124
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
Berdasarkan banyaknya angsuran, rente dibedakan ke dalam dua jenis, di antaranya:
a. rente terbatas, yaitu rente yang banyak angsurannya terbatas, misalnya 5 kali angsuran, 35 kali angsuran, dan
sebagainya. Pada contoh kasus pertama, kredit televisi berjenis rente terbatas. Coba Anda jelaskan alasannya.
b. rente kekal abadi, yaitu rente yang banyak angsurannya tidak terbatas.
Sistem bunga pada rente merupakan sistem bunga majemuk. Perhatikan kembali kedua contoh kasus Pak Sanusi
dan Bu Ina. Pada contoh kasus pertama, harga tunai televisi disebut nilai tunai rente. Nilai tunai rente dide
Ànisikan sebagai jumlah seluruh angsuran.
Kredit televisi terdiri atas bagian angsuran dan bagian bunga. Pada akhir bulan pertama, Pak Sanusi membayar kredit,
yaitu angsuran dan bunga. Pada akhir bulan kedua, Pak Sanusi membayar kredit, yaitu angsuran dan bunga, dan seterusnya
sampai dengan akhir bulan keduabelas, Pak Sanusi membayar kredit, yaitu angsuran dan bunga.
Harga tunai televisi = jumlah semua angsuran televisi
= angsuran akhir bulan pertama + angsuran akhir bulan kedua + … + angsuran akhir
bulan keduabelas Pada contoh kasus kedua, jumlah uang Bu Ina pada akhir
tahun kedua disebut nilai akhir rente. Perhatikan uraian berikut.
Pada awal tahun ke-1, jumlah uang Bu Ina Rp1.000.000,00. Pada akhir tahun ke-1, jumlah uang Bu Ina menjadi
Rp1.000.000,00 + 10Rp1.000.000,00 = Rp1.000.000,00 + Rp100.000,00 = Rp1.100.000,00
Pada awal tahun ke-2, jumlah uang Bu Ina Rp1.100.000,00 + Rp1.000.000,00 = Rp2.100.000,00
Pada akhir tahun ke-2, jumlah uang Bu Ina menjadi Rp2.100.000,00 + 10Rp2.100.000,00 = Rp2.100.000,00 +
Rp210.000,00 = Rp2.310.000,00 nilai akhir rente
Jadi, nilai akhir rente dide Ànisikan sebagai jumlah seluruh
angsuran dan bunganya dihitung pada akhir masa bunga terakhir.
Sampai dengan bahasan ini, Anda baru mempelajari nilai tunai dan nilai akhir rente secara umum. Pada uraian selanjutnya,
Anda akan mempelajari cara menentukan nilai akhir dan nilai tunai dari rente pranumerando dan rente postnumerando serta
nilai tunai dari rente kekal pranumerando dan nilai tunai rente kekal postnumerando.
Gambar 3.4
Pembayaran kredit televisi di sebuah bank merupakan salah satu
contoh rente.
Sumber: pkss.co.id
125
Matematika Keuangan
2. Rente Pranumerando
Pada bagian ini, Anda akan mempelajari perhitungan nilai akhir dan nilai tunai dari rente pranumerando.
a. Perhitungan Nilai Akhir Rente Pranumerando
Nilai akhir rente pranumerando dide Ànisikan sebagai nilai
akhir suatu rente di mana angsuran terakhir telah mengalami pembungaan. Berikut ini akan dijelaskan cara menentukan nilai
akhir rente pranumerando. Perhatikan kembali contoh kasus kedua pada ilustrasi awal subbab ini.
Pada awal tahun ke-1, jumlah uang Bu Ina Rp1.000.000,00. Pada akhir tahun ke-1, jumlah uang Bu Ina menjadi
= Rp1.000.000,00 + 10 Rp1.000.000,00 = Rp1.000.000,00 1 + 10
= Rp1.000.000,00 1 + 0,1 = Rp1.000.000,00 1,1
Pada awal tahun ke-2, jumlah uang Bu Ina Rp1.000.000,001,1 + Rp1.000.000,00.
Pada akhir tahun ke-2, jumlah uang Bu Ina menjadi = Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00
+ 10 Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00 = Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00 1 + 10
= Rp1.000.000,000 1,1 + Rp1.000.000,00 1 + 0,1 = Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00 1,1
= Rp1.000.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 Pada awal tahun ke-3, jumlah uang Bu Ina
Rp1.000.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00.
Pada akhir tahun ke-3, jumlah uang Bu Ina menjadi = Rp1.000.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00 + 10Rp1.100.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00 = Rp1.000.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00 1 + 10
= Rp1.000.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00 1 + 0,1
= Rp1.000.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00 1,1
= Rp1.000.000,00 1,1
3
+ Rp1.000.000,00 1,1
2
+ Rp1.000.000,00 1,1 Pada awal tahun ke-n, jumlah uang Bu Ina
Rp1.000.000,001,1
n –1
+ ... + Rp1.000.000,00 1,1 + Rp1.000.000,00.
126
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XII SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
Pada akhir tahun ke-n jumlah uang Bu Ina menjadi Rp1.000.000,00 1,1
n
+ Rp1.000.000,00 1,1
n –1
+ ... + Rp1.000.000,00 1,1.
Jika Rp1.000.000,00 diganti dengan M modal, 0,1 diganti M
dengan i suku bunga, dan N
a
menyatakan nilai akhir rente maka diperoleh suatu persamaan sebagai berikut.
N
a
= M 1 + i
n
+ M 1 + i
n –1
+ ... + M 1 + i N
a
= M1 + M
M i
+ M 1 + i
2
+ ... + M 1 + i
n–1
+ M 1 + i
n
N
a
= M
k k
k n
k n
M
k 1
1
i 1 i
M i
= =
 Â
Persamaan merupakan rumus untuk nilai akhir rente pranumerando. Jadi, jika M menyatakan modal dan
M i
menyatakan suku bunga majemuk maka nilai akhir rente pranumerando pada
akhir tahun ke-n adalah N
M
a k
k n
M i
+
=
Â
1
Persamaan nilai akhir rente pranumerando merupakan deret geometri dengan suku pertamanya adalah M 1 + i dan rasionya
1 + i. Coba Anda buktikan bersama teman Anda. Persamaan nilai akhir rente pranumerando juga dapat dituliskan dalam
bentuk jumlah deret geometri, yaitu
N M
i
a n
i +
i Ê
Ë ÊÊ
ˆ ¯
ˆˆ 1
n
i +
- Nilai 1 + i
n
dapat dilihat pada tabel lampiran atau dihitung dengan kalkulator. Agar Anda memahami penggunaan
rumus tersebut, pelajarilah contoh berikut.
Setiap awal semester, Rina menabung di sebuah bank sebesar Rp100.000,00. Suku bunga majemuk yang ditetapkan bank tersebut
adalah 6 per tahun. Jika Rina mulai menabung tanggal 1 Januari 2005, berapakah jumlah tabungan pada tanggal 31 Desember 2008?
Jawab :
Diketahui: M = Rp100.000,00 M
1 semester = 6 bulan maka periode bunga adalah 6 bulan. Besar bunga untuk setiap periode adalah
i =
6 2
=3 = 0,03 1 Januari 2005 sampai 31 Desember 2008 sama dengan 3 tahun
3 tahun = 6 semester maka n = 6 Oleh karena penyimpanan dilakukan setiap awal semester maka
simpanan Rina berjenis rente pranumerando.
Contoh Soal 3.9
Sumber: i139.photobucket.com
Gambar 3.5
Kegiatan menabung di bank.
