Menghitung Peluang dengan Ruang Sampel

20 Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi Tugas Siswa 1.2 Coba Anda diskusikan bersama teman Anda mengenai peluang penurunan harga kebutuhan pokok tersebut. Apakah besar peluang turunnya harga kebutuhan pokok adalah 1 3 ? Jika benar, jelaskan alasan Anda. Bagaimanakah menurut teori ekonomi? Instrumen atau parameter apakah yang digunakan untuk memperkirakan Áuktuasi harga kebutuhan pokok? Carilah informasi dari berbagai sumber termasuk internet, surat kabar, berita televisi atau radio, atau sumber yang relevan. Metode perhitungan peluang penurunan kebutuhan pokok yang telah Anda lakukan merupakan contoh menghitung peluang kejadian dengan ruang sampel. Dalam metode ini, semua kejadian yang terdapat dalam ruang sampel dianggap memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi. Contoh lain dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dihitung nilai peluangnya adalah menghitung peluang munculnya sisi angka pada peristiwa pelemparan uang logam. Untuk memecahkan permasalahan ini, tentukan dahulu banyak anggota ruang sampelnya dan banyak anggota kejadian yang diharapkan. Pada pelemparan uang logam, ruang sampel percobaannya adalah S = {sisi angka, sisi gambar}. Dengan demikian, banyak anggota ruang sampel adalah nS = 2. Himpunan kejadian yang diharapkan adalah E = {sisi angka} sehingga banyak anggota himpunan kejadian adalah n E = 1. Peluang munculnya sisi angka yang dinotasikan dengan PE adalah P n n P E = E S E = 1 2 Jadi, peluang muncul sisi angka pada pelemparan mata uang logam adalah 1 2 . Berdasarkan uraian tersebut dapat memperjelas konsep berikut. Misalkan, S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dan nS adalah banyaknya anggota ruang sampel di mana setiap anggota ruang sampel memiliki kesempatan yang sama untuk muncul. Misalkan, E adalah suatu kejadian kejadian yang dihitung peluangnya dengan E Ã S dan nE adalah banyak anggota dalam himpunan E. Notes E Ã S dibaca himpunan E merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Jelajah Matematika Blaise Pascal 1623-1662 Seorang ahli matematika Prancis, Blaise Pascal bersama dengan Pierre de Fermat mengembang- kan teori yang lengkap mengenai probabilitas. Probabilitas yang mereka kembangkan digunakan untuk mempelajari keajaiban-keajaiban yang jarang muncul dari berbagai macam kejadian, seperti kecela- kaan, kerusakan mesin, dan kerusakan akibat cuaca yang buruk. Sumber: Ensiklopedi Matematika Peradaban Manusia, 2002 Sumber: www.utilitarianism.com 21 Peluang Pada suatu kompleks pemukiman diadakan pemilihan kepengurusan RT yang terdiri atas ketua RT, wakil ketua RT, sekretaris, dan bendahara. Aturan yang berlaku di permukiman tersebut adalah ketua RT dan wakilnya harus laki-laki dan sekretaris serta bendahara harus perempuan. Dari data yang diperoleh, terdapat 4 orang calon ketua RT dan wakilnya, yaitu Pak Budi, Pak Rudi, Pak Tisna, dan Pak Adi, sedangkan untuk sekretaris terdapat 3 orang calon, yaitu Bu Dina, Bu Susi, dan Bu Dini. a . Ada berapakah susunan kepengurusan RT yang dapat terbentuk? b . Tentukan peluang terpilihnya Pak Budi sebagai ketua RT dan Pak Adi sebagai wakil ketua RT? Jawab : a . Banyaknya susunan kepengurusan RT yang terbentuk dapat dihitung melalui ilustrasi berikut. Contoh Soal 1.10 P n n E = E S Untuk menghitung peluang suatu kejadian dengan metode ruang sampel, Anda harus memahami cara menentukan anggota ruang sampel dan cara menghitung banyaknya anggota ruang sampel dalam suatu kejadian. Agar Anda lebih memahaminya, pelajarilah contoh berikut. Gambar 1.7 Pemilihan kepengurusan RT. Sumber: images.google.co.id Peluang kejadian E dapat dihitung menggunakan rumus berikut. Ketua RT-Wakil Ketua RT Budi-Rudi Budi-Tisna Budi-Adi Rudi-Budi Rudi-Tisna Rudi-Adi Tisna-Budi Tisna-Rudi Tisna-Adi Adi-Rudi Adi-Tisna Adi-Budi Banyaknya susunan Ketua RT-Wakil Ketua RT dihitung dengan permutasi 2 unsur dari 4 unsur, yaitu P 2 P P 4 . Sekretaris-Bendahara Dina-Susi Dina-Dini Susi-Dina Susi-Dini Dini-Dina Dini-Susi Budi-Rudi-Dina-Susi Budi-Rudi-Dina-Dini Budi-Rudi-Susi-Dina Budi-Rudi-Susi-Dini Budi-Rudi-Dini-Dina Ada 6 susunan kepengurusan dari pasangan Budi- Rudi yang menjabat ketua dan wakil ketua RT Budi-Rudi-Dini-Susi Banyaknya susunan Sekretaris-Bendahara dihitung dengan permutasi 2 unsur dari 3 unsur, yaitu P 2 P P 3 . Jika Anda lanjutkan untuk mencari 11 susunan kepengurusan RT lainnya, akan diperoleh sebanyak 72 susunan. Sekarang, coba Anda Bandingkan dengan perhitungan permutasi berikut. 22 Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi Banyaknya susunan kepengurusan RT = nS = 2 P P 4 2 P P 3 n S = 4 3 4 2 ¥ 3 2 n S = 4

