Layang-Layang Garis Singgung MENGENAL SIFAT-SIFAT GARIS SINGGUNG

175 Garis Singgung Lingkaran Pada gambar tersebut tampak bahwa garis PA dan PB adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Dengan demikian ‘ OAP = ‘ OBP dan AP = BP dengan garis AB merupakan tali busur. Perhatikan OAB. Pada OAB, OA = OB = jari-jari, sehingga OAB adalah segitiga sama kaki. Sekarang, perhatikan ABP. Pada ABP, PA = PB = garis singgung, sehingga ABP adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian, segi empat OAPB terbentuk dari segitiga sama kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AB yang saling berimpit. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa segi empat OAPB merupakan layang-layang. Karena sisi layang- layang OAPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segi empat OAPB disebut layang-layang garis singgung. a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layang- layang. b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung. Gambar 7.12 Perhatikan gambar di atas. Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika panjang OA = 9 cm dan OP = 15 cm, hitunglah Penyelesaian: Perhatikan OAP. a. OAP siku-siku di titik A, sehingga 2 2 2 2 2 AP OP OA 15 9 225 81 144 AP 144 12 cm A B P O 176 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 b. Luas OAP 2 1 OA AP 2 1 9 12 2 54 cm u u u u c. Luas layang-layang OAPB 2 2 luas OAP 2 54 108 cm u u d. Luas layang-layang 1 OAPB OP AB 2 1 108 15 AB 2 108 2 AB 15 14, 4 cm u u u u u Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. a. panjang AP; b. luas OAP; c. luas layang-layang OAPB; d. panjang tali busur AB. 1. p l k n m Dari garis-garis k, l, m, n, dan p pada gambar di atas, manakah yang merupakan garis singgung lingkaran? 2. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran berpusat di titik O0, 0 dengan jari-jari 5 satuan panjang. Selanjutnya lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik A0, 5. 3. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran dengan pusat di titik P3, 2 dan jari-jari 4 satuan panjang. Selanjutnya, lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik Q–1, 2. 4. Berdasarkan keterangan pada gambar berikut, hitunglah panjang setiap garis singgung lingkarannya. a. Q P O 7 cm 5 c m b. A B O 26 cm 1 c m c. O P Q 1 2 c m 20 cm 177 Garis Singgung Lingkaran 5. A B C O Pada gambar di atas, garis AB dan AC adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A. Jika OB = 10 cm dan OA = 26 cm maka tentukan a. panjang garis singgung AB; b. luas layang-layang OBAC; c. panjang tali busur BC.

C. KEDUDUKAN DUA LINGKARAN

Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L 1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L 2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut. i L 2 terletak di dalam L 1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L 2 terletak di dalam L 1 dan konsentris setitik pusat. ii L 2 terletak di dalam L 1 dan PQ r R. Dalam hal ini dikatakan L 2 terletak di dalam L 1 dan tidak konsentris. iii L 2 terletak di dalam L 1 dan PQ = r = 1 2 R, sehingga L 1 dan L 2 bersinggungan di dalam. iv L 1 berpotongan dengan L 2 dan r PQ R. v L 1 berpotongan dengan L 2 dan r PQ R + r. vi L 1 terletak di luar L 2 dan PQ = R + r, sehingga L 1 dan L 2 bersinggungan di luar. vii L 1 terletak di luar L 2 dan PQ R + r, sehingga L 1 dan L 2 saling terpisah. r R P,Q PQ = 0 L 2 L 1 i L 1 L 2 P Q PQ r R ii P Q L 1 L 2 r R PQ P Q L 1 L 2 PQ + R r P Q L 1 L 2 PQ = + R r P Q L 1 L 2 r R r PQ + Gambar 7.13 L 1 L 2 Q PQ = = r R iii 1 2 P iv v vi vii 178 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Pada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas, dapat dibuat garis singgung persekutuan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Apakah untuk setiap dua lingkaran selalu dapat dibuat garis singgung persekutuan? Perhatikan kemungkinan berikut. i Pada Gambar 7.14 kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan. ii Pada Gambar 7.15 kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan. iii Pada Gambar 7.16 kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan. iv Pada Gambar 7.17 kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan. v Pada Gambar 7.19 kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.

D. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA

LINGKARAN Pada bagian depan kalian telah mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada sebuah lingkaran. Sekarang, kalian akan mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada dua buah lingkaran. Ada dua macam garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Agar kalian dapat memahaminya pelajari uraian berikut ini. Gambar 7.14 Gambar 7.15 Gambar 7.16 Gambar 7.17 Gambar 7.18 Menumbuhkan kreativitas Ambillah dua buah koin yang berbeda ukuran. Peragakanlah kedudukan dua buah lingkaran seperti pada Gambar 7.10. Ceritakan secara sing- kat di depan kelas.