105
Lingkaran
m
TP
= y
b x
a
1 1
. Garis g menyinggung lingkaran maka
g TP
dan m
g
· m
MP
= –1 sehingga m
g
= x
a y
b
1 1
Jadi, persamaan garis singgung g adalah y
– y
1
= m
g
x – x
x
1
y – y
1
= x
a y
b
1 1
x – x
x
1
y – y
1
y
1
– b = –x
1
– a x – x
x
1
y
1
y – by – y
1 2
+ y
1
b = –x
–
1
x +
x x
1 2
+ ax – x
ax
1
y
1
y – by + y
1
b + x
1
x –
x ax
+ x
ax
1
= x
1 2
+ y
1 2
.... 1 Titik Px
1
, y
1
terletak pada lingkaran L sehingga diperoleh
x
1 2
+ y
1 2
+ Ax
1
+ By
1
+ C = 0 C
x
1 2
+ y
1 2
= – Ax
1
+ By
1
+ C .... 2
Substitusikan 2 pada 1, diperoleh y
1
y – by + y
1
b + x
1
x –
x ax
+ x
ax
1
= –Ax
1
+ By
1
+ C .... 3 Dari uraian sebelumnya, diperoleh –
1 2
A = a,–
1 2
B = b .... 4
b Substitusikan 4 pada 3 sehingga persamaan 3
menjadi y
1
y +
y 1
2 B
y –
y 1
2 B
y
1
+ x
1
x +
x 1
2 A
x –
x 1
2 A
x
1
= –Ax –
1
– By
1
– C y
1
y +
1 2
B y
+ 1
2 B
y
1
+ x
1
x +
x 1
2 A x +
x 1
2 A x
1
+ C = 0 C
x
1
x + y
1
y +
1 2
A x + x
1
+ 1
2 B
y + y
1
+ C = 0 Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik Px
1
, y
1
dan terletak pada lingkaran L: x
2
+ y
2
+ Ax + x
By + C = 0
C adalah
xx
1
+ yy
1
+
1 2
A x + x
x
1
+
1 2
B y
+ y
1
+ C = 0
Gambar 4.8
Px
1
, y
1
y y
1
–b Ta, b
x
1
–a x
yy g
1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x
2
+ y
2
= 25 di titik 4, –3.
2.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x
+ 2 x
2
+ y – 1
2
= 25 di titik –6, 4.
Contoh 4.6
Di unduh dari : Bukupaket.com
106
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Mari, Cari Tahu
Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 orang. Gradien suatu garis lurus biasanya dilambangkan dengan m. Cari informasi di buku
lain atau internet, mengapa huruf m yang digunakan? Selidiki pula adakah huruf lain yang digunakan? Tuliskan laporannya dan
presentasikan hasil tersebut di depan kelas.
2. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
Diketahui titik Px
1
, y
1
berada di luar lingkaran L
: x
2
+ y
2
= r
2
… 1 Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui
P x
1
, y
1
adalah g
: y = y
1
+ mx – x
1
…2. Jika g menyinggung L di titik Q, Anda dapat
menyubstitusikan persamaan 2 ke persamaan 1 sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x. Selanjutnya, Anda cari
diskriminan D persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena g
menyinggung L maka D = 0 sehingga nilai-nilai m dapat diperoleh. Apabila nilai m diketahui, Anda dapat menentukan
persamaan garis singgung g dengan cara menyubstitusikan m ke persamaan garis g tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajari
contoh berikut.
Jawab: 1.
Titik 4, –3 terletak pada lingkaran sebab 4
2
+ –3
2
= 25. Persamaan garis singgung g: x
1
x +
x y
1
y = r
2
dengan x
1
= 4 dan y
1
= –3 adalah 4x 4 – 3
x y
= 25.
2.
Titik –6, 4 terletak pada lingkaran karena –6 + 2
2
+ 4 – 1
2
= 25. Diketahui a = –2 dan b = 1 maka persamaan garis singgung
x
1
– ax – x
a + y
1
– by – b = r
2
x
1
+ 2 x + 2 + x
y
1
– 1 y – 1 = 25 Untuk x
1
= –6 dan y
1
= 4 diperoleh –6 + 2 x + 2 + 4 – 1
x y
– 1 = 25 –4 x + 2 + 3
x y
– 1 = 25 –4x – 8 + 3
x y
– 3 = 25 –4x + 3
x y
= 14
Di unduh dari : Bukupaket.com
107
Lingkaran
1. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x
2
+ y
2
= 25 yang dapat ditarik dari titik 7, –1.
2. Tentukan koordinat-koordinat titik singgung.