3 2

2 2 2 3 2 1 1 ¥ 3 ¥ ¥ 2 = 72 Jadi, banyaknya susunan kepengurusan RT yang dapat terbentuk sebanyak 72. b . Peluang terpilihnya Pak Budi sebagai ketua RT dan Pak Adi sebagai wakil ketua RT dapat ditentukan dengan menentukan banyak anggota himpunan kejadian dan banyak anggota ruang sampel. Himpunan kejadian terpilihnya Pak Budi sebagai ketua RT dan Pak Adi sebagai wakil ketua RT = E = {Budi-Adi-Dini-Susi, Budi-Adi-Dina-Dini, Budi-Adi-Susi-Dina, Budi-Adi-Susi-Dini, Budi-Adi-Dini-Dina, Budi-Adi-Dina-Susi}. Banyaknya kejadian = nE = 6. Jadi, peluang terpilihnya Pak Budi sebagai ketua RT dan Pak Adi sebagai wakil ketua RT adalah P E = n n E S = = 6 72 1 12 . Untuk menghadapi kejuaraan bulutangkis antar-SMK tingkat Provinsi, SMK X telah memiliki 4 calon pemain ganda putra, yaitu Ricky, Rexy, Alan, dan Ardi. a . Ada berapakah cara susunan pemain ganda putra yang dapat terbentuk? b . Siapa sajakah susunan pemain ganda putra tersebut? c . Jika dari susunan pemain ganda putra yang terbentuk hanya dipilih satu pasang saja, hitunglah peluang terpilihnya pasangan ganda Ricky-Rexy. d . Jika dari susunan pemain ganda putra yang terbentuk hanya dipilih satu pasang saja, hitunglah peluang terpilihnya Alan sebagai salah satu anggota pasangan ganda? e . Tentukan peluang terpilihnya salah satu dari Ricky atau Rexy atau kedua-duanya sebagai anggota pasangan ganda. f . Tentukan peluang terpilihnya salah satu dari Ricky atau Rexy dan bukan kedua-duanya sebagai anggota pasangan ganda. Jawab : a . Banyak pasangan pemain ganda yang mungkin terbentuk dapat dihitung dengan aturan kombinasi 2 unsur dari 4 unsur, yaitu C 2 4 . C C 2 4 2 4 4 2 4 3 2 2 2 4 3 2 1 12 2 6 = = ¥ 3 = = = 4 2 - 2 2 Jadi, banyaknya pasangan pemain ganda yang terbentuk adalah 6 pasang. Contoh Soal 1.11 Gambar 1.8 Pertandingan bulutangkis antarsekolah. Sumber: i3.photobucket.com 23 Peluang Rexy = Ricky-Rexy Ricky Alan = Ricky-Alan Ardi = Ricky-Ardi Ricky = Rexy-Ricky X Rexy Alan = Rexy-Alan Ardi = Rexy-Ardi Ricky = Alan-Ricky X Alan Rexy = Alan-Rexy Ardi = Alan-Ardi X Ricky = Ardi-Ricky X Ardi Rexy = Ardi-Rexy X Alan = Ardi-Alan X c . Peluang terpilihnya pasangan ganda Ricky-Rexy sebagai pasangan yang mewakili SMK X dapat ditentukan dengan menentukan banyak anggota himpunan kejadian dan banyak anggota ruang sampel. Ruang sampel = susunan pemain ganda yang dapat terbentuk S = {Ricky-Rexy, Ricky-Alan, Ricky-Ardi, Rexy-Alan, Rexy- Ardi, Alan-Ardi}, nS = 6. Himpunan kejadian terpilihnya pasangan ganda Ricky-Rexy = E = {Ricky-Rexy}, nE = 1. Jadi, peluang terpilihnya pasangan ganda Ricky-Rexy adalah P E = n n E S P E = 1 6 . d . Gunakan cara yang sama seperti c sehingga diperoleh S = {Ricky-Rexy, Ricky-Alan, Ricky-Ardi, Rexy-Alan, Rexy- Ardi, Alan-Ardi}, nS = 6. Himpunan kejadian terpilihnya Alan sebagai salah satu anggota pasangan ganda = E = {Ricky-Alan, Rexy-Alan, Ardi-Alan}, n E = 3. Jadi, peluang terpilihnya Alan sebagai salah satu pasangan ganda adalah P E = 3 6 1 2 = . e . S = {Ricky-Rexy, Ricky-Alan, Ricky-Ardi, Rexy-Alan, Rexy- Ardi, Alan-Ardi}, nS = 6. Himpunan kejadian terpilihnya salah satu dari Ricky atau Rexy atau kedua-duanya sebagai pasangan ganda = E = {Ricky-Rexy, Ricky-Alan, Ricky-Ardi, Rexy-Alan, Rexy-Ardi}, nE = 5. Jadi, peluang terpilihnya salah satu dari Ricky atau Rexy atau kedua-duanya sebagai anggota pasangan ganda adalah P E = 5 6 . f . S = {Ricky-Rexy, Ricky-Alan, Ricky-Ardi, Rexy-Alan, Rexy- Ardi, Alan-Ardi}, nS = 6. Himpunan kejadian terpilihnya salah satu dari Ricky atau Rexy dan bukan kedua-duanya sebagai pasangan ganda adalah = E = b . Susunan pemain ganda dapat dilihat menggunakan diagram pohon berikut. Jadi, pasangan yang dapat terbentuk adalah Ricky-Rexy, Ricky- Alan, Ricky-Ardi, Rexy-Alan, Rexy-Ardi, dan Alan-Ardi. Search Ketik: http:parjono. wordpress. com20070906 rumus-matematika- konsep-peluang Website ini memuat informasi mengenai rumus- rumus matematika yang berhubungan dengan konsep-konsep peluang. 24 Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi {Ricky-Alan, Ricky-Ardi, Rexy-Alan, Rexy-Ardi}, nE = 4. Jadi, peluang terpilihnya salah satu dari Ricky atau Rexy dan bukan kedua-duanya sebagai anggota pasangan ganda adalah P E = 4 6 .

