Perhitungan Nilai Akhir Rente Pranumerando
126
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
Pada akhir tahun ke-n jumlah uang Bu Ina menjadi Rp1.000.000,00 1,1
n
+ Rp1.000.000,00 1,1
n –1
+ ... + Rp1.000.000,00 1,1.
Jika Rp1.000.000,00 diganti dengan M modal, 0,1 diganti M
dengan i suku bunga, dan N
a
menyatakan nilai akhir rente maka diperoleh suatu persamaan sebagai berikut.
N
a
= M 1 + i
n
+ M 1 + i
n –1
+ ... + M 1 + i N
a
= M1 + M
M i
+ M 1 + i
2
+ ... + M 1 + i
n–1
+ M 1 + i
n
N
a
= M
k k
k n
k n
M
k 1
1
i 1 i
M i
= =
 Â
Persamaan merupakan rumus untuk nilai akhir rente pranumerando. Jadi, jika M menyatakan modal dan
M i
menyatakan suku bunga majemuk maka nilai akhir rente pranumerando pada
akhir tahun ke-n adalah N
M
a k
k n
M i
+
=
Â
1
Persamaan nilai akhir rente pranumerando merupakan deret geometri dengan suku pertamanya adalah M 1 + i dan rasionya
1 + i. Coba Anda buktikan bersama teman Anda. Persamaan nilai akhir rente pranumerando juga dapat dituliskan dalam
bentuk jumlah deret geometri, yaitu
N M
i
a n
i +
i Ê
Ë ÊÊ
ˆ ¯
ˆˆ 1
n
i +
- Nilai 1 + i
n
dapat dilihat pada tabel lampiran atau dihitung dengan kalkulator. Agar Anda memahami penggunaan
rumus tersebut, pelajarilah contoh berikut.
Setiap awal semester, Rina menabung di sebuah bank sebesar Rp100.000,00. Suku bunga majemuk yang ditetapkan bank tersebut
adalah 6 per tahun. Jika Rina mulai menabung tanggal 1 Januari 2005, berapakah jumlah tabungan pada tanggal 31 Desember 2008?
Jawab :
Diketahui: M = Rp100.000,00 M
1 semester = 6 bulan maka periode bunga adalah 6 bulan. Besar bunga untuk setiap periode adalah
i =
6 2
=3 = 0,03 1 Januari 2005 sampai 31 Desember 2008 sama dengan 3 tahun
3 tahun = 6 semester maka n = 6 Oleh karena penyimpanan dilakukan setiap awal semester maka
simpanan Rina berjenis rente pranumerando.
Contoh Soal 3.9
Sumber: i139.photobucket.com
Gambar 3.5
Kegiatan menabung di bank.
127
Matematika Keuangan
Perhatikan kembali contoh berikut.
Pada tanggal 1 Februari 2008, Heri menyimpan uang di bank sebesar Rp200.000,00. Suku bunga majemuk yang ditetapkan bank sebesar
12 per tahun. Pada bulan-bulan berikutnya, ia menyimpan uang dengan besar sama setiap awal bulan. Tentukan jumlah simpanan
Heri pada akhir tahun 2008.
Jawab
: Diketahui: M = Rp200.000,00
M i
= 12
12 = 1 = 0,01
n = 11 bulan 1 Februari 2008 sampai 31 Desember 2008
sama dengan 11 bulan Oleh karena penyimpanan dilakukan setiap awal bulan maka
penyimpanan uang ini berjenis rente pranumerando. Menggunakan rumus N
a
= M
1 =
Â
k k
n
. Na
= M
1 =
Â
k k
n
= Rp200.000,00 ,
01
1 =
Â
k k
n
= Rp2.336.500,6 Jadi, jumlah simpanan Heri pada akhir tahun 2008 adalah
Rp2.336.500,6.
Contoh Soal 3.10
Ditanyakan: N
a
Penyelesaian: Jumlah tabungan Rina pada tanggal 31 Desember 2008 adalah
N
a
= M
k k
n 1
i 1
=
Â
= Rp100.000,00 1,03 + 1,03
2
+ 1,03
3
+ 1,03
4
+ 1,03
5
+ 1,03
6
= Rp100.000,00 6,662462181 = Rp666.246,22
Dapat juga dihitung menggunakan rumus N
a
= M i
n
1
n
i 1
+ i
1 i Ê
Ë ÊÊÊÊ
ËË ÊÊÊÊ
ˆ ¯
ˆˆˆˆ ¯¯
ˆˆˆˆ ,
yaitu N
a
= Rp100.000,00 0 03
1
6
1 0 03 1 0 03
- Ê
Ë ÊÊÊÊ
ËË ÊÊÊÊ
ˆ ¯
ˆˆˆˆ ¯¯
ˆˆˆˆ ,
= Rp100.000,00 0 03
1 0 03 0 194
, = Rp100.000,00 6,662462181
= Rp666.246,22 Jadi, jumlah tabungan Rina pada tanggal 31 Desember 2008 adalah
Rp666.246,22
128
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi