82
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
e .
tan tan
tan tan
390 75
1 390
75
o o
tan 75
o o
tan 75
3 .
Buktikan bahwa a
. cos 60° – b – cos 60° + b = 3 sin b
b .
sin a + 45° + sin a
a – 45° =
a 2
sin a
c .
cos a – cos b
2
+ sin a – sin b
2
= 2 1 – cos a – b
d .
cos a P
2 = sin a
e .
sin a = – sin a
4 .
a .
Jika dan sudut lancip, cos A
4 5
, dan sin
B 5
13 , tentukan cos – .
b
. Jika
di kuadran I, di kuadran III, tan
A 3
4 , dan tan
B 7
24 , tentukan
cos + .
c
. Jika dan di kuadaran II, sin
A 5
13 ,
dan tan B
3 4
, tentukan sin + .
5 .
a .
Jika tan A
1 1
p dan tan
B 1
1 p
, buktikan bahwa tan + = –2p
2
–2
.
b .
Jika sin b cos B – a = sin a cos b – B, buktikan sin a – b = 0.
6 . Sebatang tongkat yang beratnya w di-
pasang engsel pada titik P sehingga tongkat dapat bergerak bebas seperti
gambar berikut. Besar tegangan tali sistem ini adalah T sin
A 1
2 w
. Jika berat tongkat 4 6
newton dan = 75°, berapa newton tegangan tali?
P Q
Q Q
w T
T i
sin α
T cos
α α
α α
α
7 .
Sebuah benda yang massanya m didorong ke atas pada sebuah bidang miring yang
kasar seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Usaha W oleh gaya berat saat
W W
benda didorong sejauh e
S diru
S muskan oleh
W =
W mgs
cos 90° + . Dalam hal ini g adalah percepatan gravitasi bumi yang
besarnya 10 ms
2
.
a .
Tunjukkan bahwa W = – W
mgs sin .
b .
Jika diketahui massa benda 4 kg, = 45°, dan benda terdorong sejauh
6 meter, berapa newton usaha oleh
gaya berat itu?
N F
f S
α 90
o
+ α
S f
B. Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda
1. Rumus untuk sin 2 α
Anda telah mengetahui bahwa sin + = sin cos + cos sin .
Untuk = , diperoleh sin + = sin
α cos α + cos α sin α sin 2
α = 2 sin α cos α Jadi,
sin 2 Ơ = 2 sin Ơ cos Ơ
Di unduh dari : Bukupaket.com
83
Trigonometri
2. Rumus untuk cos 2 α
Anda juga telah mempelajari bahwa cos + = cos cos – sin sin .
Untuk = , diperoleh
cos + = cos cos – sin sin cos 2
= cos
2
– sin
2
Jadi,
cos 2
Ơ
= cos
2
Ơ
– sin
2
Ơ
Untuk rumus cos2 dapat juga ditulis cos 2 = cos
2
– sin
2
cos 2 = 1 – sin
2
– sin
2
cos 2 = 1 – 2 sin
2
Jadi,
cos 2
Ơ
= 1 – 2 sin
2
Ơ
Sekarang, coba Anda tunjukkan bahwa
cos 2
Ơ
= 2 cos
2
Ơ
– 1
3. Rumus untuk tan 2 α
Dari rumus tan + =
tan tan
A B
tan A
B tan
tan 1
Untuk = diperoleh tan + =
tan tan
tan tan
A A
tan A
A tan
tan 1
tan 2 =
2 1
2
tan tan
A A
Jadi,
tan 2 Ơ =
2tan 1
tan
2
A A
1
. Jika sin A =
6 10
dengan 0 A 1
2 P, tentukan sin 2A
2 , cos 2A 2 ,
dan tan 2A 2 .
2 .
Buktikan bahwa sin
cos 1
2 1
2 Q
Q
Jawab :
1 .
Amati Gambar 3.3. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
Contoh 3.4
x A
6 10
Gambar 3.3
Di unduh dari : Bukupaket.com
84
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sebuah meriam yang ditembakkan ke atas membentuk sudut Q
terhadap arah horizontal perhatikan Gambar 3.4. Diketahui kecepatan awal peluru meriam v
ms dan jarak R yang ditempuh peluru meriam memenuhi persamaan R =
1 16
2
v sin
o Q
Q cos
.
a .
Tunjukkan bahwa R = 1
32 2
2
v sin
Q.
b .
Carilah sudut Q yang memberikan R maksimum.
Jawab :
a .
