202
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Menentukan Turunan Fungsi
Proses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsung yang menggunakan definisi turunan, yaitu dengan menyusun
hasil bagi selisih
f f
x x
xxx x
xx
dan menghitung limitnya, memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlu
mengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkan Anda untuk memperpendek proses yang berkepanjangan itu.
n Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.
1. Menentukan Turunan Fungsi f ff x
= x
ax
n
x x
Misalkan, fungsi f ff x
= ax
n
dengan n = 1, 2, dan 3. Untuk n = 1, diperoleh f
ff x = ax dan turunan fungsi tersebut
x adalah
f f
f x
a
x x
lim lim
xx x
xxx x
xx x
xxx
xx xx
ax a
a x
ax x
ax x
a x x
x
x
x
xx a xx
xxx xx
xx
xx
lim l
ax x
ax a xx
im
x
xx
xx
= a ....1
Untuk n = 2, diperoleh n
f h x
= x
ax
2
xx dan turunan fungsi tersebut
adalah f
x =
lim
x
f f
x
=
lim
x
a ax
a x
2 2
=
lim
x
ax x
x ax
a a
x
2 2
2
=
lim
x
ax x
2
= 2ax Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsi
f ff x
= ax
3
, f ff x
= ax
4
dan f ff x
= ax
5
. Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsi
berikut. f
ff x = ax
6
xx , f ‘x
= 6ax
5
xx f
ff x = ax
15
, f ‘x = 15ax
14
f ff x
= ax
n
xx , f ‘x
= nax
n
xx
– 1
Di unduh dari : Bukupaket.com
203
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut
dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.
Misalkan, f ff x
= x
ax
n
x x , dengan n bilangan asli maka
n f x
= x
nax
n
x x
– 1 n
.
Untuk n = 0, f ff x
= ax
n
menjadi f ff x
= ax = a. Fungsi
f ff x
= a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa pun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a. Turunan fungsi
konstan adalah
f f
f x x
a a
x
x x
lim lim
lim x
x xxx
f xx xx
xx
xx xx
x x
x
x
lim
sehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagai berikut.
Misalkan, f ff x
x = ax
n
x x dengan n bilangan bulat maka f
a x x = anx
n
x x
–1 n
n
untuk f ff x
= a, f x = 0 dengan a sebarang bilangan real.
Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini. a
. f
ff x = x
4
b .
f ff x
= –8x
3
Jawab
:
a .
f ff x
= x
4
maka f x = 4x
4–1
= 4x
3
b .
f ff x
= –8x
3
maka f x = –83x
3–1
= –24x
2
Contoh 8.8
Tentukan df
dx untuk fungsi-fungsi berikut.
a .
f x
x 1
2
4
b .
g x
x 1
3
8
Jawab :
a .
df dx
f x
x x
1 2
2 x
4 1 5
b .
g x
x dg
dx g
x x
x 1
3 1
3 1
3
8 8
8
dg g
8
g 1
maka
1 1
8 3
9
x
Contoh 8.9
Rumus ini juga berlaku untuk n = –1
f a
x f
a x
x x
2
Tunjukkanlah dengan cara limit.
Tantangan untuk Anda
Anda
Di unduh dari : Bukupaket.com
204
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Menentukan Turunan Fungsi f ff x
Kategori