107
Lingkaran
1. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x
2
+ y
2
= 25 yang dapat ditarik dari titik 7, –1.
2. Tentukan koordinat-koordinat titik singgung.
3. Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik-titik
singgung.
Jawab: 1.
Titik P 7, –1 terletak di luar lingkaran. Coba Anda buktikan hal ini.
Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui 7, –1 dengan gradien m adalah
y
+ 1 = mx – 7 x
y = mx – 7
x m
– 1 ... 1 Substitusi 1 ke persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= 25, diperoleh
x
2
+ mx – 7 x
m – 1
2
= 25 x
² + m²x ² ² – 14m²x
² – 2 x
mx + 49
x m
² + 14m + 1 = 25 1 + m²x² – 14m² + 2mx + 49
x m
² + 14m – 24 = 0 Nilai diskriminan, yaitu
D = 14m² + 2m² – 4 1 + m² 49m² + 14m – 24
D = 196m
4
+ 56m
3
+ 4m² – 100m² – 56m + 96 – 196 m
m
4
– 56m
3
D = –96m
2
– 56m + 96 Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0 sehingga
–96m
2
– 56m + 96 = 0 atau 12m
2
+ 7m – 12 = 0 m
= 7
25 24
3 4
atau m = 7
25 24
4 3
• Untuk m = 3
4 substitusikan pada persamaan 1 diperoleh
persamaan garis singgung: y = 3
4 x
– 7. x
3 4
–1 = 3
4 25
4 x
atau 4y – 3x + 25 = 0. x
• Untuk m = –
4 3
substitusikan pada persamaan 1 diperoleh persamaan garis singgung:
y = –
y 4
3 x
+ 7. x
4 3
– 1 = 4
3 25
3 atau 3y + 4
y x
4 4 – 25 = 0.
x Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
= 25 di titik 7, –1 adalah
l : 4y – 3x + 25 = 0 dan
x g
: 3y + 4x – 25 = 0. x
2.
Misalkan, titik A adalah titik singgung garis l: 4y – 3x + 25 = 0 x
dengan lingkaran.
Contoh 4.7
embahasan Pe
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe P
P Soal
Persamaan garis singgung melalui titik 9, 0 pada
lingkaran x2 + xx
y2 = 36 adalah yy
.... Jawab:
Misalkan, persamaan garis singgung
y – 0 =
y mx – 9
x y =
y mx – 9
x m
maka x2 +
xx mx – 92 = 36
x x2 +
xx m2x
2 2 – 18 xx
mx + 81 = 36 x
1 + m2x2 – 18 xx
mx + 45 = 0 x
syarat menyinggung: 18m2 – 41 + m245 = 0
324m2 – 180m2 – 180 = 0 144m2 = 180
m2 = 5
4 m =±
1 2
5 y =
y 5
2 x – 9
5 2
9 5 x
y 2
y = 5 2
x – 9 5
2 9 5
x y
2
Soal Ebtanas 1998
Di unduh dari : Bukupaket.com
108
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
l : 4y – 3x + 25 = 0
x atau l: y =
3 4
25 4
x .
Substitusi garis l ke persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= 25 diperoleh
x
2
+ 3
4 25
3 x
= 25 x
2
+ 9
16 75
8 625
16
2
x x
= 25 25
16 75
8 625
16
2
x x
= 25 25x
2
– 150x + 225 = 0 x
x
2
– 6x + 9 = 0 x
x – 3 x
2
= 0 x
= 3. x
Coba Anda substitusikan x = 3 pada persamaan x
garis singgung y
= 3
4 25
4 x
Apakah Anda memperoleh titik singgung A 3, –4? Misalkan, titik B adalah titik singgung garis g: 3y + 4x
4 – 25 = 0 x
dengan lingkaran g
: 3y + 4x – 25 = 0 atau x
g : y =
4 3
25 3
. Substitusi garis g ke persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= 25 diperoleh
x
2
+ 4
3 25
3 = 25
x
2
+ 16
9 200
9 625
9
2
x x
= 25 25
9 200
9 625
9
2
x x
= 25 25x
2
– 200x + 400 = 0 x
x
2
– 8x + 16 = 0 x
x – 4 x
2
= 0 x
= 4 x
Coba Anda substitusikan x = 4 pada persamaan garis singgung
y =
4 3
25 3
Apakah Anda memperoleh titik singgung B4, 3? Jadi, koordinat titik singgung adalah A–3, 4 dan B4, 3.
3.
Persamaan garis yang melalui titik A–3, 4 dan B4, 3 diperoleh dengan menggunakan rumus persamaan garis
y y
y y
x x
x x
1 2
1
y
1 2
1
x sehingga
y x
1 1
yy
2 1
4 3
4 3
4 3
7y – 28 = –x – 3 x
x + 7
x y
= 25 Persamaan garis yang menghubungkan titik singgung A dan
B adalah x +
x 7y = 25.
1. Tunjukkan bahwa per-
Kategori