Perhitungan Nilai Akhir Rente Pranumerando

126 Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi Pada akhir tahun ke-n jumlah uang Bu Ina menjadi Rp1.000.000,00 1,1 n + Rp1.000.000,00 1,1 n –1 + ... + Rp1.000.000,00 1,1. Jika Rp1.000.000,00 diganti dengan M modal, 0,1 diganti M dengan i suku bunga, dan N a menyatakan nilai akhir rente maka diperoleh suatu persamaan sebagai berikut. N a = M 1 + i n + M 1 + i n –1 + ... + M 1 + i N a = M1 + M M i + M 1 + i 2 + ... + M 1 + i n–1 + M 1 + i n N a = M k k k n k n M k 1 1 i 1 i M i = =   Persamaan merupakan rumus untuk nilai akhir rente pranumerando. Jadi, jika M menyatakan modal dan M i menyatakan suku bunga majemuk maka nilai akhir rente pranumerando pada akhir tahun ke-n adalah N M a k k n M i + =  1 Persamaan nilai akhir rente pranumerando merupakan deret geometri dengan suku pertamanya adalah M 1 + i dan rasionya 1 + i. Coba Anda buktikan bersama teman Anda. Persamaan nilai akhir rente pranumerando juga dapat dituliskan dalam bentuk jumlah deret geometri, yaitu N M i a n i + i Ê Ë ÊÊ ˆ ¯ ˆˆ 1 n i + - Nilai 1 + i n dapat dilihat pada tabel lampiran atau dihitung dengan kalkulator. Agar Anda memahami penggunaan rumus tersebut, pelajarilah contoh berikut. Setiap awal semester, Rina menabung di sebuah bank sebesar Rp100.000,00. Suku bunga majemuk yang ditetapkan bank tersebut adalah 6 per tahun. Jika Rina mulai menabung tanggal 1 Januari 2005, berapakah jumlah tabungan pada tanggal 31 Desember 2008? Jawab : Diketahui: M = Rp100.000,00 M 1 semester = 6 bulan maka periode bunga adalah 6 bulan. Besar bunga untuk setiap periode adalah i = 6 2 =3 = 0,03 1 Januari 2005 sampai 31 Desember 2008 sama dengan 3 tahun 3 tahun = 6 semester maka n = 6 Oleh karena penyimpanan dilakukan setiap awal semester maka simpanan Rina berjenis rente pranumerando. Contoh Soal 3.9 Sumber: i139.photobucket.com Gambar 3.5 Kegiatan menabung di bank. 127 Matematika Keuangan Perhatikan kembali contoh berikut. Pada tanggal 1 Februari 2008, Heri menyimpan uang di bank sebesar Rp200.000,00. Suku bunga majemuk yang ditetapkan bank sebesar 12 per tahun. Pada bulan-bulan berikutnya, ia menyimpan uang dengan besar sama setiap awal bulan. Tentukan jumlah simpanan Heri pada akhir tahun 2008. Jawab : Diketahui: M = Rp200.000,00 M i = 12 12 = 1 = 0,01 n = 11 bulan 1 Februari 2008 sampai 31 Desember 2008 sama dengan 11 bulan Oleh karena penyimpanan dilakukan setiap awal bulan maka penyimpanan uang ini berjenis rente pranumerando. Menggunakan rumus N a = M 1 =  k k n . Na = M 1 =  k k n = Rp200.000,00 , 01 1 =  k k n = Rp2.336.500,6 Jadi, jumlah simpanan Heri pada akhir tahun 2008 adalah Rp2.336.500,6. Contoh Soal 3.10 Ditanyakan: N a Penyelesaian: Jumlah tabungan Rina pada tanggal 31 Desember 2008 adalah N a = M k k n 1 i 1 =  = Rp100.000,00 1,03 + 1,03 2 + 1,03 3 + 1,03 4 + 1,03 5 + 1,03 6 = Rp100.000,00 6,662462181 = Rp666.246,22 Dapat juga dihitung menggunakan rumus N a = M i n 1 n i 1 + i 1 i Ê Ë ÊÊÊÊ ËË ÊÊÊÊ ˆ ¯ ˆˆˆˆ ¯¯ ˆˆˆˆ , yaitu N a = Rp100.000,00 0 03 1 6 1 0 03 1 0 03 - Ê Ë ÊÊÊÊ ËË ÊÊÊÊ ˆ ¯ ˆˆˆˆ ¯¯ ˆˆˆˆ , = Rp100.000,00 0 03 1 0 03 0 194 , = Rp100.000,00 6,662462181 = Rp666.246,22 Jadi, jumlah tabungan Rina pada tanggal 31 Desember 2008 adalah Rp666.246,22 128 Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi

b. Perhitungan Nilai Tunai Rente Pranumerando

Sekarang, Anda akan dapat membedakan perhitungan nilai akhir dan nilai tunai pada rente pranumerando. Untuk itu, pelajarilah uraian berikut. Nilai tunai rente pranunerando dirumuskan sebagai berikut. Jika M menyatakan modal dan M i menyatakan suku bunga majemuk maka nilai tunai rente pranumerando pada akhir tahun ke-n dinyatakan oleh rumus berikut. N M t k k n + M i + Ê Ë Á ÊÊ ÁËË ˆ ¯ ˜ ˆˆ ˜¯¯ ˜˜ = -  1 1 1 1 Nilai tunai rente pranumerando pada akhir tahun ke-n dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah deret geometri sebagai berikut. N M i t n i + i + Ê Ë ÊÊ ˆ ¯ ˆˆ - 1 - Agar Anda dapat menggunakan rumus tersebut, pelajarilah contoh berikut. Pak Adi meminjam sejumlah uang di bank. Ia harus mengembalikan pinjaman setiap awal kuartal selama 2 tahun. Besarnya pengembalian setiap awal kuartal adalah Rp500.000,00. Jika suku bunga majemuk yang ditetapkan oleh bank adalah 9 per tahun, tentukan jumlah pinjaman Pak Adi. Jawab : Diketahui: M = Rp500.000,00 M 1 kuartal = 4 bulan maka periode bunga adalah 4 bulan. Besar bunga untuk setiap periode adalah i = 9 3 = 3 = 0,03 2 tahun = 6 kuartal maka n = 6 Oleh karena pengembalian dilakukan setiap awal kuartal maka pengembalian tersebut berjenis rente pranumerando. Ditanyakan: N t N Penyelesaian: Banyaknya pinjaman Pak Adi adalah N t N = M i n 1 i 1 + i 1 + 1 Ê Ë ÊÊÊÊ ËË ÊÊÊÊ ˆ ¯ ˆˆˆˆ ¯¯ ˆˆˆˆ - Contoh Soal 3.11 Pada awal bulan Firdaus menabung di bank sebesar Rp500.000,00. Jika bank memperhitung- kan suku bunga majemuk sebesar 2,5 per bulan dengan bantuan tabel di bawah maka jumlah tabungan Firdaus setelah satu tahun adalah.... Tabel 1 + i n Nilai 25 10 1,2801 11 1,3121 12 1,3449

a. Rp575.250,00 b. Rp624.350,00

c. Rp640.050,00 d. Rp656.050,00

e. Rp672.450,00

Soal UN SMK Bisnis dan Manajemen, 2004 Soal Pilihan 129 Matematika Keuangan Contoh Soal 3.12

c. Rente Kekal Pranumerando

Pada rente kekal pranumerando, nilai akhirnya tidak dapat dihitung karena nilainya tak hingga. Nilai yang dapat dihitung hanya nilai tunainya. Perhatikan rumus nilai tunai rente pranumerando berikut. N M t k k n + M i + Ê Ë Á ÊÊ ÁËË ˆ ¯ ˜ ˆˆ ˜¯¯ ˜˜ = -  1 1 1 1 Pak Iwan membeli motor dengan cara mencicil. Cicilannya sebesar Rp450.000,- per bulan yang dibanyarkan sebanyak 35 kali. Pembayaran cicilan dilakukan setiap awal bulan. Jika suku bunga yang ditetapkan 15 per tahun, tentukan harga tunai motor tersebut. Jawab : Diketahui: M = Rp450.000,00 M i = 12 12 = 1,25 = 0,0125 n = 35 Oleh karena cicilan dilakukan setiap awal bulan maka cicilan motor Pak Iwan berjenis rente pranumerando. Untuk menentukan nilai tunai, Anda harus menggunakan rumus N t N = M 1 1 1 1 + Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ = -  1 + k k n . N t N = M 1 1 1 1 + Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ = -  1 + k k n = Rp450.000,00 1 1 0125 1 34 + Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ =  , 1 0 k k = Rp450.000,00 23,723786 = Rp10.675.703,83 Jadi, harga tunai motor Pak Iwan adalah Rp10.675.703,83. = Rp500.000,00 0 03 1 6 1 0 03 1 0 03 + 1 Ê Ë ÊÊÊÊ ËË ÊÊÊÊ ˆ ¯ ˆˆˆˆ ¯¯ ˆˆˆˆ - , = Rp500.000,00 5,579707187 = Rp2.789.853,59 Jadi, jumlah pinjaman Pak Adi adalah Rp2.789.853,59. Sumber: www.flickr.com Gambar 3.6 Pembelian motor secara kredit merupakan salah satu contoh rente pranumerando.