173
Limit
A. Limit Fungsi
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar kata-kata hampir atau
r mendekati
. Misalnya, Ronaldo hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km
jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit.
1. Pengertian Limit
Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Notasi
lim
x a
f x L
Æ
= dijabarkan sebagai limit fungsi f
ff x pada saat x
mendekati a sama dengan L. Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan
yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan lim
–
x a
f x
Æ
. Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari
sebelah kanan yang dinotasikan lim
x a
f x
Æ
+
. Untuk lebih memahaminya perhatikan uraian berikut.
Misal, diberikan suatu limit fungsi f
ff x =
4 4
4 6
4 x
x x
x 6
, ,
jika jjik
x 6
6 jika
{
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki apakah limit kanan dan limit kirinya sama.
• lim
x
x
Æ
-
4
4 4
x =
1 =
6, karena x 4 •
lim lim
l
x x
x x
lim
Æ Æ
x Æ
+ +
+
4 4
Æ x
+
Æ 4
4 6
x +
4 6
lim x
+ = 16 + 6 = 22
Oleh karena nilai limit kiri dan nilai limit kanan berbeda, limit fungsi tersebut tidak ada.
Selanjutnya, perhatikan bentuk fungsi berikut. lim
x
f x x
x
Æ
= -
-
3 2
9 3
Limit fungsi tersebut, tidak terdefinisi di x = 3 karena daerah asal fungsi f adalah{
f x
| x ≠ 3.
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada
tabel berikut.
Augustin Louis Cauchy 1789–1857
Deinisi yang tepat tentang limit pertama kali
diperkenalkan oleh Cauchy. Cauchy adalah seorang maha-
guru di Ecole Polytechnique, Sarbone, dan College
de France. Sumbangan- sumbangan matematisnya
sangat cemerlang sehingga semua buku ajar moderen
mengikuti penjelasan kalkulus yang terperinci oleh Cauchy.
Sumber: Kalkulus dan Geometri
Analitis Jilid 1, 1987
Tokoh Matematika
Di unduh dari : Bukupaket.com
174
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tabel 7.1 x
2,99 2,999 2,9999 Æ
Æ 3,0001 3,001 3,01
f x x
x x
= -
-
2
9 3
5,99 5,999 5,9999 Æ
Æ 6,0001 6,001 6,01
Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa pada saat x mendekati 3, nilai fungsi fx mendekati 6.
Jadi, lim
x
x x
x x
Æ
- -
= -
= + x
3 2
9 3
3 3
3 3 ; jika x
π 3 Oleh karena x + 3 mendekati 6 jika x mendekati 3
maka x
x
2
9 3
- -
mendekati 6 jika x mendekati 3. Meskipun fungsi f
ff x tidak terdefinisi untuk x = 3, tetapi
fungsi tersebut mendekati nilai 6 pada saat x mendekati 3. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa nilai limit fungsi
tersebut adalah 6. Selanjutnya, perhatikan pula bentuk fungsi berikut.
lim
x
x
Æ
+
3
3 Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki
apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada tabel berikut.
Tabel 7.2 x
2,99 2,999 2,9999 Æ
Æ 3,0001 3,001 3,01
f x x
x = +
x 3 5,99 5,999 5,9999
Æ Æ
6,0001 6,001 6,01
Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa pada saat x mendekati 3, nilai fungsi
x fx
mendekati 6. Jadi,
lim
x
x
Æ
+
3
3 = 6. Dapat disimpulkan bahwa limit lim
x
x
Æ
+
3
3 = 6 dapat diperoleh tanpa menggunakan Tabel 7.2. Ketika x mendekati
x 3, nilai x + 3 akan mendekati 6.
x Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
lim li
x
x x
Æ Æ
x
x -
= lim
3 2
3
9 3
3 6
=
Secara umum, lim
x a
Æ
fx = L mengandung arti bahwa jika x mendekati atau menuju ke a, tetapi berlainan
dengan a maka fx menuju ke L.
Di unduh dari : Bukupaket.com
175
Limit Untuk menghitung
lim
x
x x
x
Æ
+
2
2 , sebaiknya
x x
2
2 2
+ difaktorkan,
lalu disederhanakan, sebelum menyubstitusikan
x = 0 karena jika x
x = 0 x
disubstitusikan secara langsung maka diperoleh
lim
x
x x
Æ
- +
2 2
+ 2
xx 2 0
◊ =
dan ini bentuk tidak tentu.
Ingatlah
Tentukan limit berikut. 1
. lim
x 2
2x 2
2 – 4 x
2 .
lim
x 4
x
2
xx – 5x + 6
x
Jawab :
1 .
lim
x 2
2x 2
2 – 4, artinya jika x
x mendekati 2 maka 2
x x
2 2 – 4 mendekati
x 2 · 2 – 4 = 0. Dengan demikian, lim
x 2
2x 2
2 – 4 = 0. x
2 .
lim
x 4
x
2
xx – 5x + 6, artinya jika
x x
mendekati 4 maka x
x
2
xx – 5x + 6
x akan mendekati 4
2
– 5.4 + 6 = 2. Jadi, lim
x 4
x
2
xx – 5x + 6 = 2.
x
Diketahui f x = x
x x
x x
2
2 5
x +
π Ï
Ì ÔÏÏ
ÌÌ ÓÔ
ÌÌ ÓÓ
Tentukan: a
. nilai fungsi di titik 0
b .
nilai limit di titik 0.
Jawab :
a
. f
0 = 5 ff
b .
lim
x
x x
x
Æ
+
2
2 = 2
Diketahui limit lim
x
x x
Æ
+ -
5 2
25 5
Tentukan nilai limit tersebut.
Jawab :
lim
x
x x
Æ
+ -
5 2
25 5
= lim
x
x
Æ
-
5
5 5
5 = lim
x
x
Æ
+
5
5 = 5 + 5
= 10
Contoh 7.1
Contoh 7.2
Contoh 7.3
Dengan teman sebangku, cari nilai n bilangan asli positif
yang memenuhi lim
x n
n
x x
Æ
- -
2
2 2
.
Tantangan untuk Anda
Anda
Di unduh dari : Bukupaket.com
176
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Limit Fungsi Aljabar
Kategori