215
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Diketahui f x
1
= 24 sehingga 6x 6
6
1 2
= 24
2
x
1 2
= 4
2
x
1
= ± 2. Untuk x
1
= 2, diperoleh f f x
1
= 2 . 2
3
= 16. Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis y = –
y 1
24 x
adalah y
– 16 = 24 y
x – 2
x y =
24x – 4
4 32.
Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk x
1
= –2.
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihanmu. 1
. Tentukan persamaan garis singgung kurva- kurva berikut.
a
. f
ff x = x
2
di titik 2,4
b .
f ff x
= 1 – 1
2
2
x di titik 2,–1
c .
f ff x
= x
3
+ 1 di titik –1, 0
d .
f ff x
= x
2
– 3x – 7 di x
x = 4
x
2 .
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f
ff x pada titik yang diketahui
jika gradien garis singgungnya diberikan oleh persamaan berikut.
a
. f
x = 4x – 4 di 1,–2 x
b .
f x
= 2 – 6x 6
6 di 0,0 x
c .
f x
= 3x
2
xx – 2 di –1,1
d
. f
x = 3 – 3x
2
xx di 2,–2
3 .
a .
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x
2 2
2
– 3x yang sejajar x
garis y
= x.
b .
Tentukan persamaan garis singgung kurva y =
y x
2
xx – 4x
4 4 + 5 yang tegak lurus
x y
= –2 y
x 2
2 + 3. x
c
. Tentukan koordinat pada kurva y
= y x
2
xx + 3x – 10 agar
x garis singgung kurva
r di titik itu mempunyai gradien 7.
d .
Tentukan persamaan garis singgung kurva y =
y x –
1
2
x di titik potong kurva
itu dengan sumbu-x - .
4
. Garis y =
y x
+ 1 memotong parabola x
y =
y x
2
xx +
2x 2
2 + 1 di titik x
A dan B. Tentukan persamaan
garis singgung parabola itu di titik A dan B.
5 .
Garis singgung kurva y = 1
4
2
x di titik
2,1 memotong sumbu-x di titik A dan memotong sumbu-y di titik B. Tunjukkan
bahwa koordinat titik A dan B adalah A
1,0 dan B0,–1.
D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Diketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan lintasannya digambarkan sebagai kurva dari fungsi y = f
ff x ,
seperti pada Gambar 8.5. Peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian
bergerak turun dari titik B ke titik C. Dikatakan f disebut f
naik t
dalam daerah D
f
D = {
f
x | a
≤ x ≤ x
b } sebab semakin besar nilai x
menyebabkan nilai fungsi
ff
f semakin bertambah besar. Fungsi
f f
disebut f
turun dalam daerah D
f
D = {
f
x | b
≤ x ≤ x c
} sebab semakin besar nilai x menyebabkan nilai fungsi
ff
x f
semakin kecil. f
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatu fungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsi
f f
disebut f
monoton turun? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.
Gambar 8.5
y
O A
C B
a b
c
Di unduh dari : Bukupaket.com
216
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Deinisi 8.1
Misalkan f terdefinisi pada selang f
I . Kita katakan bahwa:
• f
monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan I
a dan b dalam I, a b mengakibatkan f
ff a f
ff b ;
• f
monoton turun pada f
I jika untuk setiap pasangan bilangan
I a
dan b dalam I, a b menyebabkan f ff a
f ff b
.
Sekarang amati Gambar 8.7. Titik P
1
adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang 0, a, titik P
2
adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang a, b
dan titik P
3
adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang b, c. Apabila Anda membuat garis singgung
di P
1
, P
2
, dan P
3
yang diberi nama g
1
, g
2
, dan g
3
seperti pada Gambar 8.8 maka garis singgung g
1
memiliki gradien positif condong ke kanan, garis singgung g
2
memiliki gradien negatif condong ke kiri, dan garis singgung g
3
memiliki gradien positif condong ke kanan.
Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, mengapa g
1
memiliki gradien positif, g
2
memiliki gradien negatif, dan g
3
memiliki gradien positif. Gradien garis singgung di suatu titik pada grafik dapat
ditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik dan fungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi f
dapat diturunkan pada selang terbuka a, b. •
Jika f x 0 untuk setiap x dalam selang x
a , b maka
fungsi f naik pada selang f
a, b. •
Jika f x 0 untuk setiap x dalam selang x
a , b maka
fungsi f turun pada selang f
a , b.
Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut. 1
. fx = –x
2
pada selang 0,1
2 . fx = 10x – x
2
pada selang 0,10
Jawab
:
1 . fx = –x
2
maka f x = –2x. Misalkan,
p anggota 0, 1 sehingga 0 p 1.
f p = –2p 0 untuk p 0 sehingga fx = x
2
pada selang 0, 1 merupakan fungsi turun.
