190
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
a. Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menun- jukkan himpunan P
Q
R. b. Daerah arsiran di samping
menunjukkan himpunan P
Q. Tampak bahwa
P
Q = {1, 2, 5}.
c. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping
menunjukkan himpunan Q
R. Dari gambar dapat diketahui bahwa Q
R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11 ,
12, 14}. d. Dari soal dapat diketahui
bahwa Q
R = {2, 10}, sehingga P
Q
R = {1, 2, 3, ..., 6}
{2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}.
Daerah arsiran pada dia- gram Venn di samping me-
nunjukkan daerah P
Q
R. e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15}
dan Q = {1, 2, 5, 10, 1 1}, sehingga Q
C
= {3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}. Daerah
arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan
himpunan Q
C
.
Gambar 6.12
S 1
7 8
9 5
12 14
P 2
6 4
10 13
11 R
3 Q
15
Gambar 6.13
S
7 8
9 12
14 P
6 4
13 R
3 10
2 5
1 11
15 Q
S 1
7 8
9 5
12 14
3 P
Q 2
6 4
10 13
11 R
15
Gambar 6.10
Gambar 6.11
S 1
7 8
9 5
12 14
3 P
Q 2
6 4
10 13
11 R
15
191
Himpunan
f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga
P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5}
Diagram Venn-nya sebagai berikut.
S 1
7 8
9 5
12 14
P Q
2 6
4 10
13 11
R 3
15
Gambar 6.14
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
2. Perhatikan diagram Venn berikut.
S
k p
q P
Q m
l h
i j
n f
g e
d c
b a
o r
s
S = {siswa yang gemar olahraga} P = {siswa yang gemar bola voli}
Q = {siswa yang gemar bola basket} Setiap anggota himpunan ditunjukkan
dengan noktah. Dari diagram V enn tersebut, sebutkan an ggota himpuna n
berikut. a. Himpunan siswa yang gemar olah-
raga. b. Himpunan siswa yang gemar bola
voli. c. Himpunan siswa yang gemar bola
basket. d. Himpunan siswa yang gemar bola
voli dan basket. 1. Diketahui himpunan-himpunan berikut.
S = {bilangan cacah kurang dari 15} A = {lima bilangan ganjil yang perta-
ma} B = {lima bilangan genap yang perta-
ma} C = {faktor dari 8}
D = {tiga bilangan kuadrat yang per- tama}
a. Nyatakan himpunan-himpunan di atas dengan mendaftar anggotanya.
b. Buatlah diagram V enn untuk ma- sing-masing himpunan berikut,
dengan S sebagai himpunan semestanya.
a. Himpunan S, A, dan B. b. Himpunan S, A, dan C
c. Himpunan S, B, dan D d. Himpunan S, A, C, dan D
e. Himpunan S, B, C, dan D
192
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
e. Himpunan siswa yang gemar bola voli saja.
f. Himpunan siswa yang gemar bola basket saja.
3.
S a
b c
e d
g f
h i j
k l
m n
p q
C A
B o
Dari diagram Venn di atas, tentukan a. anggota himpunan S;
b. anggota himpunan A; c. anggota himpunan B;
d. anggota himpunan C. 4. Berdasarkan diagram V enn pada soal
nomor 3 di atas, tentukan a. anggota himpunan A
B; b. anggota himpunan A
B; c. anggota himpunan B
C; d. anggota himpunan A
B
C; e. anggota himpunan A
B
C
; f. anggota himpunan B\C.
5. Salinlah g ambar b erikut, k emudian arsirlah daerah yang menggambarkan
A
B untuk setiap himpunan yang disajikan oleh diagram Venn berikut.
a.
B A
S
c.
B A
S
b.
A = B S
d.
B A
S
6. Salinlah gambar berikut, kemudian arsir- lah daerah yang menggambarkan
A
B untuk setiap himpunan yang disa- jikan oleh diagram Venn berikut.
a.
B A
S
c.
B A
S
b.
A = B S
d.
B A
S
7. Diketahui himpunan-himpunan berikut. S = {bilangan cacah kurang dari 15}
P = {x | x 7, x
bilangan asli} Q = {x | x
d 13, x
bilangan prima} R = {lima bilangan genap yang pertama}
Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya.
Kemudian, tunjukkan daerah arsiran yang menyatakan himpunan-himpunan
tersebut. a. P
Q b. Q
R c. P
Q
R d. Q
P
R e. P
Q
R
C
f. P\Q g. P
Q
C
h. R\P 8. Perhatikan diagram berikut.
S 1
15 3
6 4
8 7
13 9
5 12
14 11
10 2
A B
Tentukan a. nS;
e. nA
B; b. nA;
f. nA
C
; c. nB;
g. nA\B; d. nA
B; h. nA
B
C
.
193
Himpunan
G. MENYELESAIKAN MASALAH DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP HIMPUNAN
Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari maka banyak di antaranya dapat diselesaikan dengan konsep himpunan.
