208
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan turunan fungsi berikut.
a
. f
ff x = 2 + 3x
2
xx
9
c
. f
ff x = 3
1 2
3 2
1 2
sin c
2
3
2 os x
x .
b
. f
ff x = 5 + 2x
2 2
3
+ 2 1
x
Jawab :
a
. f
ff x = 2 + 3x
2
xx
9
Misalkan, u = 2 + 3x
2
xx maka u’x
= 6x 6
6 sehingga x
f a x
= u
9
f ‘x
= 9u
8
. u’x = 92 + 3x
2
xx
8
. 6x 6
6 = 54 x
x 4
4 2 + 3x
2
xx
8
b .
f ff x
= 5 + 2x 2
2
3
+ 2
1 x
=
3 1
2
5 2
2 1
2 2
f x
= 35 + 2 x
x 2
2 x
2
· 2 +
2
1 2
2
1 2
2 1
x = 65 + 2x
2 2
x
2
+
2
1 2
1 x
c .
f x
x x
sin cos
xx 3 3
1 1
1
2 2
2 2 2
1 2
cos x
9 1
9 9
1 2
2 2
2 2
x x
x x
x sin
c
2
os sin cos
Contoh 8.15
6. Turunan Fungsi y = y
u
n
Diketahui y = f ff u
dengan f ff u
= u
n
dan u = gx. Jika fungsi u = gx dapat diturunkan di x =
x a,
untuk a bilangan real maka
g a =
lim
x
g g
x
Oleh karena a bilangan real sebarang maka g
x =
lim
x
g g
x
g x =
lim
x
u x
Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperoleh f
u =
lim
u
y u
? Untuk
Δx ΔΔ mendekati nol maka Δ
x u
mendekati nol sehingga u
f y
u g
u x
u x
u
u
lim lim
lim u
yy x
xx
u u
u
g
x
u
xx
dan y
u u
x f
g y
u
x u
lim g
lim u
u x
f g
y x
f g
y x
u
xx u
x yy
xx u
x
u
g u
lim g
u f
u u
f ff u
= u
n
, f u = nu
n – 1
sehingga yx = nu
n – 1
u x.
Untuk y = u
n
maka y = nu
n – 1
u x.
Di unduh dari : Bukupaket.com
209
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
7. Aturan Rantai
Perhatikan kembali uraian materi tentang fungsi y = u
n
. Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk y = f ff u
= u
n
dengan u = gx maka turunannya y = nu
n– 1
u x. Hasil
tersebut menggambarkan aturan rantai.
Misalkan, y = f ff u dan u = gx.
f
o
gx = f{ ff g
{ x} = f ff u = y
Jika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi y =
f{ ff g
{ x} = f
o
gx ditentukan sebagai berikut. f
o
gx = f g x . gx
atau dy
dx dy
du du
dx
.
Tentukan turunan fungsi y = x
3
6
.
Jawab :
Misalkan, u = x 3
maka y = u
6
. du
dx x
x dy
du u
dy dx
dy du
du dx
u 1
2 1
2 6
6 1
2
1 2
5
5
xx x
x x
x 6
3 1
2 3
3
5 5
Contoh 8.16
8. Turunan Fungsi y = y
u v
Diketahui, fungsi y = f ff x
dengan f ff x
=
u v
x x
, dalam hal ini ux dan vx fungsi yang dapat diturunkan di x =
x a
untuk a
bilangan real maka
Di unduh dari : Bukupaket.com
210
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan turunan fungsi berikut. a
. f
ff x = cosec xx
b .
f ff x
= tan x
Jawab
:
a
. f
ff x = cosec x =
x 1
sin x Misalkan u = 1 maka u = 0 dan v = sin x maka v = cos x.
f ff x
= u
v x
x sehingga f x =
u v uv
v v
uv
2
=
1 1
2 2
i 1
cos sin
cos sin
x 1
x x
x x
si ss n
cot x
x x
cosec
Contoh 8.17
Situs Matematika
Anda dapat mengetahui informasi lain tentang
Fungsi dan Turunannya melalui internet dengan
mengunjungi situs berikut. t IUUQDBMDVMVTPSH
t IUUQXXXXBMUFSGFOEUEF t NBUFNBUJLBTNBCMPHTQPU
DP DPN
f a=
lim lim
x x
f f
x u
v
x
u v
x
=
lim
x
v u
u v
xv v
=
lim
x
v u
v u
u u
v a
x v v
=
lim
x
v u
u x
u v
v x
v a v a
x a
a xx
a xx
a a
a xxx
=
lim lim
lim
x x
v u
u x
u
x
a lim
lim
x x
v v
x v a v
=
u v
u v
v v
u v
u u
v v
a a
a a
a a
a a
a a
a v
a a
a a
v a
2
Oleh karena itu, jika y = f ff x
=
u v
x x
dengan a sebarang bilangan real sehingga berlaku f a =
u v
u v
v u
v a
a a
a a
a a
v a
2
maka f x =
u v
u v
v u
v xx
xx xx
x v x
2
. Untuk y =
u v
, berlaku y =
u v uv
v v
uv
2
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
211
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Tentukan turunan fungsi berikut.
a .
f ff x
= x
x 2
2
b .
f ff x
= x
x x
2
3 2
Jawab :
a
. Misalkan, u = x – 2 maka
x u
= 1 dan v = v
x + 2 maka
x v
= 1. f
ff x =
u v
x x
sehingga f
f x =
u v
u v
v u
v xx
xx xx
x v x
2
= 4
2 2
1 2
2 1 2
2 2
2 2
b .
