185
Himpunan
Di depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A
tetapi bukan anggota dari B. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
B = {1, 2, 3, 6} C = {1, 2, 4, 8}
maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12} =
A –
= {1, 2, 3, 4, 6, 12} –
= {1, 2, 3, 4, 6, 12} = A.
Tampak bahwa A – A =
dan A –
= A. Karena A –
= A, maka
adalah identitas pada selisih himpunan.
Sekarang, perhatikan bahwa B
C = {1, 2}, A – B = {4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh
A – B
C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2}
= {3, 4, 6, 12} A – B
A – C = {4, 12}
{3, 6, 12} = {3, 4, 6, 12}
Tampak bahwa A – B
C = A – B
A – C. Secara umum berlaku sebagai berikut.
Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A – B
C = A – B
A – C Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan .
Dengan cara yang sama seperti di atas, buktikan bahwa pada selisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadap
gabungan. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku
A – B
C = A – B
A – C Diskusikan hal ini dengan temanmu.
186
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
c. anggota P
Q; d. anggota Q
P; e. anggota P
Q
R; f. anggota P
Q
R; g. anggota P
Q
P
R; h. anggota P
Q
P
R. Ujilah jawabanmu dengan sifat-sifat operasi
himpunan yang telah kalian pelajari sebe- lumnya.
Diketahui P = {huruf pembentuk kata PERIANG}
Q = {huruf pembentuk kata GEMBIRA} R = {huruf pembentuk kata CERIA}
Dengan mendaftar anggota-anggotanya,
tentukan a. anggota P
Q; b. anggota Q
P;
F. DIAGRAM VENN 1. Pengertian Diagram V enn
Di bagian depan kalian telah mempelajari cara menyatakan suatu himpunan, menentukan himpunan semesta, menentukan
himpunan bagian dari suatu himpunan, dan operasi pada himpunan. Untuk menyatakan suatu himpunan secara visual gambar, kalian
dapat menunjukkan dalam suatu diagram Venn. Diagram Venn pertama kali diketemukan oleh John V enn,
seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun 1834– 1923. Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengan
daerah persegi panjang, sedangkan himpunan lain dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus tertutup sederhana
dan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya. Agar kalian dapat memahami cara menyajikan himpunan
dalam diagram Venn, pelajari uraian berikut. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9};
P = {0, 1, 2, 3, 4}; dan Q = {5, 6, 7}
Himpunan S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9} adalah himpunan semesta semesta pembicaraan. Dalam diagram Venn, himpunan semesta
dinotasikan dengan S berada di pojok kiri. Perhatikan himpunan P dan Q. Karena tidak ada anggota
persekutuan antara P dan Q, maka P
Q = { }. Jadi, dapat dikatakan bahwa kedua himpunan saling lepas. Dalam hal ini,
John Venn Sumber: Ensiklopedi M ate-
matika dan Peradaban Manusia, 2003
Gambar 6.3
187
Himpunan
Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} adalah himpunan se-
mesta semesta pembica- raan, A = {1, 2, 3, 4, 5},
dan B = {bilangan genap kurang dari 12}. Gambar-
lah dalam diagram V enn ketiga himpunan tersebut.
kurva yang dibatasi oleh himpunan P dan Q saling terpisah. Selanjutnya, anggota-anggota himpunan P diletakkan pada kurva
P, sedangkan anggota-anggota himpunan Q diletakkan pada kurva Q.
Anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunan P dan Q diletakkan di luar kurva P dan Q.
Diagram Venn-nya seperti Gambar 6.4 di samping.
Penyelesaian:
Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4, 6, 8, 10} Berdasarkan himpunan A dan B, dapat diketahui bahwa
A
B = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan B saling berpotongan. Mengapa?
Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakan dalam satu kurva himpunan A dan B dibuat berpotongan.
Adapun bilangan yang lain diletakkan pada kurva masing- masing.
Diagram Venn-nya sebagai berikut.
S 1
3 5
2 4
6 8
10 7
9 A
B
Gambar 6.5
2. Membaca Diagram Venn
Dalam membaca diagram Venn, perhatikan himpunan semes- ta dan himpunan-himpunan lain yang berada pada diagram Venn
tersebut. Anggota-anggota himpunan tertentu berada pada kurva yang dibatasi oleh himpunan tersebut. Agar kalian lebih memahami
cara membaca diagram Venn, perhatikan contoh berikut.
S 5
7 3
2 9
P Q
1 6
4 8
Gambar 6.4
188
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
S 1
15 18
3 6
4 8
7 16
13 9
5 12
17 14
11 10
2 20
19 P
Q
Gambar 6.6
Berdasarkan diagram V enn di atas, nyatakan himpunan-him-
punan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya.
a. Himpunan S. b. Himpunan P.
c. Himpunan Q. d. Anggota himpunan P
Q. e. Anggota himpunan P
Q. f. Anggota himpunan P\Q.
g. Anggota himpunan P
C
.
Penyelesaian: a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau se-
mesta pembicaraan. Himpunan S memuat se- mua anggota atau objek himpunan yang dibicara-
kan, sehingga S = {1, 2, 3, 4, ..., 20}. b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan S
yang menjadi anggota himpunan P. Dalam dia- gram Venn, anggota himpunan P berada pada
kurva yang dibatasi oleh P. Jadi, P = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}
c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan Q. Dalam
diagram Venn, anggota himpunan Q berada pada kurva yang dibatasi oleh Q. Jadi, Q = {3, 4, 5, 6,
7, 8, 9}. d. Anggota himpunan P
Q adalah anggota him- punan P dan sekaligus menjadi anggota him-
punan Q = {3, 6, 9}. e. Anggota himpunan P
Q adalah semua ang- gota himpunan P maupun himpunan Q = {1, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}. f. Anggota himpunan P\Q adalah semua anggota
P tetapi bukan anggota Q, sehingga P\Q = {1, 12, 15, 18}.
g. Anggota himpunan P
C
adalah semua anggota S tetapi bukan anggota P, sehingga P
C
= {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}.
3. Menyajikan Operasi Himpunan dalam Diagram V enn
Kalian tel ah mempelajari car a membaca diag ram Venn. Sekarang, kalian akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan
ke dalam diagram Venn. Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2,
3, 5, 7}. Himpunan P
Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang
menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar 6.7. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menun-
jukkan daerah P
Q.
Gambar 6.7 S
5 7
3 2
9 P
Q 1
10 6
4 8
