y Gradien Suatu Garis yang Melalui Titik Pusat O0, 0 dan Titik

66 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Perhatikan juga ruas garis AB pada segitiga ABC. AB AB BC 3 1 2 1 AC 6 2 4 2 y x Dari uraian di atas ternyata perbandingan antara komponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkan bilangan yang sama. Bilangan yang sama tersebut disebut gradien. Jadi, gradien dari garis 1 2 y x adalah 1 2 . Bandingkan dengan koefisien x pada persamaan garis y = 1 2 x. Apakah kalian menyimpulkan berikut ini? Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x. Besar gradien garis yang persamaannya y = mx adalah besarnya koefisien x, sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut. Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m. Bagaimana cara menentukan gradien garis yang persamaannya y = mx + c? Agar kalian mudah memahaminya, perhatikan Gambar 3.9. y x = 2 + 3 S2, 7 R1, 5 Q P P Y X 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 Q 1, 1 3 2 1 P 2, 1 Gambar 3.9 Pada gambar tersebut tampak bahwa garis yang memiliki persamaan y = 2x + 3 melalui titik-titik P–2, –1, Q–1, 1, R1, 5, dan S2, 7. Sekarang perhatikan perbandingan antara komponen y dan komponen x dari beberapa ruas garis y = 2x + 3. 67 Persamaan Garis Lurus Perhatikan ruas garis PQ pada segitiga PP Q c . 2 2 1 c c p p y QP x PP Perhatikan ruas garis QR pada segitiga QQ R c . 4 2 2 c c Q Q y RQ x QQ Perhatikan ruas garis PS pada segitiga PP S cc . 8 2 4 cc cc S S y SP x PP Berdasarkan uraian di atas ternyata perbandingan antara komponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkan bilangan yang selalu sama. Bilangan yang selalu sama tersebut disebut gradien. Jadi, garis dengan persamaan y = 2x + 3 memiliki gradien 2. Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m. Selanjutnya, bagaimana menentukan gradien garis yang berbentuk ax + by = c? Sebelumnya ubahlah bentuk ax + by = c ke bentuk y = mx + c dengan cara seperti berikut. œ ax + by = c œ by = –ax + c y = a c x b b p koefisien x menunjukkan gradien Gradien garis ax + by = c adalah . a b Gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah a b . Berpikir kritis Kalian telah mempelajari bahwa gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah a b . a. Bagaimana jika a = 0? Berapakah gradiennya? b. Bagaimana pula jika b = 0? Berapakah gradiennya? Diskusikan dengan temanmu. Ujilah jawab- anmu dengan uraian materi selanjutnya. 68 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Tentukan gradien dari per- samaan garis berikut. a. 2y = 5x – 1 b. 3x – 4y = 10 Penyelesaian: a. Ubah persamaan garis 2y = 5x – 1 ke bentuk y = mx + c. y = 5 2 x – 1 2 m= 5 2 Atau dengan cara lain, ubah persamaan garis 2y = 5x – 1 ke bentuk ax + by = c. 2y = 5x – 1 œ 5x – 1 = 2y œ 5x – 2y = 1 Gradien garis 5x – 2y = 1 adalah 5 5 . 2 2 § · ¨ ¸ © ¹ a m b b. 3x – 4y = 10 a m b = 3 4 § · ¨ ¸ © ¹ = 3 4 Jadi, gradien garis 3x – 4y = 10 adalah 3 . 4 m

2. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik x

1 , y 1 dan x 2 , y 2 Kalian telah mempelajari bahwa gradien suatu garis adalah perbandingan antara komponen y dan komponen x ruas garis yang terletak pada garis tersebut. 69 Persamaan Garis Lurus Perhatikan ruas garis AB pada Gambar 3.10. Berdasarkan gambar tersebut tampak bahwa ruas garis AB melalui titik A x 1 , y 1 dan Bx 2 , y 2 , sehingga perbandingan komponen y dan komponen x ruas garis tersebut adalah AB 2 1 AB AB 2 1 . y y y y m x x x x Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut. Gradien garis yang melalui titik x 1 , y 1 dan x 2 , y 2 adalah 2 1 2 1 y y y m x x x . Catatan: Selisih antara dua bilangan x 1 dan x 2 dinotasikan dengan x = x 2 – x 1 dibaca: delta. Tentukan gradien garis yang melalui titik a. A1, 2 dan B3, 0; b. C–3, 1 dan D–2, –5. Penyelesaian: a. Gradien garis yang melalui titik A1, 2 dan B3, 0 adalah AB B A B A 2 3 1 2 1 2 y m x y y x x Berpikir kritis Apakah gradien garis yang melalui titik x 1 , y 1 dan x 2 , y 2 dapat dirumuskan sebagai ? 1 2 1 2 y y y m x x x Apakah ada syarat tertentu agar hal tersebut berlaku? Eksplorasilah hal ini dengan mendiskusi- kan bersama teman sebangkumu. Hasilnya, kemukakan secara singkat di depan kelas. X Y A x AB , x y 2 2 B , x y 1 1 y AB yy 21 _ y 2 y 1 x x 2 1 _ x 2 x 1 Gambar 3.10