atas, tampak bahwa terdapat hubungan antara banyaknya anggota suatu himpunan dengan banyaknya
himpunan bagian himpunan tersebut. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2
n
, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut. Adapun untuk menentukan banyaknya himpunan bagian dari
suatu himpunan yang mempunyai n anggota, dapat digunakan pola bilangan segitiga Pascal berikut.
1 1 1
1 2 1 1 3
3 1 1 4
6 4 1 untuk { }
untuk { } a
untuk { , } a b
untuk { , , } a b c
untuk { , , , } a b c d
1 ang gota
2 ang gota
3 ang gota
4 ang gota
0 ang gota
Pada pola bilangan segitiga Pascal, angka tengah yang berada di bawahnya merupakan jumlah dari angka di atasnya.
Himpunan bagian dari {a, b, c, d} yang mempunyai 0 anggota ada 1, yaitu { };
1 anggota ada 4, yaitu {a}, {b}, {c}, {d}; 2 anggota ada 6, yaitu {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d};
3 anggota ada 4, yaitu {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}; 4 anggota ada 1, yaitu {a, b, c, d};
Cobalah hal ini untuk P = { a, e, i, o, u}. Kemudian, cek apakah banyak semua himpunan bagian P adalah 2
n
?
Berpikir kritis Perhatikan kembali
Tabel 6.1. Banyaknya himpunan
bagian yang dinyata- kan dengan 2
n
masih harus dibuktikan lagi.
Cobalah untuk n = 5,
6, 7, 8, 9, dan 10. Apakah banyaknya
himpunan bagian tetap dirumuskan 2
n
? Diskusikan dengan
temanmu. Bukti matematis
mengenai hal tersebut akan kalian pelajari di
tingkat yang lebih tinggi.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
D = {huruf vokal} E = {a, u}
F = {bilangan prima genap} G = {3, 5}
1. Tentukan hubungan himpunan bagian an- tara himpunan-himpunan berikut.
A = {2, 3, 4, 5} B = {bilangan asli kurang dari 7}
C = {a, i, u, e}
Berpikir kritis Mintalah teman
sebangkumu menyebutkan
sebarang himpunan. Tuliskan himpunan
bagian dari himpunan tersebut. Lakukan hal
ini secara bergantian. Ceritakan hasilnya di
depan kelas.
Di unduh dari : Bukupaket.com
175
Himpunan
4. Tentukan banyaknya himpunan bagi an dari himpunan berikut.
a. Himpunan bilangan asli kurang dari 6.
b. Himpunan bilangan prima antara 4 dan 20.
c. P = {huruf-huruf pembentuk kata “stabilitas”}
d. Q = {nama-nama hari dalam seming- gu}
5. Tentukan banyaknya himpunan bagi an dari Q jika diketahui
a. Q =
I
; b. nQ = 4;
c. Q = {1}; d. Q = {p, q, r, s, t, u}.
2. Tentukan himpunan bagian dari P = {bi- langan prima antara 2 dan 20} berikut
ini dengan mendaftar anggota-anggota- nya.
a. Himpunan bilangan ganjil anggota P. b. Himpunan bilangan genap anggota P.
c. Himpunan anggota P yang kurang dari 10.
d. Himpunan anggota P yang lebih dari 7.
3. Diketahui K = {2, 3, 5, 7, 11}. Tentukan
a. himpunan bagian K yang mempunyai dua anggota;
b. himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggota;
c. himpunan bagian K yang mempunyai empat anggota.
D. HUBUNGAN ANTARHIMPUNAN
