176
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Limit Fungsi Aljabar
Limit konstanta k untuk k
x mendekati
x a
ada dan nilainya sama dengan k, ditulis lim
x a
k =
k k
. Secara grafik, hal tersebut dapat Anda lihat pada Gambar 7.4. Pandang fungsi f
ff x = k
maka lim
x a
f x = lim
x a
k =
k k
. Limit x untuk x mendekati a pun ada dan nilainya sama dengan a, ditulis lim
x a
x = a.
Untuk mengetahui adanya limit secara mudah, Anda dapat menggunakan teorema berikut.
Teorema Limit Utama Jika f x
dan gx adalah fungsi dan k konstanta maka
1. lim
x a
f x + gx = lim
x a
f x + lim
x a
gx 2. lim
x a
f x – gx = lim
x a
f x – lim
x a
gx 3. lim
x a
f x · gx = lim
x a
f x · lim
x a
gx 4. lim
x a
f x g x
=
lim lim
x a
x a
f x g x
; lim
x a
gx ≠ 0
5. lim
x a
k f x = k lim
x a
f x; k = konstanta k
6. lim
x a
[f [[ x]
n
= lim
x a
n
f x ; dengan n bilangan bulat
positif
a
7. lim
x a
n
f x
=
lim
x a
n
f x
; dengan lim
x a
f x ≥ 0
a. Menentukan Limit dengan Substitusi Langsung
Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut.
a f
ff x = k
x y
Gambar 7.1
Graik fungsi f ff x
= x
k
Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.
1 .
lim
x
x x
x
4
x x
2 .
lim
x
x x
Æ
+ +
3
1 1
Jawab :
1 .
lim
x
x x
x
4
x x
= –4
3
+ 4–4
2
+ –4 – 6 = –10
2
. lim
x
x x
Æ
+ +
3
1 1
= 1
0 1
3
= 1
Contoh 7.4
Di unduh dari : Bukupaket.com
177
Limit
Mari, Cari Tahu
Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 orang. Cari informasi di buku atau internet riwayat orang yang berjasa merumuskan konsep
limit, di antaranya Augustin Louis Cauchy. Tuliskan dan laporkan riwayatnya atau salah satu karyanya yang terkenal. Kemudian,
fotonya dapat Anda tempel di ruang kelas.
embahasan Pe
P e
e e
e e
e e
e e
e e
e Pe
Pe P
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe P
Soal
lim
t
t t
tt
2 3
2
8 6
= ....
Jawab:
lim
t
t t
tt
2 3
2
8 6
= lim
t 2
2
= lim
t
t t
t
2 2
2 4
tt 3
= 12
5
Soal PPI, 1979
b. Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu
Jika dengan cara substitusi langsung pada lim
x a
f x g x
diperoleh bentuk bentuk tak tentu, lakukan pemfaktoran
terlebih dahulu terhadap f x dan gx. Kemudian, sederhanakan ke bentuk paling sederhana. Agar lebih jelas,
perhatikan uraian berikut.
lim
x a
f x g x
= lim
x a
P Q x
= lim
x a
P Q x
= P
Q a a
a Dalam hal ini Pa
≠ 0 dan Qa ≠ 0.
Pertanyaan : Mengapa f x dan gx boleh dibagi oleh
x –
x a
?
Bersama kelompok belajar Anda, lakukan kegiatan menghitung limit bentuk
. Permasalahannya adalah menentukan lim
x
x x
1 2
1 1
. Langkah-langkah yang dapat Anda lakukan adalah sebagai berikut.
Langkah ke-1 Menyubstitusikan x = 1 ke dalam fungsi yang dicari nilai limitnya,
x yaitu
lim
x
x x
1 2
1 1
= ... ...
... ... -
- =
Langkah ke-2 Agar tidak muncul bentuk
, faktorkanlah x
2
– 1, kemudian sederhanakan sebagai berikut.
lim
x
x x
1 2
1 1
= lim ... ...... ...
x Æ
+ -
......
1
= lim
x 1
... + ...
Aktivitas Matematika
Di unduh dari : Bukupaket.com
178
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Langkah ke-3 Setelah fungsi yang dicari limitnya disederhanakan, substitusikan
x = 1 pada limit fungsi yang sederhana itu, sebagai berikut.
lim
x 1
... + ... = ... + ... = ... Jadi, lim
x
x x
1 2
1 1
= ....
Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.
1 .
lim
x
x x
2 2
4 2
3 .
lim
x
x x
x x
2 2
3 3
x
2
2 8
x
2
2 .
lim
x
x x
3
3 3
Jawab :
1
. Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
lim
x
x x
2 2
4 2
= 2
4 2
2
2
= bentuk tak tentu. Agar tidak muncul
bentuk , faktorkanlah
rr x
2
xx – 4 sebagai berikut.
lim
x
x x
2 2
4 2
= lim
x 2
= lim
x 2
x + 2 = 2 + 2 = 4
x
2 .
Dengan cara substitusi langsung, diperoleh lim
x
x x
3
3 3
= 3
3 3
3 =
Agar tidak muncul bentuk , faktorkanlah x + 3 sebagai berikut.
x lim
x
x x
3
3 3
= lim
x
x xx
x
3
3 3
xx 3
= lim
x
x
3
3= 3
3 3 = 0 = 0
3 .
Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakah diperoleh bentuk
. Agar tidak muncul bentuk , faktorkanlah
3x
3
+ 3x dan 2x 2
2
2
xx – 8x sebagai berikut.
lim
x
x x
x x
2 2
3 3
x
2
2 8
x
2
= lim
x
x x
x 3x x
2 x
= 3
2 1
4
2
lim
x
x x
= 3
2 1
4
2
= 3
8
Contoh 7.5
Di unduh dari : Bukupaket.com
179
Limit
c. Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawan
Kategori