Tripel Pythagoras TEOREMA PYTHAGORAS

126 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Karena 13 2 = 5 2 + 12 2 , maka segitiga ini termasuk jenis segitiga siku-siku. Dari uraian di atas tampak bahwa kelompok tiga bilangan 6, 8, 10 dan 5, 12, 13 merupakan sisi-sisi segitiga siku-siku, karena memenuhi teorema Pythagoras. Selanjutnya, kelompok tiga bilangan tersebut disebut tripel Pythagoras. Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. Jika tiga bilangan bu- lat a, b, c merupakan tripel Pythagoras maka na, nb, dan nc juga membentuk tripel Pythagoras, dengan n bilangan real. Dapatkah kalian membuktikan pernya- taan tersebut? 1. Selidiki jenis segitiga dengan panjang sisi- sisi berikut. a. 5, 8, 10 e. 8, 15, 17 b. 7, 8, 9 f. 7, 24, 25 c. 9, 12, 15 g. 12, 16, 20 d. 13, 5, 12 h. 28, 45, 53 2. Di antara kelompok tiga bilangan berikut ini, manakah yang membentuk tripel Pythagoras? a. 3, 4, 5 e. 8, 15, 17 b. 4, 5, 6 f. 12, 15, 19 c. 4, 7, 8 g. 11, 60, 62 d. 12, 16, 20 h. 33, 56, 65 3. Salin dan lengkapilah tabel berikut, se- hingga menunjukkan kelompok bilangan tripel Pythagoras, dengan a b. Apa yang dapat kalian simpulkan dari tabel di atas? 4. Pada segitiga ABC diketahui AB = 10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm. a. Tunjukkan bahwa ABC siku-siku. b. Di titik manakah ‘ABC siku-siku? a 2 1 3 4 5 3, 4, 5 3 1 3 2 b a 2 – b 2 2ab a 2 + b 2 Tripel Pytha- goras a b a 2 – b 2 2ab a 2 + b 2 Tripel Pytha- goras 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 127 Teorema Pythagoras

3. Perbandingan Sisi-Sisi pada Segitiga Siku-Siku dengan Sudut Khusus

a. Sudut 30 dan 60 Perhatikan Gambar 5.9. Segitiga ABC di samping adalah segitiga sama sisi dengan AB = BC = AC = 2x cm dan ‘ A = ‘ B = ‘ C = 60 . Karena CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus garis bagi ‘ C, sehingga ‘ ACD = ‘ BCD = 30 o . Diketahui ‘ ADC = ‘ BDC = 90 o . Titik D adalah titik tengah AB, di mana AB = 2x cm, sehingga panjang BD = x cm. Perhatikan CBD. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh CD 2 = BC 2 – BD 2 CD = 2 2 BC BD = 2 2 2 x x = 2 2 4x x = 2 3x = 3 x Dengan demikian, diperoleh perbandingan BD : CD : BC = : 3 : 2 x x x = 1: 3 : 2. Perbandingan tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku khusus. Perhatikan contoh berikut. 5. Q P R S 4 cm 2 cm 8 cm Perhatikan gambar di atas. Pada PQR diketahui PS = 2 cm, QS = 8 cm, dan RS = 4 cm. a. Hitunglah panjang PR dan QR. b. Buktikan bahwa PQR siku-siku di titik R. A B C D 30 o 60 o 30 o 2 cm x Gambar 5.9 128 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Diketahui persegi panjang ABCD dengan panjang di- agonal AC = 10 cm dan ‘ CAB = 30 o . Tentukan i panjang AB; ii panjang BC; iii luas ABCD; iv keliling ABCD. Penyelesaian: Perbandingan sisi-sisi pada ABC adalah BC : AB : AC = 1 : 3 : 2, sehingga i BC : AB : AC = 1 : 3 : 2 AB : AC = 3 : 2 AB : 10 = 3 : 2 2AB = 10 3 AB = 10 3 2 = 5 3 cm ii BC : AC = 1 : 2 BC : 10 = 1 : 2 2BC = 10 BC = 10 2 = 5 cm iii Luas ABCD 2 AB BC 5 3 5 25 3 cm u u iv Keliling ABCD 2 AB BC 2 5 3 5 10 3 1 cm u Gambar 5.10 A B C D 10 cm 30 o b. Sudut 45 o Perhatikan Gambar 5.11. Segitiga ABC pada Gambar 5.11 adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC = x cm dan ‘ A = ‘ C = 45 o . A B C x cm 45 o 45 o Gambar 5.11