Jajargenjang a. Pengertian jajargenjang

262 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 Hal tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. ‘ A + ‘ D = ‘ A + ‘ B = 180 o ‘ C + ‘ B = ‘ C + ‘ D = 180 o Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. Pada setiap jajargenjang jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan adalah 180 o . Sekarang, perhatikan Gambar 8.39 di samping. Pada gambar di samping, jika ABD diputar setengah putaran 180 o pada titik O, akan diperoleh OA l OC dan OB l OD. Hal ini menunjukkan bahwa OA = OC dan OB = OD. Padahal OA + OC = AC dan OB + OD = BD. Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Pada setiap jajargenjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sifat-sifat jajargenjang sebagai berikut. i Sisi-sisi yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama panjang dan sejajar. ii Sudut-sudut yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama besar. iii Jumlah pasangan sudut yang s aling berdekatan pada setiap jajargenjang adalah 180 o . iv Pada setiap jajargenjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang. A B C D O Gambar 8.39 Berpikir kritis Buatlah sebuah bangun jajargenjang dari kertas karton. Tunjukkan berlakunya sifat-sifat jajargenjang pada kesimpulan di atas. Lakukan hal ini di depan kelas. 263 Segitiga dan Segi Empat Pada jajargenjang KLMN di atas, diagonal-diagonal- nya berpotongan di titik P. Jika diketahui panjang KL = 10 cm, LM = 8 cm, dan ‘ KLM = 112 o , tentu- kan a. panjang MN; b. panjang KN; c. besar ‘ KNM; d. besar ‘ LKN. Penyelesaian: KL = 10 cm, LM = 8 cm, dan ‘ KLM = 112 o . a. MN = KL = 10 cm b. KN = LM = 8 cm c. ‘ KNM = ‘ KLM sudut yang berhadapan = 112 o d. ‘ LKN + ‘ KNM = 180 o sudut yang berdekatan ‘ LKN + 112 o = 180 o ‘ LKN = 180 o – 112 o = 68 o K L M N Gambar 8.41 A D B E C i K L M N 8 cm 10 cm P Gambar 8.40 c. Keliling dan luas jajar genjang 1 Keliling jajargenjang Telah kalian ketahui bahwa keliling bangun datar meru- pakan jumlah panjang sisi-sisinya. Hal ini juga berlaku pada jajargenjang. Pada gambar di samping, keliling jajargenjang KLMN = KL + LM + MN + KN = KL + LM + KL + LM = 2KL + LM 2 Luas jajargenjang Agar kalian dapat memahami konsep luas jajargenjang, lakukan kegiatan berikut ini. i Buatlah jajargenjang ABCD, kemudian buatlah garis dari titik D yang memotong tegak lurus 90 o garis AB di titik E. ii Potonglah jajargenjang ABCD menurut garis DE, sehingga menghasilkan dua bangun, yaitu bangun segitiga AED dan bangun segi empat EBCD. 264 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 Penyelesaian: Alas a = 14 cm dan tinggi t = 9 cm. Luas jajargenjang = a u t = 14 u 9 = 126 Jadi, luas jajargenjang tersebut 126 cm 2 . iii Gabungkantempelkan bangun AED sedemikian sehingga sisi BC berimpit dengan sisi AD Gambar 8.42 iii. Terbentuklah bangun baru yang berbentuk persegi panjang dengan panjang CD dan lebar DE. Luas ABCD = panjang u lebar = CD u DE Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa jajargen- jang yang mempunyai alas a dan tinggi t, luasnya L adalah L = alas u tinggi = a u t Catatan: Alas jajargenjang merupakan salah satu sisi jajargenjang, sedangkan tinggi jajargenjang tegak lurus dengan alas. 9 cm 14 cm Gambar 8.43 AB D E CD A D E B E C ii iii Gambar 8.42 Hitunglah luas jajargen- jang yang mempunyai alas 14 cm dan tinggi 9 cm. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. e. Dapat menempati bingkainya kem- bali setelah diputar setengah putaran dengan pusat titik potong kedua dia- gonalnya. 2. Pada jajargenjang ABCD diketahui AB = 8 cm, BC = 5 cm, dan ‘ A = 60 o . a. Gambarlah sketsa dari jajargenjang ABCD. b. Tentukan panjang sisi-sisi yang lain. c. Tentukan besar sudut-sudut yang lain. 1. Pada setiap jajargenjang, tentukan kali- mat-kalimat berikut benar atau salah. a. Sisi-sisi yang berhadapan sama pan- jang. b. Besar sudut-sudut yang berhadapan adalah 90 o . c. Jumlah semua sudutnya adalah 180 o . d. Kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang. 265 Segitiga dan Segi Empat T U V W 9 cm 13 cm iii 5. Perhatikan gambar berikut. K P L M N 16 cm 28 cm 18 cm Q a. Tentukan keliling jajar genjang KLMN. b. Hitunglah luas jajargenjang KLMN. c. Tentukan panjang NP. 6. Pada sebuah jajargenjang diketahui luas- nya 250 cm 2 . Jika panjang alas jajargen- jang tersebut 5x dan tingginya 2x, tentukan a. nilai x; b. panjang alas dan tinggi jajargenjang tersebut. 3. P Q R S T 40 o 35 o a cm b cm Pada jajargenjang PQRS di atas, dike- tahui kedua diagonalnya berpotongan di titik T. Jika RT = a cm, QT = b cm, ‘ PQT = 40 o , dan ‘ RQT = 35 o , tentukan a. panjang PT dan ST; b. besar ‘ PSQ, ‘ RSQ, dan ‘ S. 4. Tentukan luas dari masing-masing jajar- genjang pada gambar berikut. A B C D 9 cm 12 cm i ii P Q R S 5 cm 6 cm 11 cm