Agar dapat menyelesaikannya, kalian harus memahami kembali mengenai konsep diagram Venn. Kalian harus dapat menyatakan
permasalahan tersebut dalam suatu diagram Venn. Pelajari contoh berikut ini.
1. Dalam suatu kelas yang t erdiri at as 4 0
siswa, diketahui 24 siswa gemar bermain
tenis, 23 siswa gemar sepak bola, dan 1 1
siswa ge mar k edua- duanya. Gambarlah
diagram Venn dari keterangan tersebut,
kemudian tentukan ba- nyaknya siswa
a. yang hanya gemar bermain tenis;
b. yang hanya gemar bermain s epak
bola; c. yang tidak gemar
kedua-duanya.
Penyelesaian:
Dalam menentukan banyaknya anggota masing- masing himpunan pada diagram Venn, tentukan terlebih
dahulu banyaknya anggota yang gemar bermain tenis dan sepak bola, yaitu 11 siswa.
Diagram Venn-nya seperti gambar berikut.
40 tenis
sepak bola 11
4 13
12
Gambar 6.15
a. Banyak siswa yang hanya gemar tenis = 24 – 11 = 13 siswa
b. Banyak siswa yang hanya gemar sepak bola = 23 – 11 = 12 siswa
c. Banyak siswa yang tidak gemar kedua-duanya = 40 – 13 – 11 – 12
= 4 siswa 2. Dari sekelompok anak,
diperoleh data 23 orang suka makan
bakso dan mi ayam, 45 orang suka makan
bakso, 34 orang suka
Penyelesaian: a. Dalam m enentukan b anyak a nak d alam k elompok
tersebut, tuliskan terlebih dahulu banyak anak yang suka makan bakso dan mi ayam, serta banyak anak
yang tidak suka keduanya pada diagram V enn. Kemudian, tentukan banyak anggota masng-masing.
Diagram Venn-nya sebagai berikut.
194
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
4. Suatu kompleks perumahan mempunyai 43 orang warga, 35 orang di antaranya
aktif mengikuti kegiatan olahraga, se- dangkan sisanya tidak mengikuti kegia-
tan apa pun. Kegiatan bola voli diikuti 15 orang, tenis diikuti 19 orang, dan catur
diikuti 25 orang. Warga yang mengikuti bola voli dan catur sebanyak 12 orang,
bola voli dan tenis 7 orang, sedangkan tenis dan catur 9 orang. Tentukan ba-
nyaknya warga yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut.
5. Dari 40 siswa dalam suatu kelas, terda- pat 30 siswa gemar pelajaran matematika
dan 26 siswa gemar pelajaran fisika. Jika 2 siswa tid ak gemar dengan kedua
pelajaran tersebut, tentukan banyaknya siswa yang gemar pelajaran matematika
dan fisika. 1. Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa.
Mereka memilih dua jenis olahraga yang mereka gemari. Ternyata 29 siswa ge-
mar bermain basket, 27 siswa gemar bermain voli, dan 6 siswa tidak mengge-
mari kedua olahraga tersebut. a. Gambarlah diagram Venn dari kete-
rangan tersebut. b. Tentukan banyaknya siswa yang ge-
mar bermain basket dan voli. 2. Dari 50 siswa di suatu kelas, diketahui
25 siswa gema r matematika, 20 siswa gemar fisika, dan 7 siswa gemar kedua-
duanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar matematika dan fisika.
3. Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46 siswa dilakukan pendataan pilihan eks-
trakurikuler. Hasil sementara diperoleh 19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilih
PMR, dan 16 siswa belum menentukan pilihan. Tentukan banyaknya siswa yang
hanya memilih PMR saja dan KIR saja. makan mi ayam, dan 6
orang t idak su ka kedua-duanya.
a. Gambarlah dia- gram Venn yang
menyatakan ke- adaan tersebut.
b. Tentukan banyak anak d alam k e-
lompok tersebut. b. Dari diagram Venn, tampak bahwa banyak anak dalam
kelompok tersebut = 22 + 23 + 11 + 6 = 62 anak.
22 23
11 Mi ayam
Bakso
6
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
195
Himpunan
1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang
termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
2. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar kapital A, B, C, ..., Z. Adapun benda
atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.
3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan
dengan mendaftar anggota-anggotanya. 4. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut
himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut
himpunan tak berhingga. 5. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah
himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan
dengan S. 6. a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap
anggota A juga menjadi an ggota B dan dinotasikan A
B atau B
A. b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika
terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan A
B.
c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari him- punan A sendiri, ditulis A
A. d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan
adalah 2
n
, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.
Menumbuhkan kreativitas Perhatikan kejadian peristiwa di lingkungan sekitarmu. Tuliskan
kejadian yang berkaitan dengan konsep himpunan, kemudian selesaikanlah. Ceritakan hasilnya secara singkat di depan kelas.
