Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurus y = mx + c pada Bidang Cartesius

60 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. untuk y = 0 maka 2x + 3 u 0 = 6 2x + 0 = 6 2x = 6 x = 6 2 = 3 o x, y = 3, 0. 1 2 4 3 2 1 X Y _2 _1 _1 _2 3, 0 0, 2 2 + 3 = 6 x y _3 5 _3 3 Gambar 3.3 1. Di antara gambar-gambar berikut, mana- kah yang menunjukkan garis dengan persamaan 3 2 y x ? 2 3 X Y i 2 X Y 3 ii 61 Persamaan Garis Lurus X Y _2 3 iii 3 X Y 3 iv 2. Salin dan lengkapilah tabel berikut sesuai dengan persamaan garis yang diberikan. Kemudian, gambarlah grafik persamaan garis lurus tersebut pada bidang Cartesius. a. y = 5x b. 1 1 3 y x 3. Gambarlah grafik persamaan garis lurus berikut pada bidang Cartesius. a. y = 4x – 1 d. y = 4 b. 2x – 3y = 12 e. x = –1 c. x = 2y – 2 f. y = x 4. a. Gambarlah grafik dari y = 2x, y = 2x + 3, dan y = 2x – 2 pada satu bidang koordinat. b. Adakah hubungan antara ketiga ga- ris tersebut? c. Bagaimanakah koefisien x pada keti- ga garis tersebut? d. Apa yang dapat kalian simpulkan? 5. Gambarlah grafik dari 1 2 y x dan y = 2x + 1 pada satu bidang koordinat. a. Adakah hubungan antara ketiga garis tersebut? b. Bagaimanakah koefisien x pada ketiga garis tersebut? c. Apa yang dapat kalian simpulkan? 2. Menyatakan Persamaan Garis Jika Grafiknya Diketahui a. Persamaan garis y = mx Untuk menyatakan persamaan garis dari gambar yang diketahui maka kita harus mencari hubungan absis x dan ordinat y yang dilalui garis tersebut. x .... y .... 5 x, y ..., ... ..., ... x .... y .... x, y ..., ... ..., ... 62 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 2 1 1 3 5 2 1 3 4 4 6 X Y 1 2 2 Gambar 3.4 Perhatikan Gambar 3.4. Misalkan bentuk persamaan garis tersebut adalah y = mx + c dengan m dan c konstanta. Karena titik 0, 0 dan 4, 2 terletak pada garis tersebut maka diperoleh y = mx + c 0 = m0 + c atau c = 0, sehingga 2 = m4 + 0 atau m = 1 2 . Jadi, persamaan garis tersebut adalah y = mx + c atau 1 2 y x . Persamaan garis yang melalui titik O0, 0 dan titik Px 1 , y 1 adalah 1 1 y y x x . Jika 1 1 y m x maka persamaan garisnya adalah y = mx. Tentukan persamaan garis lurus pada gambar berikut. Penyelesaian: Garis l 1 melalui titik 0, 0 dan 4, 1, sehingga persamaan garisnya adalah 1 1 1 4 y y x x x . Adapun garis l 2 melalui titik 0, 0 dan –2, 2, sehingga persamaan garisnya adalah 1 1 2 2 y y x x x atau y = –x. 2 1 3 2 1 3 4 X Y l 1 l 2 2 2 1 1 4, 1 2, 2 Gambar 3.5 63 Persamaan Garis Lurus b. Persamaan garis y = mx + c Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mempe- lajari bahwa persamaan garis yang melalui titik O0, 0 dan Px 1 , y 1 adalah 1 1 y y x x . Sekarang, perhatikan Gambar 3.6. Pada gambar tersebut garis k melalui titik O0, 0 dan titik A4, 3, sehingga persamaan garis k adalah y = mx atau 3 4 y x . Sekarang, coba geserlah garis k sampai berimpit dengan garis l sehingga 0, 0 o 0, 3 dan 4, 3 o 4, 6. Garis l melalui titik B0, 3 dan C4, 6 sejajar garis k. 2 2 1 1 1 3 3 4 5 2 1 3 5 4 6 4 X Y C4, 6 A4, 3 B0, 3 l k 2 3 Gambar 3.6 Misalkan persamaan garis l adalah y = mx + c. Karena garis l melalui titik 0,3 maka berlaku 3 = m 0 + c 3 = c atau c = 3 Karena garis l melalui titik 4, 6 maka berlaku 6 = m4 + c 6 = 4m + 3 4m = 3 m = 3 4 Jadi, persamaan garis l yang sejajar dengan garis k adalah y = mx + c atau 3 3 4 y x . 64 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Dengan demikian, kita dapat menentukan persamaan suatu garis l dengan memerhatikan berikut ini. 1. Titik potong garis l dengan sumbu Y. 2. Persamaan garis yang sejajar dengan garis l dan melalui titik 0, 0. Persamaan garis yang melalui titik 0, c dan sejajar garis y = mx adalah y = mx + c. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tentukan persamaan garis pada gambar berikut. 1 2 3 4 4 3 2 1 X Y _1 l 1 l 2 i _2 5 5 1 2 3 4 4 3 2 1 X Y _1 l 4 l 3 5 _1 ii _2 _2 6 2. Gambarlah garis yang melalui titik pangkal koordinat O0, 0 dan titik-titik berikut, kemudian tentukan persamaan garisnya. a. 3, 4 c. –3, –5 b. –2, 5 d. 4, –3 3. a. Diketahui titik A–8, a terletak pada garis yang persamaannya 1 15 4 y x . Tentukan nilai a. b. Diketahui titik Bb, 5 terletak pada garis yang persamaannya 4x – 3y + 7 = 0. Tentukan nilai b. 4. Gambarlah garis yang melalui titik-titik berikut, kemudian tentukan persamaan dari masing-masing garis tersebut. a. P0, 2 dan Q2, 0 b. R0, 3 dan S-4, 0 c. K0, 4 dan L-1, 0 65 Persamaan Garis Lurus B . GRADIEN Coba kalian perhatikan orang yang sedang naik tangga. Dapatkah kalian menentukan nilai kemiringannya? Jika tangga dianggap sebagai garis lurus maka nilai kemiringan tangga dapat ditentukan dengan cara membandingkan tinggi tembok yang dapat dicapai ujung tangga dengan jarak kaki tangga dari tembok. Nilai kemiringan tangga tersebut disebut gradien. Pada pembahasan ini kita akan membahas cara menentukan gradien dari suatu garis lurus.

