Mengenal Gradien Garis Tertentu
72
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
b. Gradien garis-garis yang saling sejajar Perhatikan Gambar 3.13.
Pada gambar tersebut tampak pasangan ruas garis sejajar ABCDEF dan ruas garis GHIJKL. Bagaimanakah gradien
ruas garis yang saling sejajar tersebut?
1 2
3 4
5 6
_1 _2
_3 1
2 3
4 5
6
X Y
A B
C D
E F
G H
I J
K L
_4 7
7
Gambar 3.13
Perhatikan uraian berikut ini. x Ruas garis AB melalui titik A4, 0 dan B6, 2, sehingga gradien
ruas garis AB adalah
B A
AB B
A
2 0 6
4 2
2 1.
y y
m x
x
x Ruas garis CD melalui titik C3, 2 dan D5, 4, sehingga gradien ruas garis CD adalah
D C
CD D
C
4 2
2 1.
5 3 2
y y
m x
x
x Ruas garis EF melalui titik E1, 1 dan F3, 3, sehingga gradien ruas garis EF adalah
F E
EF F
E
3 1 2
1. 3 1
2 y
y m
x x
73
Persamaan Garis Lurus
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa m
AB
= m
CD
= m
EF
= 1, dengan garis ABCDEF. Sekarang kita akan mencari gradien dari garis GH, garis IJ,
dan garis KL. x Ruas garis GH melalui titik G2, 3 dan H0, 6, sehingga berlaku
H G
GH H
G
6 3 3
. 2
2 y
y m
x x
x Ruas garis IJ melalui titik I0, 3 dan J–2, 6, sehingga berlaku
J I
IJ J
I
6 3 3
. 2
2 y
y m
x x
x Ruas garis KL melalui titik K–1, 1 dan L–3, 4, sehingga berlaku
L K
KL L
K
4 1 3
. 3 1
2 y
y m
x x
Berdasarkan uraian tersebut, tampak bahwa m
GH
= m
IJ
= m
KL
= 3
2 , dengan garis GHIJKL.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
Jika garis y
1
= m
1
x + c sejajar dengan garis y
2
= m
2
x + c maka gradien kedua garis tersebut sama, atau m
1
= m
2
.
Tentukan kedudukan garis y = –2x + 5 dengan garis
berikut.
i 1
2 2
x y
ii 4x + 2y = 5
Penyelesaian: Garis y = –2x + 5 berbentuk y = mx + c, sehingga gradien
garis tersebut adalah m
1
= –2. i Ubahlah bentuk
1 2
2 x
y menjadi bentuk
y mx
c
.
74
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
1 1
2 2
2 2
4 2
x y
y x
y x
Gradien dari persamaan garis y = 4 – 2x adalah m
2
= –2. Karena m
2
= m
1
= –2, maka garis y = 2x + 5 dan garis 1
2 2
x y
saling sejajar. ii Bentuk 4x + 2y = 5 jika diubah ke bentuk y = mx + c
sebagai berikut. 4
2 5
2 5 4
5 2
2
x
y y
x y
x Gradien dari garis
5 2
2 y
x adalah m
2
= –2. Karena m
2
= m
1
, maka garis y = 2x + 5 dan garis 4x + 2y = 5 saling sejajar.
c. Gradien garis yang saling tegak lurus Untuk menentukan gradien garis yang saling tegak lurus
perhatikan Gambar 3.14. Dengan menggunakan busur derajat atau penggaris siku-siku, dapatkah kalian menunjukkan hubungan antara
ruas garis AB dengan ruas garis CD? Bagaimana pula hubungan antara ruas garis EF dengan ruas garis GH? Apakah kedua pasang
ruas garis tersebut saling tegak lurus? Jika kalian menggunakan penggaris siku-siku dengan cermat, kalian akan memperoleh bahwa
ruas garis AB A
CD dan ruas garis EF A
GH.
