78
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Rumus untuk cos – dapat diturunkan dari rumus cos + , yaitu
cos – = cos + – –
= cos cos– – – sin sin–
– = cos cos + sin sin
cos
Ơ – ơ
= cos Ơ cos ơ + sin
ơ Ơ sin ơ
1 . Hitunglah cos 75°.
2 . Buktikan
cos cos
tan A
B cos
A B
tan A B
1 .
Jawab :
1 . cos 75° = cos 45° + 30° = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°
= 1
2 2
1 2
3 1
2 2
1 2
2 =
1 4
6 1
4 2
1 4
2 2
3 1
2 .
cos cos
cos sin
cos A
B cos
A B
cos A
B sin
A B
cos A B
co cc s
cos sin
cos tan ta
A B
cos A
B cos
A B
sin A
B cos
A 1
n tan tan
n B
Contoh 3.1
Pembahasan Soal
Diketahui cosA – B = 3
5 dan
cos A . cos B = 7
25 . Tentukan
nilai tan A . tan B
Jawab: cos A – B =
cos A cos B + sin A sin B sin A sin B =
cos A – B – cos A cos B
= 3
5 7
25 =
15 7 25
8 25
tan A tan B = sin
sin cos
cos A
B A
B =
8 25
7 25
8 7
Ebtanas 1998
2. Rumus untuk sin Ơ ± ơ
Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin
dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua
sudut komplemen berikut.
cos 90° – Ơ = sin Ơ dan sin 90°– Ơ = cos Ơ
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen, diperoleh
sin + = cos [90° – + ] = cos [90° – – ]
= cos 90° – cos + sin 90° – sin = sin · cos + cos · sin
sehingga
sin Ơ + ơ = sin Ơ cos ơ + cos
ơ Ơ sin ơ
Rumus sin – dapat diperoleh dari rumus sin + , yaitu
sin – = sin + – –
= sin cos – – + cos sin –
– = sin · cos – cos · sin
Di unduh dari : Bukupaket.com
79
Trigonometri
Jadi,
sin Ơ – ơ = sin Ơ cos ơ – cos
ơ Ơ sin ơ
Sekarang, coba jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri rumus-rumus yang diberi kotak.
1 . Hitunglah sin 15°.
2 . Hitunglah
si c
n os
cos 1
4 1
4 1
4 P Q
P Q P
P Q
Q 1
4
.
Jawab :
1 . sin 15° = sin 45°–30° = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°
= 1
2 2
1 2
3 1
2 2
1 2
2 =
1 4
6 1
4 2
1 4
2 6
2
2 . Soal tersebut bentuknya sama dengan rumus
sin cos + cos sin = sin + dengan
A Q
B P Q
P P
1 4
1 4
. Akibatnya,
si c
n os
cos 1
4 1
4 1
4 P Q
P Q P
P Q
Q 1
4
=
si c
n os
cos 1
4 1
4 1
4 P Q
P Q P
P Q
Q 1
4
= sin 1
2 1
P Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.
Contoh 3.2
3. Rumus untuk tan Ơ ± ơ
Anda telah mempelajari bahwa
tan sin
cos
A A
A
Kemudian, Anda juga telah mempelajari bahwa
cos Ơ + ơ = cos Ơ cos ơ – sin
ơ Ơ sin ơ
dan
sin Ơ + ơ = sin Ơ cos ơ + cos Ơ sin ơ
1. Jelaskan mengapa
rumus tant – t
= tan
t A
B tan
A B
tan tan
A 1
tidak bisa digunakan untuk menunjukkan
tan P
Q Q
cot 2
.
2. Perhatikan uraian berikut.
tan tan
tan t
q p
q tan
q tan
+ Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ =
p p
= 2
1 tan q
tan -
p an
aa tan
tan tan
tan tan
q q
q q
1
0 1 1
2 +
2 -
= -
= --
= - tan
cot q
q Jelaskan alasan setiap
langkah pada uraian tersebut.
Tantangan untuk Anda
Anda
Di unduh dari : Bukupaket.com
80
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sekarang, pelajari uraian berikut.
tan sin
cos sin
cos A
B cos
A B
sin A B
A B A B
co cc s
sin A
B cos
A B
sin
=
sin cos
cos sin
cos cos A
B cos
A B
sin A
B cos
A B
sin A
1 BB
A B
1 cos
A
=
sin cos
cos cos
sin c
A B
cos A
B sin
A B
cos A
B cos
A B
sin os
o o
sin cos
cos cos
c A
B cos
A B
cos A
B cos
A B
sin A
B cos
os o
o cos
sin cos
A B
cos A
B cos
A B
sin A
B cos
=
sin cos
sin cos
sin cos
sin cos
tan t
A A
B B
A A
B B
A 1
an aa
tan B
A B
tan 1
tan Jadi,
tan tan
1 tan
A B
+ tan A
B tan
A B tan
A
Rumus tan –
diperoleh dari rumus tan +
, sebagai berikut:
tan tan
tan tan
A A
A B tan
A A
B tan
B tan
tan 1
A B
A B
BB A
tan A
A 1
Jadi,
tan =
tan 1
t A
B tan
A B
tan A B
tanA
1 .
