130
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
Oleh karena periode rente kekal pranumerando tidak terbatas maka nilai tunai tersebut menjadi N
M
t k
k
+ M
i +
Ê Ë
Á ÊÊ
ÁËË ˆ
¯ ˜
ˆˆ ˜¯¯
˜˜
= •
Â
1 1
1
. Jika diuraikan, akan membentuk deret geometri tak hingga sebagai
berikut. N
M M
M M
t
+ M
i +
+ i
+ i
+ i
+
2 3
i + ...
Suku pertama dari deret tersebut adalah M dengan rasio 1
1 +
. Dengan demikian, nilai tunai rente kekal pranumerando
dinyatakan sebagai berikut. N
M i
t
i +
Agar Anda memahami penggunaan rumus tersebut, pelajarilah contoh berikut.
Contoh Soal 3.13
Sebuah badan usaha diwajibkan untuk membayar Rp100.000,00 per tahun kepada sebuah yayasan. Kewajiban tersebut dimulai
sejak tanggal 1 Januari 2009. Suku bunga majemuk yang dikenakan sebesar 4 per tahun. Jika badan usaha tersebut ingin menyelesaikan
kewajibannya dengan membayar sekaligus pada tanggal 1 Januari 2009, berapakah besar uang yang harus dibayar oleh badan usaha
tersebut?
Jawab
: Diketahui: M = Rp100.000,00
M i
= 4 = 0,04 Kewajiban dibayar pada awal tahun sehingga pembayaran tersebut
berjenis rente pranumerando. Ditanyakan: N
t
N Penyelesaian:
Besar uang yang harus dibayar oleh badan usaha tersebut adalah N
t
N = M
i i
1 +
= Rp100.000,00 0 04
1 0 04 ,
= Rp100.000,00 26 = Rp2.600.000,00
Jadi, uang yang harus dibayar badan usaha kepada yayasan sebesar Rp2.600.000,00.
Sumber: economy.okezone.com
Gambar 3.7
Badan usaha biasanya memiliki dana sosial yang dapat digunakan
untuk membayar kewajibannya pada sebuah yayasan.
131
Matematika Keuangan
3. Rente Postnumerando
Sekarang, Anda dapat membedakan perhitungan nilai akhir dan nilai tunai rente pranumerando serta nilai tunai rente
kekal pranumerando. Apakah perhitungan-perhitungan tersebut serupa dengan perhitungan pada rente postnumerando? Agar
Anda mengetahuinya, pelajarilah uraian berikut.
a. Perhitungan Nilai Akhir Rente Postnumerando
Nilai akhir rente postnumerando dide Ànisikan sebagai
nilai akhir suatu rente di mana angsuran terakhir belum mengalami pembungaan. Untuk memudahkan, gunakan kembali
contoh kasus Bu Ina untuk menentukan nilai akhir dari rente postnumerando.
Misalkan, Bu Ina menyimpan uang setiap akhir tahun. Pada akhir tahun ke-1, jumlah uang Bu Ina Rp1.000.000,00.
Pada awal tahun ke-2, jumlah uang Bu Ina Rp1.000.000,00 1,1.
Pada akhir tahun ke-2, jumlah uang Bu Ina menjadi Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00.
Pada awal tahun ke-3, jumlah uang Bu Ina = Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00 1,1
= Rp1.000.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 Pada akhir tahun ke-3, jumlah uang Bu Ina menjadi
Rp1.000.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00
Pada awal tahun ke-n, jumlah uang Bu Ina Rp1.000.000,00 1,1
n –1
+ Rp1.000.000,00 1,1
n –2
+ ... + Rp1.000.000,00 1,1
Pada akhir tahun ke-n, jumlah uang Bu Ina menjadi Rp1.000.000,00 1,1
n– 1
+ Rp1.000.000,00 1,1
n– 2
+ ... + Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00
Jika Rp1.000.000,00 diganti dengan M modal, 0,1 M
diganti dengan i suku bunga, dan N
a
menyatakan nilai akhir rente postnumerando maka diperoleh suatu persamaan sebagai
berikut. N
a
= M 1 + i
n– 1
+ M 1 + i
n –2
+ ... + M 1 + i + M N
a
= M + M
M 1 + i + ... + M 1 + i
n–2
+ M 1 + i
n– 1
N
a
= M M
k k
n
M i
+
= -
Â
1 1
N
a
= M M
k k
n
+ M i
+
= -
Â
1 1
132
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
N
a
= M
k k
n
1
1 1
i 1
Ê ËËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= -
Â
Persamaan merupakan rumus untuk nilai akhir rente postnumerando. Jika M menyatakan modal dan i menyatakan
suku bunga majemuk, nilai akhir rente postnumerando pada akhir tahun ke-n dinyatakan sebagai berikut.
a k
k n
M i
+ Ê
Ë ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯
= -
Â
1 +
Â
1 1
Persamaan nilai akhir rente postnumerando merupakan suatu deret geometri dengan suku pertamanya adalah M dan
rasionya 1 + i. Persamaan nilai akhir rente postnumerando dapat dituliskan dalam bentuk jumlah dari deret geometri
sebagai berikut.
N M
i
a n
= i
Ê Ë
ˆ ¯
ˆˆ 1
n
i +
- Agar Anda memahami penggunaan rumus tersebut,
pelajarilah contoh berikut.
Contoh Soal 3.14
Doni menabung di bank sebesar Rp200.000,00 setiap akhir bulan. Suku bunga majemuk yang ditetapkan bank tersebut adalah 12 per
tahun. Jika Doni mulai menabung tanggal 31 Januari 2008, berapakah jumlah tabungannya pada tanggal 31 Oktober 2008?
Jawab :
M = Rp200.000,00
Periode bunga = 1 bulan Besar bunga untuk setiap periode adalah
i =
12 12
= 1 = 0,01 Dari 31 Januari 2008 sampai dengan 31 Oktober 2008 sama dengan
10 bulan maka n = 10. Oleh karena penyimpanan dilakukan setiap akhir bulan maka simpanan
Doni berjenis rente postnumerando. Ditanyakan: N
a
Penyelesaian: Jumlah tabungan Doni pada tanggal 31 Oktober 2008 adalah
N
a
= M
i
n
1
n
i 1 i
È ÎÍ
ÈÈ ÎÎ
» ½¼
»» ½½
Pada tiap-tiap bulan, Badu mendapat santu-
nan dari suatu lembaga sebesar Rp150.000,00
secara terus menerus. Oleh karena sesuatu hal,
lembaga tersebut ingin memberikan santunan
tersebut sekaligus pada awal bulan penerimaan
yang pertama. Jumlah santunan yang diterima
Badu jika suku bunga- nya dihitung 2 per
bulan adalah .... a. Rp6.670.000,00
b. Rp6.570.000,00 c. Rp6.750.000,00
d. Rp7.500.000,00 e. Rp7.650.000,00
Jawab:
NT =
M i
= Rp150.000,00 : 0,02 =
Rp7.500.000,00
Jawaban: d
Soal UN SMK Bisnis dan Manajemen, 2004
Solusi Cerdas