Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dengan Substitusi

109 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Perhatikan uraian berikut. a. x – 3 = 5 Jika x diganti bilangan 8 maka 8 – 3 = 5 benar. Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8. b. 2x – 6 = 10 ... kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2 Jika x diganti bilangan 8 maka 28 – 6 = 10 œ 16 – 6 = 10 benar. Jadi, penyelesaian persamaan 2x – 6 = 10 adalah x = 8. c. x + 4 = 12 ... kedua ruas pada persamaan a ditambah 7 Jika x diganti bilangan 8 maka 8 + 4 = 12 benar. Jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8. Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan- persamaan di atas disebut persamaan yang ekuivalen . Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan “ œ ”. Dengan demikian bentuk x – 3 = 5; 2x – 6 = 10; dan x + 4 = 12 dapat dituliskan sebagai x – 3 = 5 œ 2x – 6 = 10 œ x + 4 = 12. Jadi, dapat dikatakan sebagai berikut. Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “ œ ”. Amatilah uraian berikut. Pada persamaan x – 5 = 4, jika x diganti 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian dari x – 5 = 4 adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 maka x – 5 = 4 œ x – 5 + 5 = 4 + 5 œ x = 9 Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x – 5 = 4 adalah {9}. Dengan kata lain, persamaan x – 5 = 4 ekuivalen dengan persamaan x = 9, atau ditulis x – 5 = 4 œ x = 9. Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara a. menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama; b. mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama. Berpikir kritis Tentukan tiga persa- maan yang ekuivalen dengan persamaan berikut, kemudian selesaikanlah, jika p variabel pada bilangan real. a. 8 p – 3 = 37 b. 1 2 2 2 3 p 110 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 a. Tentukan himpunan penyelesaian persa- maan 4x – 3 = 3 x + 5 jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Penyelesaian: 4 x – 3 = 3x + 5 œ 4x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 kedua ruas ditambah 3 œ 4x = 3x + 8 œ 4x – 3x = 3x – 3x + 8 kedua ruas dikurangi 3x œ x = 8 Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 adalah x = {8}. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. b. Tentukan himpunan penyelesaian dari per- samaan 3x + 13 = 5 – x, untuk x variabel pada himpunan bilang- an bulat. Penyelesaian: 3x + 13 = 5 – x œ 3x + 13 – 13 = 5 – x – 13 kedua ruas dikurangi 13 œ 3x = –8 – x œ 3x + x = –8 – x + x kedua ruas ditambah x œ 4x = –8 œ 1 ×4 4 x = 1 8 4 u kedua ruas dikalikan 1 4 œ x = –2 Jadi, himpunan penyelesaian dari persam aan 3x + 13 = 5 – x adalah x = {–2}. d. 12 + 3a = 5 + 2a e. 3x + 1 = 2x + 4 f. 5y – 1 = 4 y g. 43 – 2y = 15 – 7y h. 32y – 3 = 5 y – 2 i. 8 – 23 – 4y = 7y – 1 j. 5x + 73x + 2 = 64x + 1 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat. a. m – 9 = 13 b. –11 + x = 3 c. 2a + 1 = a – 3 111 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel d. 7q = 5q – 12 e. 6 – 5y = 9 – 4y f. 7n + 4 = 4n – 17 g. 25 – 2x = 35 – x h. –2x + 5 = – x + 9 i. 18 + 7x = 23x – 4 j. 32x – 3 – 21 – x – x + 3 = 0 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilang- an yang sama, jika variabel pada himpun- an bilangan bulat. a. 2x + 3 = 11 b. 7x = 8 + 3x c. 3p + 5 = 17 – p

4. Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan

Dalam menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel bentuk pecahan, caranya hampir sama dengan menye- lesaikan operasi bentuk pecahan aljabar . Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penye- butnya, kemudian selesaikan persamaan linear satu variabel. Tentukan penyelesaian dari persamaan 1 1 2 5 2 x x , jika x va- riabel pada himpunan bi- langan rasional. Penyelesaian: Cara 1 1 2 5 x = 1 2 x œ 10 1 5 x – 2 = 10 1 2 x § · ¨ ¸ © ¹ œ 2x – 20 = 5x – 1 œ 2x – 20 + 20 = 5x – 5 + 20 kedua ruas ditambah 20 œ 2x = 5x + 15 œ 2x – 5x = 5x + 15 – 5x kedua ruas dikurangi 5x œ –3x = 15 œ –3x : –3 = 15 : –3 kedua ruas dibagi –3 œ x = –5 Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 1 1 2 5 2 x x adalah {–5}. kedua ruas dikalikan KPK dari 2 dan 5, yaitu 10 112 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 Cara 2 1 1 2 5 2 1 1 1 2 5 2 2 1 1 1 2 2 2 kedua ruas ditambah 2 5 2 2 1 1 3 5 2 2 1 1 1 3 1 1 kedua ruas dikurangi 5 2 2 2 2 2 3 3 10 2 10 3 3 10 10 kedua ruas dikalikan 3 10 2 3 3 5 x x x x x x x x x x x x x x x x œ œ œ œ œ § · § · § · œ u u ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ œ Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 1 1 2 5 2 x x adalah {–5}. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 5. 4 5 21 2 4 z z 6. 2 2 1 3 2 x x 7. 5 2 3 2 1 3 4 x x 8. 1 1 2 51 2 2 4 3 y y 9. 3 5 1 2 2 y y 10. 3 1 3 2 4 x x Tentukan himpunan penyelesaian persama- an-persamaan b erikut j ika v ariabel p ada himpunan bilangan rasional. 1. 1 1 5 4 4 2 y y 2. 1 1 1 2 2 3 x 3. 1 5 6 2 7 2 6 y y 4. 1 1 3 2 5 4 2 § · ¨ ¸ © ¹ x x 113 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Variabel Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah titik. Tentukan himpunan penye- lesaian d ari p ersamaan 42x + 3 = 10x + 8, jika x variabel pada h impunan bilangan bulat. Kemudian, gambarlah pada garis bi- langan. Penyelesaian: 42x + 3 = 10x + 8 œ 8x + 12 = 10x + 8 œ 8x + 12 – 12 = 10x + 8 – 12 kedua ruas dikurangi 12 œ 8x = 10x – 4 œ 8x – 10x = 10x – 4 – 10x kedua ruas dikurangi 10x œ –2x = –4 œ –2x : –2 = –4 : –2 kedua ruas dibagi –2 œ x = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}. Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut. 1 2 –3 –2 –1 –4 3 4 –5 5 6 7 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 6. 5 8 3 6 9 x 7. 4 2 2 1 6 3 3 2 4 x x x 8. 3 2 4 5 m m 9. 10 2 7 n n 10. 4 2 3 1 3 4 3 4 2 n n § · ¨ ¸ © ¹ Gambarlah grafik himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut pada garis bilangan jika variabel pada himpunan bilangan rasional. 1. 3x – 2 = 7 2. 5y – 2 = 5 3. 1 3 2 2 x 4. 5 – 4 – 3y = 23 5. 24 – 5y = 310 – y