Jika tan 5° = p, tentukan tan 50°.
2 .
Dalam segitiga lancip ABC, diketahui sin C 2
13 . Jika tan
A tan B = 13 maka tentukan tan A + tan B.
Jawab
:
1
. tan 50° = tan 45° + 5° =
tan tan
tan 45
5 1
4 tan 5
5 tan
o o
tan 5
o o
5 tan
= 1
1 1 1
1 1
p p
p p
Contoh 3.3
Jelaskan makna dari π jika
dikatakan cos P 2
= 0 dan
π = 3,14
Tantangan untuk Anda
Anda
Di unduh dari : Bukupaket.com
81
Trigonometri
2 .
Langkah ke-1 Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari
soal tersebut. Diketahui: •
sin C 2
13 •
tan A tan B = 13 •
ΔABC lancip. C
Ditanyakan: Nilai tan A + tan B. Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep
sudut dalam suatu segitiga dan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut.
Langkah ke-3 Menentukan nilai tan A + tan B dengan strategi yang telah
diketahui. Sudut-sudut dalam ΔABC berjumlah 180° sehingga
C A
+ B + C = 180°. C
A + B + C = 180°
C C
= 180° – C
A + B
sin i
C sin A
B 2
13 Karena
ΔABC lancip maka C
A + B terletak di kuadran II.
sin A + B = y
r 2
13 sehingga y = 2 dan r =
13 x
= x
r y
2 2
13 4
3 tan A + B =
y x
2 3
2 3
tan A + B = tan + tan
1 – tan tan A
B + tan
A B
tan 2
3 1 13
tan ta
A B
+ tan tan A + tan B =
2 3
8 12
Kuadran II r
B A + B
yy + +
x – –
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1
. Jika cos 5° = p, sin 5° = q, dan tan 5° = r,
tentukan nilai dari a
. cos 25°
d
. sin 95°
b .
cos 80° e
. tan 55°
c .
sin 40° f
. tan 10°
2 .
Tentukan nilai dari a
. cos 80° cos 55° – sin 80° sin 55°
b
. cos 350° cos 20° + sin 350° sin 20°
c .
sin 250° cos 25° – cos 250° sin 25°
d .
tan tan
85 35
1 8
tan 5 3
tan 5
o o
tan 35
o o
3 tan 5
Di unduh dari : Bukupaket.com
82
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
e .
tan tan
tan tan
390 75
1 390
75
o o
tan 75
o o
tan 75
3 .
Buktikan bahwa a
. cos 60° – b – cos 60° + b = 3 sin b
b .
sin a + 45° + sin a
a – 45° =
a 2
sin a
c .
cos a – cos b
2
+ sin a – sin b
2
= 2 1 – cos a – b
d .
cos a P
2 = sin a
e .
sin a = – sin a
4 .
a .
Jika dan sudut lancip, cos A
4 5
, dan sin
B 5
13 , tentukan cos – .
b
. Jika
di kuadran I, di kuadran III, tan
A 3
4 , dan tan
B 7
24 , tentukan
cos + .
c
. Jika dan di kuadaran II, sin
A 5
13 ,
dan tan B
3 4
, tentukan sin + .
5 .
a .
Jika tan A
1 1
p dan tan
B 1
1 p
, buktikan bahwa tan + = –2p
2
–2
.
b .
Jika sin b cos B – a = sin a cos b – B, buktikan sin a – b = 0.
6 . Sebatang tongkat yang beratnya w di-
pasang engsel pada titik P sehingga tongkat dapat bergerak bebas seperti
gambar berikut. Besar tegangan tali sistem ini adalah T sin
A 1
2 w
. Jika berat tongkat 4 6
newton dan = 75°, berapa newton tegangan tali?
P Q
Q Q
w T
T i
sin α
T cos
α α
α α
α
7 .
Sebuah benda yang massanya m didorong ke atas pada sebuah bidang miring yang
kasar seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Usaha W oleh gaya berat saat
W W
benda didorong sejauh e
S diru
S muskan oleh
W =
W mgs
cos 90° + . Dalam hal ini g adalah percepatan gravitasi bumi yang
besarnya 10 ms
2
.
a .
Tunjukkan bahwa W = – W
mgs sin .
b .
Jika diketahui massa benda 4 kg, = 45°, dan benda terdorong sejauh
6 meter, berapa newton usaha oleh
gaya berat itu?
N F
f S
α 90
o
+ α
S f
B. Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda
