206
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
4. Turunan Fungsi y = y
c . u
Diketahui, fungsi y = f ff x
dengan f ff x
= c . ux, dalam hal ini c konstanta dan ux fungsi yang dapat diturunkan di
x =
x a
untuk a bilangan real sehingga
f f
f x
c x
x x
lim lim
a a
a xxx
a xx
a u
xx
xx xx
c u x
c u
u x
cu
x
lim cu
Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y
= f ff a
= c . ua berlaku f a = c . ua. Akibatnya, dari y
= cu berlaku y = c . u.
embahasan Pe
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
Pe P
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe P
P Soal
Diketahui f
ff x = 3
x x
2
xx – 5x + 2 x
gx =
x x
2
xx + 3x – 3 x
Jika hx =
x f
ff x – 2
x gx
maka x
h’ x
adalah.... x
Jawab: hx
x = f ff x
– 2 x
gx x
= 3x
2
xx – 5x + 2 – x
2 x
2
xx + 3x – 3 x
= x
2
xx – 11x + 8 x
h’x = 2
x x – 11
x
Soal UMPTN 1997
Tentukan turunan fungsi berikut. a
. fx = 3x
2
b
. fx = 8
x
c . fx = 3 cos x
d
. fx = 5
3
x
Jawab :
a
. fx = 3x
2
maka f x = 6x
b
. fx = 8
x = –8x
–1
maka f x = 8x
–2
= 8
2
x
c
. fx = 3 cos x maka f ‘x = –3 sin x
Contoh 8.13
Tentukan turunan fungsi berikut. a
. f
x = x
3
– 3x
2
c
. f
ff x = sin x + cos
x x
b
. f
ff x = 3x +
x 1
x
Jawab :
a
. f
ff x = x
3
– 3x
2
maka f x = 3x
2
– 6x
b
. f
ff x = 3x +
x 1
x = 3x +
x x
–1
x maka f x = 3 – x
–2
x = 3 –
c
. f
x = cos x – sin x
x
Contoh 8.12
Di unduh dari : Bukupaket.com
207
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
5. Turunan Fungsi y = y
uv
Diketahui, fungsi y = f ff x
dengan f ff x
= ux · vx, dengan ux dan vx adalah fungsi yang dapat diturunkan
di x = x
a , untuk a bilangan real. Oleh karena itu
f f
f x
u
x x
x lim
lim a
a a
xxx a
xxx a
xxx
xx x
x x
xx
vvv u
v x
u v
x
a xxx
a a
xx a
xxx a
xxx
xx
lim u
u u
v u
v u
v x
a xxx
a a
xxx a
xxx a
a a
xx lim
x
u vvv
x
x
a u
u a
xxx a
xx u
xx
li v
v x
v u
u
x
a xx
a xxx
a xx
a a
xxx a
xx
lim xx
u v
v u
a a
a a
u v
a a
Oleh karena itu, jika y = f ff x
= ux · vx dengan a bilangan real sebarang berlaku f a = ua · va + va · ua.
Untuk y = u · v, maka y = uv + vu.
embahasan Pe
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe P
P Soal
Turunan dari y = 1 – y
x x
2
2x + 3 x
adalah ....
Jawab: Misalkan, u = 1 – x
x
2
maka u ‘ = 21 – x–1 = –21 –
x x.
x Misalkan, v = 2
v x + 3
x v ‘ = 2
y = y
uv y ‘= u’v +
v uv’
= –21 – x2 x
x 22 + 3 + 1 –
x x
x
2
2 = 21 – x[–2
x x
22 – 3 + 1 – x
x] x
= 21 – x–3 x
x – 2 x
= 21 – x–13 x
x + 2 x
= 2x – 13
x x + 2.
x
Soal UMPTN 1999
Tentukan turunan fungsi berikut. a
. f
ff x = 5x
2
– 1 3x – 2 x
b
. f
ff x = cos x sin
x x
Jawab :
a
. f
ff x = 5x
2
– 1 3x – 2 x
Misalkan, u = 5x
2
xx – 1 maka u = 10x
0 dan v = 3x – 2 maka x
v = 3
sehingga f
x = u x
. v x + v
v x . u x
= 5x
2
xx – 1 . 3 + 3x – 2
x . 10x
= 30x
2
– 20x + 15 x
x
2
– 3 = 45x
2
– 20x – 3 x
b
. f
ff x = sin x cos
x x
Misalkan, u x
u x
x x
si u
n x cos
k dan
v x
v x
x x
cos x
v sin
k sehingga f x= u x . v x + v x . u x
= sin x – sin x
x + cos x . cos x
= cos
2
x – sin
x
2
x = cos
x
2
x – 1 – cos
x
2
x = 2 cos
2
x – 1 = cos 2
x x
2
Contoh 8.14
d
. fx = 5
3
x = 5
5 1
6 5
1 2
3 3
1 6
3 5
6
x x
f x
x maka
= 5
6 1
6 25
3 5
6 5
6
x x
Di unduh dari : Bukupaket.com
208
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan turunan fungsi berikut.
a
. f
ff x = 2 + 3x
2
xx
9
c
. f
ff x = 3
1 2
3 2
1 2
sin c
2
3
2 os x
x .
b
. f
ff x = 5 + 2x
2 2
3
+ 2 1
x
Jawab :
a
. f
ff x = 2 + 3x
2
xx
9
Misalkan, u = 2 + 3x
2
xx maka u’x
= 6x 6
6 sehingga x
f a x
= u
9
f ‘x
= 9u
8
. u’x = 92 + 3x
2
xx
8
. 6x 6
6 = 54 x
x 4
4 2 + 3x
2
xx
8
b .
f ff x
= 5 + 2x 2
2
3
+ 2
1 x
=
3 1
2
5 2
2 1
2 2
f x
= 35 + 2 x
x 2
2 x
2
· 2 +
2
1 2
2
1 2
2 1
x = 65 + 2x
2 2
x
2
+
2
1 2
1 x
c .
f x
x x
sin cos
xx 3 3
1 1
1
2 2
2 2 2
1 2
cos x
9 1
9 9
1 2
2 2
2 2
x x
x x
x sin
c
2
os sin cos
Contoh 8.15
6. Turunan Fungsi y = y
Kategori