2
. fx = 10x – x
2
maka f x = 10 – 2x. Misalkan,
p anggota 0, 10 sehingga 0 p 10.
f p = 10 – 2p 0 untuk p 5 dan f p = 10 – 2p 0 untuk
p 5. Dengan demikian, fx = 10x – x
2
pada selang 0, 10 merupakan fungsi naik dan fungsi turun.
Contoh 8.22
Gambar 8.6
Gambar 8.7
Gambar 8.8
y
x
turun
naik
y
x
B C
D P
2
P
3
A O
c b
a P
1
y
x
B C
D P
2
P
3
A O
c b
a P
1
g
2
g
1
g
3
Di unduh dari : Bukupaket.com
217
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Periksa naik atau turunnya fungsi fx = cos x pada selang-selang berikut.
a
. 2
, P
b.
P P ,
3 2
Jawab
: f
x = cos x maka f x = –sin x.
a . fx = cos x pada selang 0
2 ,
P Misalkan,
p adalah anggota 0
2 ,
P sehingga 0 p
P 2
. f
p = –sin p 0 untuk 0 p P
2 sehingga fx = cos x
pada selang 0 2
, P
merupakan fungsi turun.
b . fx = cos x pada selang
P P ,
3 2
. Misalkan,
p anggota
P P ,
3 2
sehingga π p
3 2
π. f
p = –sin p 0 untuk π p
3 2
sehingga fx = cos x pada selang
P P ,
3 2
merupakan fungsi naik.
Contoh 8.23
Tentukan pada interval 0, 2 π di mana tempat fungsi
π f
ff x = cos
x + x
π merupakan fungsi naik atau fungsi turun. π
Jawab
: f
ff x = cos x +
x π, maka
π f
x = –sin x + x
π. π
• Agar fungsi f
ff x = cos x +
x π merupakan fungsi naik maka
π f
x 0 sehingga –sin x + x
π 0. Untuk menyelesaikan π
pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan berikut: –sin x +
x π = 0
π –sin x +
x π = sin 0
π x
+ x
π = 0 ± π
k 2
π, ππ k bilangan bulat
k x
= – x
π – ±
π k 2π Oleh karena x
0, 2 π maka nilai
π x
yang memenuhi adalah x
1
= π sehingga diperoleh
π diagram tanda berikut.
π 2
π Dari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan
–sin x + x
π 0 adalah π
0 x x
π. ππ
Contoh 8.24
Di unduh dari : Bukupaket.com
218
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jadi, f ff x
= cos x + π merupakan fungsi naik pada interval
π 0 x
π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9. • Fungsi f
ff x = cosx +
x π merupakan fungsi turun, jika
π f
x 0 sehingga f x = –sin x +
x π 0.
π Dengan menggunakan diagram tanda, interval yang menghasil-
kan –sinx + π 0 adalah
π π x 2.
x Jadi, f
ff x = cos x +
π merupakan fungsi turun pada interval π
π x 2π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1
. Periksalah, apakah fungsi-fungsi berikut
pada selang [0,1],[–1.1],[–1,0] merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
a
. f
ff x = 3x
2
xx – 12x
2 2 + 9
x
b .
f ff x
= x
2
xx – 16x
6 6 + 12
x
c .
f ff x
= 4 + 10x 0 –
x x
2
xx
d
. f
ff x = 1 + x
3
e .
f ff x
= x
3
– 6x 6
6
2
xx + 9x
9 9 + 1
x
f
.
ff f
ff x = x
3
– 3x
2
xx – 24x
4 4 + 7
x
2 .
Periksalah, apakah fungsi-fungsi f ff x
pada selang [0,
P 2
], [ P
2 ,
π],[ π π,
ππ 3
2 P ], [
3 2
P , 2 π]
π merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
a
. f
ff x = sin x
b .
f ff x
= cosx –
x P
2
c .
f ff x
= sin x +
x P
2
d .
f ff x
= sin x –
x π
π
e
. f
ff x = cos x
+ x
π π
f .
ff f
ff x = cos 2x
2 2
3
. Tunjukkan bahwa untuk setiap x bilangan
x real, fungsi f x
= 1
3
x selalu turun.
4 .
Jika f x merupakan fungsi naik pada suatu
interval I, tunjukkan bahwa II
a .
f ff x
+ c dengan c
c konstanta juga naik;
c
b
. –f
– ff x
merupakan fungsi turun.
5 .
Konsentrasi K K
K t , suatu obat dalam darah
t pasien memenuhi persamaan
K t
t t
t t
0 16 4
4 t
2 tt
4
2
, ,
dengan t menunjukkan waktu dalam jam t
setelah pemberian obat. Tentukan interval di mana konsentrasi obat naik, dan interval di
mana konsentrasi obat turun.
E. Maksimum dan Minimum Fungsi