2. Menghitung Peluang dengan Frekuensi Nisbi

Selain menggunakan ruang sampel, Anda dapat menghitung peluang suatu kejadian dengan menggunakan frekuensi nisbi. Untuk memahaminya, pelajarilah uraian berikut. Misalkan, Anda melempar sebuah uang logam sebanyak 20 kali dan muncul sisi angka sebanyak 11 kali. Kemudian, melempar uang logam lagi sebanyak 40 kali dan muncul sisi angka sebanyak 18 kali. Frekuensi nisbi munculnya angka pada pelemparan uang logam tersebut dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 1.3 Frekuensi Nisbi Pelemparan Uang Logam Banyaknya lemparan 20 40 Frekuensi munculnya sisi angka 11 18 Frekuensi nisbi munculnya sisi angka 11 20 18 40 9 20 = Pada percobaan tersebut, dilakukan pelemparan uang logam sebanyak 60 kali 20 + 40 dan frekuensi munculnya sisi angka sebanyak 29 kali 18 + 11. Frekuensi nisbi munculnya sisi angka adalah 29 60 = 0,48 ª 1 2 . Frekuensi nisbi tersebut mendekati 1 2 . Jika Anda lakukan percobaan lebih banyak lagi, frekuensi nisbi akan mencapai nilai 1 2 . Coba bandingkan oleh Anda dengan menghitung peluang menggunakan metode ruang sampel. Apa yang dapat Anda simpulkan?

3. Frekuensi Harapan

Pada bagian sebelumnya, Anda telah mengetahui bahwa peluang munculnya sisi angka pada pelemparan mata uang logam adalah 1 2 . Jika dilakukan pelemparan uang logam sebanyak 50 kali, berapakah frekuensi harapan munculnya sisi angka? Gambar 1.9 Kegiatan melempar uang logam. Sumber: www.hendramagic.net 25 Peluang dengan F h E adalah frekuensi harapan kejadian E, n adalah banyak percobaan, dan PE adalah peluang terjadinya peristiwa E.

4. Peluang Kejadian Majemuk

Pada bagian sebelumnya, Anda hanya membahas peluang dari satu kejadian. Sekarang, Anda akan membahas peluang kejadian majemuk, yaitu dua atau lebih kejadian yang dioperasikan dan membentuk kejadian baru. Peluang kejadian majemuk yang akan Anda pelajari adalah peluang komplemen dari suatu kejadian, peluang kejadian saling lepas, dan peluang kejadian saling bebas.

a. Peluang Komplemen dari Suatu Kejadian

Sebelum Anda memahami mengenai peluang komplemen dari suatu kejadian, pelajarilah contoh berikut. Untuk menghitung frekuensi harapan munculnya sisi angka pada pelemparan sebanyak 50 kali dapat dilakukan dengan cara berikut. Frekuensi harapan munculnya sisi angka = banyak percobaan × peluang muncul sisi angka = 50 × 1 2 = 25 Jadi, frekuensi harapan munculnya sisi angka pada pelemparan uang logam sebanyak 50 kali adalah 25. Frekuensi harapan suatu peristiwa dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut. F h E = n × PE Untuk menghadapi kejuaraan bulutangkis antar-SMK tingkat provinsi, SMK X telah memiliki 4 calon pemain ganda putra, yaitu Ahmad, Soni, Rizki, dan Ilham. Berapakah peluang tidak terpilihnya Soni sebagai pasangan ganda? Jawab : Himpunan kejadian terpilihnya pasangan ganda dengan salah satu pasangannya Soni = E = {Ahmad-Soni, Soni-Rizki, Soni-Ilham}, E n E = 3. Peluang terpilihnya anggota pasangan ganda dengan salah satu pasangannya Soni adalah PE = 3 6 1 2 = . Contoh Soal 1.12 Notes Frekuensi harapan adalah frekuensi yang diharapkan muncul pada suatu kejadian. Gambar 1.10 Kejuaraan bulutangkis antarsekolah. Sumber: images.muntohar1408. multiply.com