4336 Sedangkan untuk memfaktorkan pangkat besar dalam aritmatika modular adalah dengan menghitung
nilai exponential modulo R PQ mod R. Contoh : 2823 mod 55 = ?
sebelum mulai menghitung, cari nilai biner dari Q
Q = 23 dalam biner adalah 10111, berarti : 23 = 16 + 4 + 2 + 1, or 23 = 24 + 22 + 21 + 20.
Dapat dipecahkan dengan perhitungan exponential berikut :
2823 = 2824 + 22 + 21 + 20
= 2824 2822 2821 2820 = 282 2 2 2 282 2 282 28
= 282222 2822 282 28.
Menghitung pangkat dua pertama dalam modular aritmatika :
282 = 784 = 14 mod 55.
Substitusi nilai ini kedalam persamaan sebelumnya :
2823 = 282222 2822 282 28 mod 55, diperoleh : 2823 = 14222 142 14 28 mod 55.
Sekarang hitung 142 :
142 = 196 = 31 mod 55, maka : 2823 = 3122 31 14 28 mod 55.
312 = 961 = 26 mod 55, and 262 = 676 = 16 mod 55 2823 = 16 31 14 28 mod 55.
2823 = 16 31 14 28 mod 55
= 16 31 392 mod 55 = 16 31 7 mod 55
= 16 217 mod 55 = 16 52 mod 55
= 832 mod 55 = 7
c. Greatest Common Divisor GCD
Jika
Greatest Common Divisor
GCD dari a dan n adalah sama dengan satu, maka a dan n adalah relatif prima. Bentuk ini ditulis dengan : gcda, n = 1
4337 Salah satu metode untuk menghitung GCD dari dua buah bilangan adalah dengan menggunakan
algoritma
Euclid
berikut :
Begin P := A; Q := B;
While Q ≠ 0 Do Begin
R := P Mod Q; P := Q;
Q := R; End
GCDA,B := P End
d. Inverse Aritmatika Modular
Inverse
merupakan operasi kebalikan.
Inverse
perkalian dari 4 adalah ¼ karena 4 ¼ = 1. Dalam modulo, persoalan ini rumit. Contoh : 4 x ≡ 1 mod 7
Inverse
dapat ditulis : a
-1
≡ x mod n Persoalan
inverse
modular agak sulit untuk diselesaikan karena tidak semua
Inverse
memiliki penyelesaian. Sebagai contoh,
inverse
modular dari 5 mod 14 adalah 3, sedangkan 2 mod 14 tidak memiliki
inverse
modular. Secara umum, a
-1
≡ x mod n memiliki sebuah solusi unik jika a dan n adalah relatif prima. Jika a dan n bukan relatif prima, maka a
-1
≡ x mod n tidak memiliki solusi. Jika n adalah bilangan prima maka setiap bilangan dari 1 sampai n
– 1 adalah relatif prima dengan n dan memiliki tepat satu
inverse modulo
n dalam
range
tersebut. Untuk menghitung inverse modular dapat digunakan algoritma
extended Euclidean.
e. Fermat’s Little Theorem
Theorem
ini dinyatakan dengan : Jika m adalah bilangan prima dan a bukan kelipatan dari m, maka Fermat’s Little Theorem menyatakan bahwa :
a
m-1
≡ 1 mod m -
The Euler Totient Function
Fungsi
Euler Totient
atau
Euler Phi
ditulis sebagai n, yaitu banyak elemen yang terdapat dalam
reduced set
dari sisa bagi modulo n. Dengan perkataan lain, n adalah banyak bilangan
integer
positif kurang dari n dan relatif prima terhadap n, untuk semua n yang lebih besar dari 1.
Jika n adalah bilangan prima, maka n = n – 1. Jika n = pq dengan p dan q adalah bilangan prima, maka
n = p – 1q – 1. Berdasarkan
Euler’s generalization of Fermat’s Little Theore
m
: jika gcda,n = 1 maka, a
n
mod n = 1 Untuk menghitung a
-1
mod n adalah sebagai berikut :
4338 x = a
n - 1
mod n Sebagai contoh,
inverse modular
dari 5
modulo
7 dapat dihitung seperti berikut : 7
adalah bilangan prima, maka 7 = 7 – 1 = 6.
Jadi,
inverse
dari 5 mod 7 adalah : 5
6 – 1
mod 7 = 5
5
mod 7 = 3 -
Quadratic Residue
Jika p adalah bilangan prima dan a lebih besar dari 0 dan lebih kecil dari p, maka a adalah
quadratic residue
mod p jika : x
2
≡ a mod p, untuk beberapa x. Contoh : 1, 2 dan 4 merupakan
quadratic residue
mod 7. 1
2
= 1 ≡ 1 mod 7 2
2
= 4 ≡ 4 mod 7 3
2
= 9 ≡ 2 mod 7 Sedangkan
quadratic nonresidue
merupakan kebalikan dari
quadratic residue
. Contoh : 3, 5 dan 6 merupakan
quadratic residue
mod 7. x
2
≡ 3 mod 7 x
2
≡ 5 mod 7 x
2
≡ 6 mod 7 Bilangan 3, 5 dan 6 dikatakan
quadratic nonresidue
mod 7 karena tidak ada hasil x yang dapat memenuhi persamaan di atas.
-
Legendre Symbol
Legendre Symbol
ditulis La,p didefinisikan ketika a adalah bilangan
integer
dan p adalah sebuah bilangan prima yang lebih besar dari 2. Hasil dari fungsi ini berupa 0, 1 dan -1.
La,p = 0, jika a dapat habis dibagi oleh p. La,p = 1, jika a adalah
quadratic residue
mod p. La,p = -1, jika a adalah
quadratic nonresidue
mod p. Salah satu cara untuk menghitung La,p adalah :
La,p = a
p – 12
mod p Atau menggunakan algoritma berikut ini :
1. Jika a = 1 maka La,p = 1.
2. Jika a adalah bilangan genap maka La,p = La2,p -1
p – 1 8
. 3.
Jika a adalah bilangan ganjil dan tidak sama dengan 1 maka La,p = Lp mod a, a -1
a – 1 p – 1 4
-
Jacobi Symbol
Jacobi Symbol
, ditulis Ja,n merupakan generalisasi dari
Legendre Symbol
ke
modulo
gabungan dan didefinisikan untuk semua
integer
a dan semua
integer
ganjil n. Fungsi ini digunakan dalam tes prima. Salah satu metoda untuk menghitung
Jacobi Symbol
adalah sebagai berikut : 1.
Ja,n hanya dapat didefinisikan jika n adalah bilangan ganjil. 2.
J0,n = 0.
2
4339 3.
Jika n adalah bilangan prima, maka Ja,n = 0 jika n dapat habis dibagi oleh a. 4.
Jika n adalah bilangan prima, maka Ja,n = 1 jika a adalah
quadratic residue modulo
n. 5.
Jika n adalah bilangan prima, maka Ja,n = -1 jika a adalah
quadratic nonresidue modulo
n. 6.
Jika n merupakan bilangan yang memiliki faktor prima, maka Ja,n = Ja,p
1
… Ja,p
m
, dengan p
1
… p
m
adalah faktor prima dari n.
f. Metoda Tes Prima