Langkah ke-1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari
soal. Diketahui
: •
Kecepatan awal peluru meriam = v
o
ms. •
Jarak yang ditempuh peluru meriam = R. Ditanyakan
: Menunjukkan R =
1 32
2
2
v sin
Q
Contoh 3.5
Gambar 3.4
x 10
6 64
8
2 2
6 •
sin A 6
10 3
5 •
tan A x
6 6
8 3
4 •
cos A x
10 8
10 4
5 sin2A
2 = 2 sin A cos A = 2 3
5 4
5 24
25 cos2A
2 2 = cos
2
A
2
– sin
2
A
2
= 4
5 3
5 16
25 9
25 7
25
2 2
3
tan2A 2 =
2 1
2 3
4 1
3 4
6 4
7 16
6 4
1
2 2
tan tan
A A
6 6
7 27
7
2 .
2 sin
2
= 1 – cos 2 sin
2
= 1
2 2
1 2
2 cos
i cos
A A
Substitusikan A
Q 1
2 ke persamaan tersebut, diperoleh
sin cos
i cos
1 2
1 2
cos 1
2 2
1 2
1 Q
Q Q
Q sin
Q 2
2
Di unduh dari : Bukupaket.com
85
Trigonometri
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1
. a
. Jika sin A =
9 15
dengan 0 A 1
2 P ,
hitunglah sin 2A 2
2 , cos 2A 2
2 , dan tan 2A. 2
2
b
. Jika tan =
2 3 1
3 x
x dan lancip,
hitunglah sin 2 , cos 2 , dan tan 2 .
2 .
Jika cos =
1 5
5 dan
3 2
P 2
π, hitunglah
a
. sin 3
c
. sin 4
b .
cos 3 d
. cos 4
3 .
Jika tan = –a dan P
2 π, tentukan
a .
sin 3 c
. sin 4
b .
cos 3 d
. cos 4
4 .
Percepatan yang dialami silinder pejal yang ditempatkan pada bidang miring
dengan sudut kemiringan dirumuskan sebagai berikut.
a
. a
= g sin jika tidak ada gesekan
antara silinder dan bidang miring.
b .
a =
2 3
g sin
jika silinder meng- gelinding.
Misalkan sudut kemiringannya 22,5°, tentukan percepatan yang dialami silinder
jika a
. tidak ada gesekan
b .
silinder menggelinding Petunjuk: jangan gunakan kalkulator,
gunakan rumus setengah sudut
5 .
Gambar berikut memperlihatkan sebuah titik yang bergerak melingkar beraturan.
y
x P
P P
P P
P R
R R
= A
A A
Q
Simpangan dari getaran titik P dirumuskan oleh y = A sin
2 P
T t .
Dalam hal ini, A
= amplitudo getaran, T
= periode getaran, dan T
t = lamanya titik benda bergetar.
t Langkah ke-2
Menentukan konsep apa yang digunakan untuk menyelesaikan soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rumus
trigonometri untuk sudut ganda. Langkah ke-3
Menunjukkan R = 1
32 2
2
v sin
Q menggunakan strategi yang telah diketahui.
Anda telah mengetahui sin 2 Q = 2sin Q cos Q sehingga
R v
v v
= v
1 16
1 16
2 2
1 32
2 2
2
sin sin
sin q
q cos
q q
cos 2
2 q
.
b .
Untuk kecepatan awal a v
, sudut θ terhadap arah horizontal
mempengaruhi nilai R. Oleh karena fungsi sinus memiliki nilai maksimum 1, R akan maksimum ketika
2 Q = 90°
Q = 45°
Di unduh dari : Bukupaket.com
86
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Jika periode getaran 8 sekon dan benda titik bergetar selama
3 2
sekon, tentukan simpangan dari getaran
a
. titik P
b .
titik Pt Petunjuk: gunakan rumus setengah
sudut .
t
6 . Tulislah rumus sin 4a dan cos 4a.
7
. Nyatakan sin 16a dengan sin 8a dan cos 8a.
8 . Diketahui sin P =
12 20
, dengan 0 P 1
2 P.
Hitunglah sin 2P, cos 2P, dan tan 2P.
9 . Dengan menggunakan rumus setengah
sudut, hitunglah: a
. tan 22,5º
d .
cos 112,5º
b .
tan 165º e
. sin 292,5º
c .
cos 67,5º f
. sin 157,5º
10 . Untuk tan x =
x 2
3 , tan y =
3 4
, hitunglah:
a .
tan 2 x c
. tan 2x
2 + x
y
b .
tan 2 y d
. tan x + 2y
C. Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus
