183
Himpunan
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
C = {x | x d
11, x
bilangan prima} Dengan menyebutkan anggota-anggota-
nya, tentukan masing-masing anggota himpunan berikut ini.
a. A, B, dan C b. A
B c. B
C d. A
B
C e. A
B
C f. B
A
C g. C
A
B h. A
B
B
C 4. Diketahui
S = {bilangan cacah kurang dari 15}; A = {x | x 8, x
S}; dan B = {x | x
t 5, x
S}. Nyatakan himpunan-himpunan berikut
dengan mendaftar anggota-anggotanya. a. A
C
e. A
B
C
b. B
C
f. A\B c. A
B
C
g. B\A d. A
B
C
h. S\A 1. Tentukan P
Q dengan menyebutkan anggota-anggotanya, kemudian tentukan
nP
Q untuk himpunan P dan Q di bawah ini.
a. P = {x | 0 x d
5, x
A} Q = {x | –4
d x 1, x
B} b. P = {x | x 9, x
bilangan ganjil} Q = {x | x 9, x
bilangan prima} c. P = {huruf pembentuk kata bunda}
Q = {huruf pembentuk kata ibu} 2. Diketahui himpunan-himpunan berikut.
K = {x | –3 x 3, x
bilangan bulat} L = {lima bilangan cacah yang pertama}
M = {x | x 5, x
bilangan asli} Dengan menyebutkan anggota-anggo-
tanya, tentukan masing-masing anggota himpunan berikut.
a. K
L c. L
M b. K
M d. K
L
M 3. Diketahui himpunan-himpunan berikut.
A = {x | x 5, x
bilangan cacah} B = {empat bilangan ganjil yang per-
tama}
5. Sifat-Sifat Operasi Himpunan a. Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan
Kalian telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunan adalah anggota persekutuan himpunan tersebut.
Jika A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5}
C = {4, 5, 6} maka A
B = {3, 4} dan B
A = {3, 4}. Tampak bahwa A
B = B
A. Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.
Di unduh dari : Bukupaket.com
184
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
Untuk setiap himpunan A dan B berlaku sifat komutatif irisan A
B = B
A. Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa
A
B = {3, 4} dan B
C = {4, 5}, sehingga A
B
C = {3, 4}
{4, 5, 6} = {4}
A
B
C = {1, 2, 3, 4}
{4, 5} = {4}
Tampak bahwa A
B
C = A
B
C. Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan.
Jika A = {1, 2, 3, 4} maka A
A = {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
= A Jadi, A
A = A. Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan.
Untuk se tiap h impunan A d engan s emesta p embicaraan S, berlaku
a. sifat identitas irisan A
S = A himpunan S disebut elemen identitas pada irisan b. sifat komplemen irisan
A
A
C
=
. Coba buktikan sifat-sifat di atas dengan berdiskusi bersama
temanmu. Selain sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dan
gabungan dua himpunan. Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan
C = {3, 6, 7}, diperoleh B
C = {3, 4, 5, 6, 7}, A
B = {3}, dan A
C = {3}. Dengan demikian diperoleh
A
B
C = {1, 2, 3}
{3, 4, 5, 6, 7} = {3}
A
B
A
C = {3}
{3} = {3}
Tampak bahwa A
B
C = A
B
A
C. Secara umum berlaku sebagai berikut.
Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A
B
C = A
B
A
C Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.
Berpikir kritis Diskusikan dengan
temanmu. Dengan cara yang sa-
ma seperti pada sifat- sifat irisan himpunan,
tunjukkan berlakunya sifat-sifat gabungan
himpunan berikut. a Sifat komutatif
gabungan: A
B = B
A. b Sifat asosiatif ga-
bungan: A
B
C = A
B
C. c Sifat idempotent
gabungan: A
A = A. d Sifat identitas ga-
bungan: A
= A.
disebut elemen identitas
pada gabungan himpunan.
e Sifat komplemen gabungan:
A
A
C
= S.
Untuk setiap himpunan A, B, dan C, tunjukkan
berlakunya sifat distri- butif gabungan terha-
dap irisan: A
B C = A
B A C.
Di unduh dari : Bukupaket.com
185
Himpunan
Di depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A
tetapi bukan anggota dari B. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
B = {1, 2, 3, 6} C = {1, 2, 4, 8}
maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12} =
A –
= {1, 2, 3, 4, 6, 12} –
= {1, 2, 3, 4, 6, 12} = A.
Tampak bahwa A – A =
dan A –
= A. Karena A –
= A, maka
adalah identitas pada selisih himpunan.
Sekarang, perhatikan bahwa B
C = {1, 2}, A – B = {4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh
A – B
C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2}
= {3, 4, 6, 12} A – B
A – C = {4, 12}
{3, 6, 12} = {3, 4, 6, 12}
Tampak bahwa A – B
C = A – B
A – C. Secara umum berlaku sebagai berikut.
Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A – B
C = A – B
A – C Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan .
Dengan cara yang sama seperti di atas, buktikan bahwa pada selisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadap
gabungan. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku
A – B
C = A – B
A – C Diskusikan hal ini dengan temanmu.
Di unduh dari : Bukupaket.com
186
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
c. anggota P
Q; d. anggota Q
P; e. anggota P
Q
R; f. anggota P
Q
R; g. anggota P
Q
P
R; h. anggota P
Q
P
R. Ujilah jawabanmu dengan sifat-sifat operasi
himpunan yang telah kalian pelajari sebe- lumnya.
Diketahui P = {huruf pembentuk kata PERIANG}
Q = {huruf pembentuk kata GEMBIRA} R = {huruf pembentuk kata CERIA}
Dengan mendaftar anggota-anggotanya,
tentukan a. anggota P
Q; b. anggota Q
P;
F. DIAGRAM VENN 1. Pengertian Diagram V enn
