99
Lingkaran
1 .
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 2,–1 dengan jari-jari 3 2 .
2
. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T 3,–4
dan menyinggung garis 4x – 3 x
y – 49 = 0.
Jawab: 1
. Persamaan lingkaran standar x – a
2
+ x – b
2
= r
2
. Untuk pusat 2,–1 dengan jari-jari 3 2 , diperoleh
x – 2 x
2
+ y – –1
2
=
2
3 2 x – 2
–
2
+ y + 1
2
= 18 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x –
2 –
2
+ y + 1
2
= 18.
2
. Rumus jarak dari titik T
T x
1
, y
1
ke garis ax + x
by + c = 0
adalah d
= d
ax b
c a
b
1 1
y
2 2
b by
1
by Jarak dari pusat T 3,–4 ke
T garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah jari-
jari lingkaran, yaitu r
= r
4 3 3
49 4
12 12
49 5
2 2
. 3
4 3
12 = 5
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x – 3
2
+ y + 4
2
= 25.
Contoh 4.2
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Anda telah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T
T a , b dengan jari-jari r, yaitu
x – a
2
+ y – b
2
= r
2
. Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh
x
2
– 2ax + x
a
2
+ y
2
– 2by + b
2
= r
2
x
2
+ y
2
– 2ax – 2 x
by + a
2
+ b
2
– r
2
= 0 x
2
+ y
2
+ Ax + x
By + C = 0
C dengan A = –2a; B = –2b; dan C =
C a
2
+ b
2
– r
2
; A, B, dan C
bilangan real. Jadi, C
x
2
x x + y
2
+ Ax + By + C = 0
adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T T
T a , b dengan
jari-jari r, A = –2a, B = –2b, C = C
a
2
+ b
2
– r
2
, A, B, dan C bilangan real.
Di unduh dari : Bukupaket.com
100
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x
2
+ y
2
+ Ax + x
By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan
C langkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kum-
pulkan pada guru Anda. Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam
bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh x
2
+ y
2
+ Ax + x
By + C = 0
C x
2
+ Ax + y
2
+ By = –C x
A A
x A
y By
B B
2 2
2
1 2
1 2
Ax A
A y
2 2
1 2
1 2
A B
C B
B x
A x
B x
2 2
1 2
1 2
2 2
2
1 4
1 4
B A
2
C Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran
1 2
1 2
A B
1 ,
dan jari-jari lingkaran r = r
1 4
1 4
2 2
1 A
2
1 C
2
B .
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x
2
xx + y
2
– 4x 4
4 + 6 x
y 6 – 3 = 0.
y
2.
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x 2
2
+2y
2
– 4x 4 –12
x y
2 = 101.
Jawab: 1.
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x
2
+ y
2
+ Ax + x
By + C = 0
C Dengan demikian, A = –4, B = 6, dan C = –3.
C Pusat M
1 2
1 2
A B
1 ,
= M 2,–3 M
Jari-jari r = r
1 4
1 4
1 4
16 1
4 36
3 16
2 2
1 A
2
1 C
2
B 16
3 .
16 = 4
2. Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, seperti
berikut. 2x
2 2
2
+ 2y 2
2
– 4x 4
4 – 12 x
y 2 – 101 = 0
x
2
+ y
2
– 2x 2
2 – 6 x
y 6 – 101
2 = 0
Dengan demikian, A = –2, B = –6, dan C = – C
101 2
. Pusat M
1 2
1 2
A B
1 ,
= M 1
2 1
2 ,
= 1, 3 Jari-jari r =
r 1
4 4
1 4
36 101
2 1
9 101
2 .4
36 .
1 121
2 11
2 11
2 2
Contoh 4.3
Soal Terbuka
1. Buatlah 3 buah
persamaan lingkaran yang berpusat di 0, 0. Berikan
hasilnya kepada teman Anda untuk dicek dan beri
komentar.
2. Buatlah 3 buah
persamaan lingkaran yang berpusat di a,b. Berikan
hasilnya kepada teman Anda untuk dicek dan beri
komentar.
Tugas
Bersama kelompok belajar Anda, gambarlah pada kertas
graik Anda persamaan lingkaran
x
2
xx + y
2
yy – 2x – 6 x
y 6 –
y
101 2
= 0. Kemudian, hasilnya
kumpulkan pada guru Anda.
Di unduh dari : Bukupaket.com
101
Lingkaran
4. Posisi Titik terhadap Lingkaran