f ff x
= x
x x
2
3 2
Misalkan, u = u
x – 1
3
2x 2
2 + 3 maka u’ = 3x – 1
x
2
2x 2
2 + 3 + x
x –1
x
3
2 v
= 2 v
x 2
2
2
xx maka v’ = –4x
4 4 .
f ff x
= u
v x
x sehingga f
f x =
u u
v x v x
x v x x
2
=
3
2 3
2 3
1 x
1 2
3 2
3 x
2 1
1 1
x 2
2 2x
2 1
1 x
1 2x
2
2
=
4 6
4
2 2
2
6 9
4 x
x 1
x 9
9 9
2 2
2 2
2x 2
4 2
2 x
1 x
1 2 3
x 2
4
4
x
= 4
4
2 4
x x
x 1
x 12
18
2
6 18
x 12
18 6
6x 3
2
2 x
2
2
2x 2
= x
x x
x x
x x
x x
x x
2 3
= x
x x
x x
x
3
Contoh 8.18
embahasan Pe
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe P
P Soal
Jika f ff x
= x
3 2
4 x
, maka turunan f
–1
x adalah ....
x
Jawab:
f ff x
= x
3 2
4 x
y x
3 2
x 4
maka x = x
4 2
3 y
y f
–1
x =
x 4
2 3 x
df dx
x x
x x
1 2
2
4 x
14
Soal UMPTN 1997
b
. f
ff x = tan x =
x sin
cos x
x Misalkan u = sin
u x
maka x
u = cos x dan
x v
= cos v
x maka v = – sin x.
f x
= cos
cos sin
cos sin
cos x
x cos
x x
sin x
x cos
sin x sin
cos x
2 2
2
sin
2 2
2 2
1 x
x cos
= sec
2
x.
Di unduh dari : Bukupaket.com
212
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tes Kompetensi Subbab B
Kerjakanlah pada buku latihan Anda.
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
1 . f
ff x = 4x
4 4
5
xx – x
3
+ 1
2 . f
ff x = 3 2
3 x
x 3
3 . f
ff x =
x x
9 9
4
. f ff x
= 18
2 4
3
x x
4
3
5
. f ff x
= x
x
3
4 1
x
6 . f
ff x =
x x
3 2
5
7 . f
ff x = x
2
xx – 1x
3
+ 3
8
. f ff x
= x
4
xx x
– 5 x
9 . f
ff x = x
–3
x + 53x
2
xx – 11
10 . f
ff x =
1 3
1 2
3
2
11 . f
ff x =
x x
x 8
2
2
12 . f
ff x = x
x 8
5 x
13
. f ff x
= sin x + 2
x
14 . f
ff x = 5 sin3 – x
15
. f ff x
= x
2
xx sin x
16 . f
ff x = 4x
4 4
3
cos–6x 6
6
17 . f
ff x = tan 5x + 1
x
18
. f ff x
= tan x
3
– 5x
19 . f
ff x = cot5x – 3
x
20
. Luas permukaan kubus berusuk x cm ditunjukkan oleh fungsi Lx
= 6 x
x 6
6
2
xx . Tentukan
laju perubahan luas L terhadap x untuk x
x =
x 7 cm dengan cara menghitung L’ 7.
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 10 mdetik. Kedudukan peluru setelah t detik memenuhi persamaan
t h
t = t
30t – 6 t
t ² dengan
tt h
t adalah tinggi peluru yang diukur dalam meter. t
a .
Carilah kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.
b
. Kapan peluru berhenti?
Jawab :
Diketahui :
Kecepatan awal peluru = 10 mdetik. Kedudukan peluru pada t
a detik = t
h t = 30
t t
– 6 t
t ².
tt Ditanyakan
:
a .
Kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.
b
. Kapan peluru berhenti.
Pengerjaan :
a
. Dalam fisika, kecepatan merupakan turunan dari kedudukan terhadap waktu sehingga vt =
t h
t = 30 – 12 t
t .
Jadi, kecepatan peluru pada saat t = 1,5 adalah t
v 1,5 = 30 –121,5 = 12 mdetik.
b .
Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol sehingga vt = 0 30 – 12t = 0
t t
= 2,5. t
Jadi, peluru berhenti pada saat 2,5 detik.
Contoh 8.19
Di unduh dari : Bukupaket.com
213
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
21 . Panjang dan lebar sebuah persegipanjang
adalah 3x + 2 dan 2 x
x 2
2 . Carilah laju perubahan luas terhadap x untuk lebar 6 cm.
x
22 . Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah
barang x dengan biaya p
a x = 3x
2
xx – 2x
2 2 +
x 15. Jika biaya total marginal didefinisikan
sebagai dp
dx , tentukan biaya total marginal
untuk memproduksi barang itu. Berapa biaya total untuk memproduksi 20 barang?
23 . Pendapatan koperasi Maju dalam x tahun,
x mulai 1 Januari 2004 adalah
P x
= 3
4 3
20
2
x 3x
3 ,
dengan P dalam jutaan P
rupiah. r
a .
Tentukan laju perubahan sesaat P pada P
1 Januari 2006.
b
. Tentukan laju perubahan sesaat P pada
P 1 Januari 2009.
24 . a.
Misalkan pertumbuhan bakteri pada waktu t memenuhi persamaan
t N
N N t
= 3 t
t
2
tt t
. Tentukan laju pertumbuhan bakteri
tersebut.
b .
Populasi penduduk pada suatu daerah memenuhi persamaan
N = 240.000 –
N 4
3 3 600
2
t 3
t .
. Tentukan
dN dt
.
C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva
