128
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Diketahui persegi panjang ABCD dengan panjang di-
agonal AC = 10 cm dan
CAB = 30
o
. Tentukan i panjang AB;
ii panjang BC; iii luas ABCD;
iv keliling ABCD.
Penyelesaian:
Perbandingan sisi-sisi pada ABC adalah
BC : AB : AC = 1 : 3
: 2, sehingga i BC : AB : AC = 1 : 3 : 2
AB : AC = 3 : 2
AB : 10 = 3 : 2
2AB = 10 3
AB =
10 3 2
= 5 3 cm ii BC : AC
= 1 : 2 BC : 10
= 1 : 2 2BC
= 10 BC
= 10
2 = 5 cm
iii Luas ABCD
2
AB BC 5 3 5
25 3 cm u
u
iv Keliling ABCD 2 AB BC
2 5 3 5
10 3 1 cm
u
Gambar 5.10
A B
C D
10 cm
30
o
b. Sudut 45
o
Perhatikan Gambar 5.11. Segitiga ABC pada Gambar 5.11 adalah segitiga siku-siku
sama kaki. Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC = x cm dan
A =
C = 45
o
.
A
B C
x cm 45
o
45
o
Gambar 5.11
129
Teorema Pythagoras
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan nilai x dan y pada segitiga siku- siku berikut.
y x
4
60
o
y 8
x + 2
30
o
a b
x y
5 60
o
c d
2. Tentukan besar sudut x dan y dalam derajat pada segitiga siku-siku berikut.
a b
c d
3. Diketahui PQR siku-siku di Q
dengan panjang PQ = QR = 25 cm. Hitunglah keliling dan luas segitiga
PQR.
4. Pada persegi panjang ABCD, diketahui AB = 30 cm dan
CAB = 30
o
. Hitunglah a. panjang AC dan BC;
b. keliling dan luas persegi panjang ABCD.
5. Diketahui belah ketupat PQRS dengan O titik potong diagonal PR dan QS.
Jika OPS = 30
dan PO = 10 3 cm maka
a. sketsalah belah ketupat PQRS; b. hitunglah panjang QO dan PQ;
c. hitung luas dan keliling belah ketu- pat PQRS.
y x
y x
45
o
5 2
5 2
y
x
3
3
x x
y y
5
5 3 5 2
Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh AC
2
= AB
2
+ BC
2
AC =
2 2
AB BC
=
2 2
x x
=
2
2x
=
2 x
Dengan demikian, diperoleh perbandingan AB : BC : AC
: : 2
1:1: 2. x x x
130
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
4. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar dan Bangun Ruang
Selain dimanfaatkan pada segitiga siku-siku, teorema Pythagoras juga dapat digunakan pada bangun datar dan bangun
ruang matematika yang lain untuk mencari panjang sisi-sisi yang belum diketahui.
Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm pada Gambar 5.12. Dapatkah kalian menyebutkan diagonal sisi
kubus ABCD.EFGH? Diagonal sisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada suatu bidang
datar. Diagonal sisi kubus tersebut antara lain AF
, BD
,
CH
, dan DE
. Misalkan kita akan menentukan panjang diagonal sisi BD
. Perhatikan persegi ABCD.
BD adalah salah satu diagonal
sisi bidang ABCD. Sekarang, perhatikan ABD. Karena ABD
siku-siku di A, maka dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh
2
BD =
2
AD +
2
AB = a
2
+ a
2
= 2a
2
BD
2
2 2 cm
a a
Coba tentukan panjang diagonal sisi yang lain. Apakah panjangnya selalu sama?
Selanjutnya, dapatkah kalian menyebutkan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH? Diagonal ruang adalah ruas garis yang
menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu bangun ruang.
Diagonal ruang kubus ABCD.EFGH antara lain HB
dan FD
. Perhatikan BDH siku-siku di titik D, maka untuk menentu-
kan panjang diagonal ruang HB
dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras.
2 2
2 2
2 2
2 2
2
HB BD
DH 2
2 3
HB 3
3 cm a
a a
a a
a a
A B
C D
E F
G H
a cm a cm
a cm
Gambar 5.12
Berpikir kritis
Pada bangun ruang balok dengan panjang
p cm, lebar l cm, dan tinggi t cm, tentukan
panjang diagonal sisi dan panjang diagonal
ruangnya.
131
Teorema Pythagoras
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang AB
= 15 cm. Hitunglah panjang
diagonal ruang
AG
.
Penyelesaian:
Gambar 5.13
A B
C D
E F
G H
15 cm
15 cm 15 cm
Perhatikan ACG.
Karena ACG siku-siku di
titik C, maka panjang diago- nal ruang
AG
dapat dicari dengan rumus berikut.
2 2
2
AG AC
CG . Panjang diagonal sisi
AC
adalah
2
AC =
2 2
AB BC
= 15
2
+ 15
2
= 225 + 225 = 450
AC
= 450
15 2 cm.
Jadi, panjang diagonal ruang
AG
adalah
2 2
2
AG AC
CG . =
2
15 2 + 15
2
= 450 + 225 = 675 =
15 3 cm .
Pada kubus ABCD.EFGH di samping, diketahui panjang
AB = 4 cm. Hitunglah
a. panjang
AC
dan
AG
; b. panjang
CP
; c. luas bidang diagonal ACGE.
A B
C D
E F
G H
P
Berpikir kritis
Perhatikan bangun ruang-bangun ruang
lain selain kubus dan balok.
Temukan pemanfaat- an teorema Pytha-
goras pada masing- masing bangun
tersebut. Hasilnya, tulislah dalam bentuk
laporan dan kumpul- kan kepada gurumu.