_1 _2
1 2
3 4
1 2
3 4
5 X
Y
A B
C D
F G
H _1
_2 _3
E _4
_3 6
5
Gambar 3.14
75
Persamaan Garis Lurus
Sekarang akan kita selidiki gradien dari masing-masing ruas garis tersebut.
x Ruas garis AB melalui titik A1, 1 dan B4, 2, sehingga
AB
2 1 1
. 4 1
3 m
x Ruas garis CD melalui titik C3, 0 dan D2, 3, sehingga
CD
3 0 3
3. 2 3
1 m
Perhatikan bahwa
AB CD
1 3
1 3
u u
m m
. Dari Gambar 3.15 tampak bahwa garis AB
A CD dengan
m
AB
u
m
CD
= –1 ........................................................... i Selanjutnya akan kita cari gradien dari ruas garis EF dan GH.
x Ruas garis EF melalui titik E–3, 3 dan F2, –2, sehingga
EF
2 3 5
1. 2 3
5 m
x Ruas garis GH melalui titik G–3, 0 dan H0, 3, sehingga
GH
3 0 3
1. 0 3
3 m
Perhatikan bahwa
EF GH
1 1 1
u u
m m
. Dari Gambar 3.14 tampak bahwa garis EF
A GH dengan
m
EF
u
m
GH
= –1 ........................................................... ii Berdasarkan i dan ii dapat dikatakan bahwa jika dua buah
garis saling tegak lurus maka hasil kali gradien kedua garis tersebut adalah –1.
Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah –1.
Selidikilah apakah garis yang melalui titik P3, 1
dan Q9, 5 tegak lurus dengan garis yang melalui
titik R8, 0 dan S4, 6. Penyelesaian:
Gradien garis yang melalui titik P3, 1 dan Q9, 5 adalah
PQ
5 1 4
2 .
9 3 6
3 m
Menumbuhkan inovasi
Bentuklah kelompok yang terdiri atas 4
orang, 2 pria dan 2 wanita. Diskusikan hal
berikut. a. Diketahui persa-
maan garis ax + by = c dan px + qy
= r saling sejajar. Bagaimana hu-
bungan antara a dan b dengan p
dan q?
b. Diketahui persa- maan garis ax +
by = c dan px + qy = r saling tegak
lurus. Bagaimana hubungan antara a
dan b dengan p dan q?
Dari jawaban a dan b, buatlah kesimpulan-
nya.
76
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
1. Tentukan gradien dari garis-garis berikut. a. x = 0
d. y = -4 b. x = 3
e. y = 0 c. x = -5
f. y = 6 2. Di antara persamaan garis berikut,
manakah yang sejajar dengan garis yang melalui titik 0, 0 dan –2, 1?
a. y = 2x – 5 d. 2x – y = 3
b. 1
2 y
x e. 4x + y – 1 = 0
c. x + 2y = 1 3. Tentukan gradien garis y = mx + c, agar
a. sejajar dengan garis 2x – 3y = 10; b. tegak lurus dengan garis 3x + 4y =
5. 4. Tentukan gradien garis yang melalui
kedua titik berikut. Adakah hubungan sejajar atau tegak lurus di antaranya?
a. A-1, 0 dan B0, 2 b. C0, 3 dan D2, 2
c. E1, -2 dan F3, 2 d. G2,
3 dan H6, 1 5. Diketahui sebuah garis melalui titik
A3, 0 dan B0, 2. Suatu garis lain melalui titik O0, 0 dan C3, 3.
a. Dengan menentukan gradien masing-masing garis, bagaimanakah
kedudukan dua garis tersebut? b. Tentukan persamaan garis yang
melalui titik O dan C? Gradien garis yang melalui titik R8, 0 dan S4, 6 adalah
RS
6 0 6
3 .
4 8 4
2 m
PQ RS
2 3
1 3
2 §
· u
u ¨
¸ ©
¹ m
m Karena hasil kali gradien kedua garis adalah –1, sehingga
kedua garis tegak lurus.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.