Permutasi Unsur Sama Permutasi

13 Peluang Banyak unsur tersedia = 4 A, A, B, U Banyak unsur sama = 2 A dan A Banyaknya kata yang dapat terbentuk adalah P = = ¥ = = 4 2 4 3 ¥ 2 1 ¥ 2 1 ¥ 4 3 ¥ 12 Kata-kata yang terbentuk adalah sebagai berikut. AABU ABAU ABUA BUAA BAAU BAUA AAUB AUAB AUBA UBAA UAAB UABA Untuk lebih memahami permutasi unsur sama, coba Anda buat kembali kata-kata yang terdiri atas 5 huruf dari huruf A, A, N, N, B. Untuk membuat kata dari huruf-huruf tersebut, Anda harus mencermati bahwa terdapat 2 jenis unsur yang sama, yaitu huruf A ada 2 dan huruf N ada 2. Banyaknya kata yang terbentuk dapat dihitung sebagai berikut. P = = ¥ ¥ = ¥ 5 2 5 4 ¥ 3 2 ¥ 1 ¥ ¥ 5 2 ¥ 3 3 = 0 2 ¥ kata Kata-kata yang terbentuk dari susunan 5 huruf tersebut adalah sebagai berikut. AANNB NNAAB ANANB NBANA AANBN NNABA ANABN BNAAN AABNN NAABN ANBAN BANNA ANNBA NABAN ABNAN NABNA ANBNA NBAAN ANNAB ABANN ABNNA BAANN NANAB BNNAA NNBAA BANAN NANBA NAANB NBNAA BNANA Berdasarkan uraian tersebut memperjelas konsep berikut. 1. Jika dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama k ” n maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan P = banyak unsur yang r sama Tentukanlah 2 kata yang masing-masing terdiri atas 6 huruf. Dari 6 huruf tersebut, terdapat 3 huruf yang sama. Tentukan dan tuliskan semua kata yang dapat dibentuk dari huruf- huruf tersebut. Soal Pilihan P n k = 2. Jika dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur jenis pertama sama, unsur jenis kedua sama, dan m unsur jenis ketiga sama k + + m ” n maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan P n k m = 14 Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi Berapakah banyaknya susunan kata yang terdiri atas 6 huruf dan 7 huruf yang dapat dibuat dari kata-kata berikut. a . SELERA b . SASARAN Jawab : a . Banyak unsur tersedia = n = 6 Banyak unsur sama ada satu jenis unsur, yaitu unsur E Banyak unsur E = k = 2 Oleh karena k ” n maka banyaknya susunan kata yang terdiri atas 6 huruf, yaitu P = n k P = 6 2 6 5 4 3 2 1 2 1 = ¥ 5 ¥ 3 = 360 Jadi, banyaknya susunan kata yang terbentuk dari 6 huruf ”SELERA” adalah 360. b . Banyak unsur tersedia = n = 7 Banyak unsur sama ada dua jenis unsur, yaitu unsur A dan S. Banyak unsur A= k = 3 Banyak unsur S = = 2 Oleh karena k + = 3 + 2 ” n = 7 maka banyaknya susunan kata yang terdiri atas 7 huruf, yaitu P = n k P = 7 3 2 7 6 5 4 3 2 1 2 = ¥ 6 5 6 ¥ 3 3 2 1 ¥ 2 2 1 ¥ = 420 Jadi, banyaknya susunan kata yang terbentuk dari 7 huruf “SASARAN” adalah 420.

b. Permutasi Siklis

Pernahkan Anda mendengar permutasi siklis? Apakah ada perbedaan dengan permutasi unsur sama? Agar Anda dapat menjawabnya, pelajarilah uraian berikut. Misalkan dalam suatu rapat direksi, terdapat empat orang peserta yang duduk mengelilingi meja bundar, yaitu Dodo, Andi, Susi, dan Tina. Ada berapakah susunan cara mereka duduk mengelilingi meja? Coba perhatikan susunan keempat orang itu duduk mengelilingi meja pada gambar berikut. Notes Permutasi siklis disebut juga permutasi sirkuler. Contoh Soal 1.7 Pelajarilah contoh berikut. Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang terdiri dari 4 anak kelas I, 5 anak kelas II, dan 6 anak kelas III. Kemudian, akan ditentukan pimpinan yang terdiri atas ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Jika kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas asal wakil ketua dan sekretaris, banyaknya kemungkinan susunan pimpinan adalah ....

a. 156 d. 600 b. 492 e. 720

c. 546

Soal SPMB, 2004 Soal Pilihan 15 Peluang Dodo Susi Tina Andi Dodo Susi Andi Tina Dodo Tina Susi Andi Dodo Tina Andi Susi Dodo Andi Susi Tina Dodo Andi Tina Susi Berdasarkan Gambar 1.4 terdapat 6 cara duduk mengelilingi meja bundar. Penempatan unsur-unsur tersebut dinamakan permutasi. Dari 4 orang peserta rapat direksi, dihasilkan 6 cara susunan duduk mengelilingi meja. Perhitungan ini diperoleh dari P siklis = 4 – 1 = 3 P siklis = 3 × 2 × 1 = 6 Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Misalkan, terdapat n unsur yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari n unsur ditentukan dengan aturan sebagai berikut. P siklis = n – 1 Pak Sanusi adalah seorang pengrajin cenderamata. Ia membuat cenderamata dari ban sepeda. Pada permukaan sisi ban diwarnai 6 jenis warna, yaitu merah, hijau, kuning, biru, oranye, dan putih. Ada berapakah susunan warna yang dapat dibuat Pak Sanusi? Jawab : Jumlah susunan warna pada ban sepeda yang dapat dibuat pak Sanusi dapat dihitung dengan aturan permutasi siklis. Banyak unsur tersedia = n = 6 merah, hijau, kuning, biru, oranye, dan putih Banyak susunan warna yang dapat terbentuk P siklis = n – 1 = 6 – 1 = 5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Jadi, susunan warna yang dapat dibuat oleh Pak Sanusi sebanyak 120. Contoh Soal 1.8 Gambar 1.4 Susunan duduk dalam rapat direksi. Coba Anda pelajari contoh berikut. Suatu kelompok pengajian ibu-ibu mempunyai anggota 10 orang. Apabila setiap pengajian duduknya melingkar, banyaknya cara posisi ibu-ibu dalam duduk melingkar adalah .... a. 720 cara

b. 1.008 cara

c. 3.528 cara

d. 362.880 cara

e. 3.628.800 cara

Soal UN SMK Teknik Industri, 2005 Soal Pilihan