4. Belah Ketupat

Di bagian depan telah kalian pelajari bahwa persegi panjang yang keempat sisinya sama panjang disebut persegi. Bagaimanakah jika sebuah jajargenjang sisi-sisinya sama panjang? Pada Gambar 8.44 di bawah, segitiga ABC sama kaki dengan AB = BC dan O titik tengah sisi AC. Jika ABC diputar setengah putaran 180 o dengan pusat titik O, akan terbentuk bayangan ABC, yaitu BCD. Bangun ABCD disebut bangun belah ketupat. A B C D O A B C O Gambar 8.44 Sebuah ruangan yang berukuran 9 m u 12 m akan ditutup dengan ubin berbentuk belah ketupat dengan pan- jang sisinya masing- masing 50 cm. Dapatkah kalian mem- buat pola pengubinan pada lantai tersebut? Cobalah dengan menggunakan skala 1 : 50. Berapakah banyaknya ubin yang diperlukan seluruhnya untuk menutup lantai tersebut? Bandingkan hasilnya dengan temanmu yang lain. 266 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 Belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari gabungan s egitiga s ama k aki d an b ayangannya s etelah dicerminkan terhadap alasnya. a. Sifat-sifat belah ketupat Perhatikan Gambar 8.45. Belah ketupat pada Gambar 8.45 di samping dibentuk dari segitiga sama kaki ABD dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya. Dari pencerminan tersebut AB akan menempati BC dan AD akan menempati DC , sehingga AB = BC dan AD = DC. Karena ABD sama kaki maka AB = AD. Akibatnya AB = BC = AD = DC. Dengan demikian diperoleh sifat sebagai berikut. Semua sisi belah ketupat sama panjang. Selanjutnya, perhatikan diagonal AC dan BD pada belah ketupat ABCD. Jika belah ketupat ABCD tersebut dilipat menurut ruas garis AC, ABC dan ADC dapat saling menutupi secara tepat berimpit. O leh k arena i tu, AC adalah sumbu simetri, sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian pada ABC dan ADC sama panjang. Demikian halnya, jika belah ketupat ABCD dilipat menurut ruas garis BD. Segitiga ABD dan segitiga BCD akan saling berimpitan. Dalam hal ini, BD adalah sumbu simetri. Padahal, AC dan BD adalah diagonal-diagonal belah ketupat ABCD. Dengan demikian, diperoleh sifat sebagai berikut. Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri. Perhatikan kembali Gambar 8.45. Putarlah belah ketupat ABCD sebesar setengah putaran dengan pusat titik O, sehingga OA l OC dan OB l OD. Oleh karena itu, OA = OC dan OB = OD. Akibatnya, ‘ AOB = ‘ COB dan ‘ AOD = ‘ COD, sedemikian sehingga ‘ AOB + ‘ BOC = 180 o berpelurus ‘ AOB + ‘ AOB = 180 o 2 u ‘ AOB = 180 o ‘ AOB = 90 o Jadi, ‘ AOB = ‘ BOC = 90 o . A B C D O Gambar 8.45 267 Segitiga dan Segi Empat Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus. Perhatikan kembali belah ketupat ABCD dengan diagonal AC dan BD seperti tampak pada Gambar 8.46. Apabila belah ketupat ABCD berturut-turut dilipat menurut garis diagonalnya, maka akan terbentuk bangun segitiga yang saling menutup berimpit. Hal ini berarti ‘ A = ‘ C dan ‘ B = ‘ D. Akibatnya ‘ ACD = ‘ ACB ‘ CAD = ‘ CAB ‘ BDC = ‘ BDA ‘ DBC = ‘ DBA Dengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut. Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya. Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sifat-sifat belah ketupat sebagai berikut. i Semua sisi pada belah ketupat sama panjang. ii Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri. iii Kedua d iagonal b elah k etupat s aling m embagi d ua s ama panjang dan saling berpotongan tegak lurus. iv Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya. b. Keliling dan luas belah ketupat Jika belah ketupat mempunyai panjang sisi s maka keliling belah ketupat adalah K = AB + BC + CD + DA K = s + s + s + s = 4 s Perhatikan kembali Gambar 8.47. Pada gambar di samping menunjukkan belah ketupat ABCD dengan diagonal-diagonal AC dan BD berpotongan di titik O. A B C D O Gambar 8.46 A B C D O s Gambar 8.47 Berpikir kritis Diskusikan dengan temanmu. Tunjukkan bahwa bangun belah ketupat dapat menempati bingkainya dengan empat cara.