keinginan berhasil; 2 adanya dorongan dan kebutuhan dalam belajar; 3 adanya harapan dan cita-cita masa depan; 4 adanya penghargaan dalam
belajar; 5 adanya kegiatan yang menarik dalam belajar; 6 adanya lingkungan belajar yang kondusif, sehingga memungkinkan seseorang
siswa dapat belajar dengan baik.
F. Materi Pembelajaran
1. Bilangan Bulat
Bilangan-bilangan : disebut bilangan bulat negatif.
Bilangan-bilangan yang lebih besar dari nol yaitu disebut
bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat negatif, nol, dan himpunan bilangan positif membentuk himpunan bilangan bulat. Nol
0 adalah bilangan yang tidak positif dan tidak negatif Cholik, 2005 : 2.
2. Operasi Hitung Perkalian, Pembagian, dan Campuran Pada
Bilangan Bulat
Definisi perkalian : Jika
bilangan asli dan bilangan bulat, maka hasil kali
sebanyak suku
Menghitung perkalian bilangan bulat : Dapat ditunjukkan bahwa hasil kali dua buah bilangan bulat yang
sama tanda akan menghasilkan bilangan bulat positif dan hasil kali dua buah bilangan bulat yang berbeda tanda akan menghasilkan
bilangan bulat negatif dengan mengamati pola berikut :
berkurang 1 berkurang 3
berkurang 1 berkurang 3
berkurang 1 berkurang 3
berkurang 1 berkurang 3
berkurang 1 berkurang 3
berkurang 1 berkurang 3
berkurang 1 berkurang 3
berkurang 1 berkurang 3
berkurang 1 bertambah 1
berkurang 1 bertambah 1
berkurang 1 bertambah 1
berkurang 1 bertambah 1
berkurang 1 bertambah 2
berkurang 1 bertambah 2
berkurang 1 bertambah 2
berkurang 1 bertambah 2
Dari contoh-contoh di atas diperoleh kesimpulan : a.
Bilangan bulat positif dikalikan dengan bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat positif.
b. Bilangan bulat positif dikalikan dengan bilangan bulat negatif hasilnya
bilangan bulat negatif. c.
Bilangan bulat negatif dikalikan dengan bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat negatif.
d. Bilangan bulat negatif dikalikan dengan bilangan bulat negatif
hasilnya bilangan bulat positif.
Sifat-sifat pada perkalian bilangan bulat adalah : 1.
Sifat tertutup Untuk sembarang bilangan bulat
dan , selalu merupakan bilangan bulat.
Contoh : , adalah bilangan bulat
, adalah bilangan bulat
2. Sifat komutatif
Untuk sembarang dua buah bilangan bulat dan , .
Oleh sebab itu, perkalian bilangan bulat mempunyai sifat komutatif. Contoh :
3.
Sifat asosiatif
Untuk sembarang tiga bilangan bulat dan ,
oleh sebab itu, perkalian bilangan bulat mempunyai sifat asosiatif.
Contoh : [ ]
[ ]
4. Sifat distributif
a. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk sembarang tiga bilangan bulat, dan , diperoleh
. Contoh :
[ ] dan [ ]
Jadi, [ ] [ ].
b. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
Untuk sembarang tiga bilangan bulat, dan , diperoleh
.
[ ] dan [ ]
Jadi, [ ] [ ].
5. Elemen identitas untuk perkalian
Untuk sembarang bilangan bulat , maka dan .
1 disebut dengan elemen identitas untuk perkalian. Contoh :
Perkalian suatu bilangan bulat dengan menghasilkan lawan dari
bilangan tersebut.
b. Operasi Hitung Pembagian dan Sifat-sifat Pembagian Bilangan Bulat
Konsep Pembagian : 1
2
Definisi pembagian : Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian.
, dengan
Operasi kebalikan ini disebut juga invers perkalian.
Pembagian dengan nol : 1.
Untuk sembarang bilangan bulat , maka tidak didefinisikan.
Contoh : berapakah hasil dari ?
Misal , maka
Ternyata tidak ada satu pun pengganti yang memenuhi
sehingga menjadi kalimat yang benar. 2.
Untuk sembarang bilangan bulat dengan , maka
Contoh : berapakah hasil dari ?
Misal , maka
Ternyata pengganti yang memenuhi pernyataan di atas adalah ,
karena selalu menghasilkan untuk sembarang bilangan bulat .
Menghitung hasil pembagian bilangan bulat : 1.
Bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif.
Contoh :
Pengganti yang benar adalah 3, sebab .
Jadi, 2.
Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat negatif.
Contoh :
Pengganti yang benar adalah , sebab .
Jadi, 3.
Bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat negatif.
Contoh :
Pengganti yang benar adalah , sebab .
Jadi,
4. Bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat negatif
menghasilkan bilangan bulat positif. Contoh :
Pengganti yang benar adalah , sebab .
Jadi,
Sifat-sifat Pembagian pada Bilangan Bulat : a.
Bilangan bulat tidak bersifat tertutup terhadap pembagian, yaitu, hasil bagi dua bilagan bulat tidak selalu bilangan bulat.
Contoh : bilangan bulat, tetapi bukan bilangan bulat.
b. Pembagian bilangan bulat tidak bersifat komutatif.
Contoh : tetapi
c. Pembagian bilangan bulat tidak bersifat asosiatif.
Contoh :
Jadi, d.
Membagi suatu bilangan bulat dengan menghasilkan
bilangan itu sendiri.
Untuk sembarang bilangan bulat ,
Contoh :
e. Membagi suatu bilangan dengan 0 tidak terdefinisi, akan tetapi
0 dapat dibagi dengan sembarang bilangan dan menghasilkan 0.
Contoh : , tetapi tidak terdefinisi.
c. Operasi Hitung Campuran
Dalam operasi hitung dikenal 3 macam tanda kurung yang sering digunakan untuk perhitungan, yaitu :
1. Tanda kurung kecil atau kurung biasa, yaitu
2. Tanda kurung kurawal, yaitu { }
3. Tanda kurung siku, yaitu [ ]
Ketiga tanda tersebut digunakan untuk menentukan operasi hitung yang perlu didahulukan dalam suatu perhitungan.
Dalam menyelesaikan suatu perhitungan, terdapat dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu :
a. Tanda kurung
b. Tanda operasi hitung
Langkah-langkah yang ditempuh dalam perhitungan yang menggunakan tanda kurung adalah :
1. menghilangkan kurung kecil kurung biasa,
2. menghilangkan kurung kurawal, dan
3. menghilangkan kurung siku
Langkah-langkah yang ditempuh dalam perhitungan yang menggunakan tanda operasi hitung adalah :
1. Operasi penjumlahan dan pengurangan sama kuat, artinya
operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan lebih dahulu. 2.
Operasi perkalian dan pembagian sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan lebih dahulu.
3. Operasi perkalian dan pembagian lebih kuat daripada operasi
penjumlahan dan pengurangan, artinya operasi perkalian dan pembagian dikerjakan
lebih dahulu daripada operasi
penjumlahan dan pengurangan.
G. Kerangka Berpikir
