Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dengan Substitusi

107 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Dari kalimat berikut, tentu- kan yang merupakan per- samaan linear satu varia- bel. a. 2x – 3 = 5 b. x 2 – x = 2 c. 1 5 3 x d. 2x + 3y = 6 Penyelesaian: a. 2x – 3 = 5 Variabel pada 2x – 3 = 5 adalah x dan berpangkat 1, sehingga persamaan 2x – 3 = 5 merupakan persamaan linear satu variabel. b. x 2 – x = 2 Variabel pada persamaan x 2 – x = 2 adalah x berpangkat 1 dan 2. Karena terdapat x berpangkat 2 maka persamaan x 2 – x = 2 bukan merupakan persamaan linear satu variabel. c. 1 5 3 x Karena variabel pada persamaan 1 5 3 x adalah x dan berpangkat 1, maka 1 5 3 x merupakan persamaan li- near satu variabel. d. 2x + 3y = 6 Variabel pada persamaan 2x + 3y = 6 ada dua, yaitu x dan y, sehingga 2x + 3y = 6 bukan merupakan persa- maan linear satu variabel.

2. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dengan Substitusi

Penyelesaian persamaan linear satu variabel dapat diperoleh dengan cara substitusi, yaitu mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar. Tentukan himpunan penye- lesaian d ari p ersamaan x + 4 = 7, jika x variabel pada himpunan bilangan cacah. Penyelesaian: Jika x diganti bilangan cacah, diperoleh substitusi x = 0, maka 0 + 4 = 7 kalimat salah substitusi x = 1, maka 1 + 4 = 7 kalimat salah substitusi x = 2, maka 2 + 4 = 7 kalimat salah Di unduh dari : Bukupaket.com 108 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 substitusi x = 3, maka 3 + 4 = 7 kalimat benar substitusi x = 4, maka 4 + 4 = 8 kalimat salah Ternyata untuk x = 3, persamaan x + 4 = 7 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x + 4 = 7 adalah {3}. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. Menumbuhkan kreativitas Apakah setiap persamaan linear satu variabel dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan cara substitusi? Diskusikan hal ini dengan temanmu, buatlah kesimpulannya. Salah satu anggota kelompok maju ke depan kelas untuk mengemukakan hasil diskusi kelompok masing-masing. g. 16 2 4 x u h. 3 6 2 u y i. 2 – z = z – 3 j. 3a – 2 = – a + 18 k. 1 4 2 3 2 x l. 2a – 1 = 3a – 5 m. 23x – 1 = 22x + 3 n. 15 5 3 u p o. 3q – 1 = q + 3 Catatan: Gunakan k alkulator u ntuk b ereksplorasi dalam menyelesaikan soal nomor 2 di atas. 1. Tentukan yang merupakan persamaan linear satu variabel dan berikan alasan- nya. a. x + y + z = 20 b. 3x 2 + 2x – 5 = 0 c. x + 9 = 12 d. 3x – 2 = 7 e. p 2 – q 2 = 16 f. 2x – y = 3 2. Tentukan himpunan penyelesaian persa- maan-persamaan di bawah ini dengan cara substitusi, jika peubah variabelnya pada himpunan bilangan bulat. a. 4 + p = 3 b. q – 2 = 6 c. 2a + 3 = 5 d. 9 – 3r = 6 e. 18 = 10 – 2m f. 1 = 9 + x Di unduh dari : Bukupaket.com 109 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Perhatikan uraian berikut. a. x – 3 = 5 Jika x diganti bilangan 8 maka 8 – 3 = 5 benar. Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8. b. 2x – 6 = 10 ... kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2 Jika x diganti bilangan 8 maka 28 – 6 = 10 œ 16 – 6 = 10 benar. Jadi, penyelesaian persamaan 2x – 6 = 10 adalah x = 8. c. x + 4 = 12 ... kedua ruas pada persamaan a ditambah 7 Jika x diganti bilangan 8 maka 8 + 4 = 12 benar. Jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8. Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan- persamaan di atas disebut persamaan yang ekuivalen . Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan “ œ ”. Dengan demikian bentuk x – 3 = 5; 2x – 6 = 10; dan x + 4 = 12 dapat dituliskan sebagai x – 3 = 5 œ 2x – 6 = 10 œ x + 4 = 12. Jadi, dapat dikatakan sebagai berikut. Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “ œ ”. Amatilah uraian berikut. Pada persamaan x – 5 = 4, jika x diganti 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian dari x – 5 = 4 adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 maka x – 5 = 4 œ x – 5 + 5 = 4 + 5 œ x = 9 Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x – 5 = 4 adalah {9}. Dengan kata lain, persamaan x – 5 = 4 ekuivalen dengan persamaan x = 9, atau ditulis x – 5 = 4 œ x = 9. Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara a. menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama; b. mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama. Berpikir kritis Tentukan tiga persa- maan yang ekuivalen dengan persamaan berikut, kemudian selesaikanlah, jika p variabel pada bilangan real. a. 8 p – 3 = 37 b. 1 2 2 2 3 p Di unduh dari : Bukupaket.com 110 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 a. Tentukan himpunan penyelesaian persa- maan 4x – 3 = 3 x + 5 jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Penyelesaian: 4 x – 3 = 3x + 5 œ 4x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 kedua ruas ditambah 3 œ 4x = 3x + 8 œ 4x – 3x = 3x – 3x + 8 kedua ruas dikurangi 3x œ x = 8 Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 adalah x = {8}. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. b. Tentukan himpunan penyelesaian dari per- samaan 3x + 13 = 5 – x, untuk x variabel pada himpunan bilang- an bulat. Penyelesaian: 3x + 13 = 5 – x œ 3x + 13 – 13 = 5 – x – 13 kedua ruas dikurangi 13 œ 3x = –8 – x œ 3x + x = –8 – x + x kedua ruas ditambah x œ 4x = –8 œ 1 ×4 4 x = 1 8 4 u kedua ruas dikalikan 1 4 œ x = –2 Jadi, himpunan penyelesaian dari persam aan 3x + 13 = 5 – x adalah x = {–2}. d. 12 + 3a = 5 + 2a e. 3x + 1 = 2x + 4 f. 5y – 1 = 4 y g. 43 – 2y = 15 – 7y h. 32y – 3 = 5 y – 2 i. 8 – 23 – 4y = 7y – 1 j. 5x + 73x + 2 = 64x + 1 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat. a. m – 9 = 13 b. –11 + x = 3 c. 2a + 1 = a – 3 Di unduh dari : Bukupaket.com 111 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel d. 7q = 5q – 12 e. 6 – 5y = 9 – 4y f. 7n + 4 = 4n – 17 g. 25 – 2x = 35 – x h. –2x + 5 = – x + 9 i. 18 + 7x = 23x – 4 j. 32x – 3 – 21 – x – x + 3 = 0 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilang- an yang sama, jika variabel pada himpun- an bilangan bulat. a. 2x + 3 = 11 b. 7x = 8 + 3x c. 3p + 5 = 17 – p

4. Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan