10
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
Dalam penyusunan tim tersebut tidak ada jabatan, hanya menentukan kombinasi orang-orang yang terlibat dalam tim sehingga
susunan-susunan berikut memiliki arti yang sama. Hasan, Wiro
= Wiro, Hasan
Hasan, Ina = Ina, Hasan Hasan, Rasti = Rasti, Hasan
Ina, Wiro = Wiro,
Ina Ina,
Rasti = Rasti, Ina
Rasti, Wiro = Wiro,
Rasti Susunan tim tersebut dapat dilihat pada tabel berikut.
Anggota Tim
Hasan Wiro
Hasan Ina
Hasan Rasti
Wiro Ina
Wiro Rasti
Ina Rasti
Berdasarkan tabel tersebut, jumlah tim yang kemungkinan terbentuk sebanyak 6 pasang.
2. Permutasi
Setelah Anda mempelajari aturan perkalian, selanjutnya Anda akan mengenal kaidah pencacahan lainnya, yaitu permutasi.
Misalkan terdapat empat angka, yaitu 1, 2, 3, dan 4. Susunan bilangan yang terdiri atas 2 angka tidak sama yang diambil
dari 4 angka tersebut dapat ditentukan dengan diagram pohon berikut.
2 = 1 2 1
3 = 1 3 4 = 1 4
1 = 3 1 3
2 = 3 2 4 = 3 4
1 = 2 1 2
3 = 2 3 4 = 2 4
1 = 4 1 4
2 = 4 2 3 = 4 3
Tugas Siswa 1.1
Coba jelaskan perbedaan mendasar antara perhitungan Contoh Soal 1.4 dan Contoh Soal 1.5. Diskusikan dengan teman sebangku
Anda.
Gambar 1.3
Diagram pohon dari susunan empat angka.
11
Peluang
Berdasarkan diagram pohon tersebut, diperoleh 12 susunan bilangan, yaitu
1 2 1 3
1 4 2 1
2 3 2 4
3 1 3 2
3 4 4 1
4 2 4 3
Dari susunan bilangan-bilangan tersebut terdapat bilangan 1 2 dan 2 1. Kedua bilangan tersebut memiliki unsur yang
sama, yaitu 1 dan 2 tetapi urutannya berbeda. Perbedaan urutan menyebabkan bilangan tersebut berbeda nilai. Jika
Anda menemukan kondisi seperti ini, yaitu urutan unsur mempengaruhi hasil susunan maka Anda dapat menghitung
banyaknya susunan yang terjadi dengan aturan permutasi.
Jadi, permutasi adalah susunan dari semua atau sebagian anggota suatu himpunan yang memperhatikan urutan.
Banyaknya susunan bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda yang diambil dari 4 angka, dapat dihitung menggunakan
permutasi 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia. Notasi yang digunakan adalah P
2
P P
4
. Nilai P
2
P P
4
dihitung dengan cara berikut. P
2
P P
4
4 4
2 =
4 2
= Jadi, banyaknya permutasi 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia
adalah P
2
P P
4
4 4
2 4
3 2 1 2 1
4 3 12
= 4
2 =
= ¥
3 = 4
= .
Perhatikan hasil faktorial beberapa bilangan berikut. 0 = 1
1 = 1 3 = 3 × 2 × 1 = 6
5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 6 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
Berdasarkan uraian tersebut diperoleh n
= n × n – 1 × n – 2 Untuk menghitung banyaknya susunan yang terdiri atas
m unsur setiap susunan terdiri atas unsur berbeda dari n
unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutan unsur dapat digunakan aturan permutasi m unsur dari n unsur yang tersedia
m n. Nilai permutasi m unsur dari n unsur yang tersedia
dinyatakan sebagai berikut.
Notes
• P
2
P P
4
dibaca permutasi dua unsur dari empat
unsur. • 4 dibaca empat
faktorial, yaitu 4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 2 dibaca dua faktorial 2 = 2 × 1 = 2
P n
m
P P
n
= n
m
Notes
P
m n
dibaca Permutasi m unsur dari n unsur.