1. Gradien Suatu Garis yang Melalui Titik Pusat O0, 0 dan Titik

x, y

Agar kalian memahami pengertian dan cara menentukan gradien suatu garis yang melalui titik O0, 0 dan titik x, y, perhatikan Gambar 3.8. Pada Gambar 3.8 tersebut tampak garis y = 1 2 x dengan titik O0, 0, A2, 1, dan B6, 3 terletak pada garis tersebut. Bagaimanakah perbandingan antara komponen y dan komponen x dari masing-masing ruas garis pada garis y = 1 2 x tersebut? 1 2 3 x A X Y y A A2, 1 B6, 3 y B C A’ x B B’ y x = 2 1 4 O Gambar 3.8 Perhatikan ruas garis OA pada segitiga OAA c. A A AA 1 OA 2 c c y x Perhatikan ruas garis OB pada segitiga OBB c. B B BB 3 1 OB 6 2 c c y x Gambar 3.7 Sumber: Dok. Penerbit 66 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Perhatikan juga ruas garis AB pada segitiga ABC. AB AB BC 3 1 2 1 AC 6 2 4 2 y x Dari uraian di atas ternyata perbandingan antara komponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkan bilangan yang sama. Bilangan yang sama tersebut disebut gradien. Jadi, gradien dari garis 1 2 y x adalah 1 2 . Bandingkan dengan koefisien x pada persamaan garis y = 1 2 x. Apakah kalian menyimpulkan berikut ini? Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x. Besar gradien garis yang persamaannya y = mx adalah besarnya koefisien x, sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut. Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m. Bagaimana cara menentukan gradien garis yang persamaannya y = mx + c? Agar kalian mudah memahaminya, perhatikan Gambar 3.9. y x = 2 + 3 S2, 7 R1, 5 Q P P Y X 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 Q 1, 1 3 2 1 P 2, 1 Gambar 3.9 Pada gambar tersebut tampak bahwa garis yang memiliki persamaan y = 2x + 3 melalui titik-titik P–2, –1, Q–1, 1, R1, 5, dan S2, 7. Sekarang perhatikan perbandingan antara komponen y dan komponen x dari beberapa ruas garis y = 2x + 3.